\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 240=9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23\\ 240=46+47+48+49+50\\ 240=79+80+81 \end{cases}

\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie wijzen de som van opeenvolgende pare getallen :

\begin{cases} 240=2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30\\ 240=44+46+48+50+52\\ 240=78+80+82 \end{cases}

\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op zes wijzen de som van opeenvolgende onpare getallen :

\begin{cases} 240=9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31\\ 240=15+17+19+21+23+25+27+29+31+33\\ 240=23+25+27+29+31+33+35+37\\ 240=35+37+39+41+43+45\\ 240=57+59+61+63\\ 240=119+121 \end{cases}

\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie wijzen de som van opeenvolgende priemgetallen :

\begin{cases} 240=17+19+23+29+31+37+41+43\\ 240=53+59+61+67\\ 240=113+127 \end{cases}

\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)\)

\(240=((2;2;6;14)\,(2;6;10;10)\,(4;4;8;12))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#3\}\)

\(240=15^2+15=16^2-16\)

\(240=((0;0;0;0;0;2;2;2;6)\,(0;0;0;2;2;2;3;4;5)\,(2;2;2;2;2;2;4;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\)

\(240=2^3+6^2+14^2\)

\(240=2^5+2^6+12^2\)

\(240=15*16\) (het product van twee opeenvolgende gehele getallen)

\(240=(8*9*10)/3~~\) (OEIS A007290)

\(240=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9\) (som van opeenvolgende pronic getallen)

\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]-[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{10}][4^5][32^2]-28^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17^2-7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^2-11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}23^2-17^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}61^2-59^2\)

\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~6\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-13)^3+(-28)^3+29^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{362264^3+1121345^3+(-1133809)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-601438)^3+(-11299015)^3+11299583^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{510715105208^3+689664571187^3+(-772637226595)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-1273201099030)^3+(-7955011109092)^3+7965867753362^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{11813042324693^3+21961561441019^3+(-23046390762976)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px red dashed]{0^5+(-1)^5+(-1)^5+(-1)^5+3^5}\)

\(240^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[12^4][144^2]+192^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17^4-161^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^4-320^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40^3-80^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}244^2-44^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}246^2-54^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}250^2-70^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;260^2-[10^4][100^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}267^2-117^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}272^2-[2^{14}][4^7][128^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}289^2-161^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}300^2-180^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}338^2-238^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;348^2-252^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}365^2-275^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}400^2-320^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}436^2-364^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}482^2-418^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}510^2-450^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}601^2-551^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;624^2-[24^4][576^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}740^2-700^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}818^2-782^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}916^2-884^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}975^2-945^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1212^2-1188^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;1450^2-1430^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1609^2-1591^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1808^2-1792^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2406^2-2394^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2832^2-24^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2885^2-2875^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;3604^2-3596^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4803^2-4797^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7202^2-7198^2\)

\(240^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3720^2-120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3728^2-272^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3760^2-560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3786^2-714^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3804^2-804^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3840^2-960^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;3910^2-1210^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3980^2-1420^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4080^2-1680^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4152^2-1848^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4197^2-1947^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4280^2-2120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;4399^2-2351^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4456^2-2456^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4560^2-2640^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4740^2-2940^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4864^2-[56^4][3136^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;5120^2-3520^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5268^2-3732^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5358^2-3858^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5520^2-4080^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5795^2-4445^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6040^2-4760^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;6360^2-5160^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6576^2-5424^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6940^2-5860^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7262^2-6238^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7412^2-6412^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7680^2-6720^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;8130^2-7230^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8432^2-7568^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9040^2-8240^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9384^2-8616^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9591^2-8841^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;9960^2-9240^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{28920^2-28680^2}\)

\(N^4-1\) is deelbaar door \(240\) als \(N\) een priemgetal is en \(N\gt5\)

\(N^5-N\) is deelbaar door \(240\) als \(N\) oneven is en \(N\gt5\)

\(N^x-N^{x-4}\) is deelbaar door \(240\) als \(x\gt7\)

Een willekeurig getal \(\lt1000000\) heeft ten hoogste \(240\) verschillende delers.

Slechts \(5\) getallen onder die grens hebben effectief \(240\) delers: \(\to~~720720,831600,942480,982800,997920\).

(OEIS A066150) (OEIS A240544)

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(240=(45+3)+(45-3)+(45*3)+(45/3)\)
\(240=(60+1)+(60-1)+(60*1)+(60/1)\)

\(240\) is een getal dat gelijk is aan \(40\) maal de som van zijn cijfers : \(240=40*(2+4+0)\)

Andere getallen met dezelfde eigenschap zijn \(120,360\) en \(480\)

\(\begin{align}240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{578}{93}}\right)^3-\left({\frac{38}{93}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{4769}{723}}\right)^3-\left({\frac{2609}{723}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{240}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(3907^{\large{240}}\right)=3907~~\to\) Unieke oplossing voor \(k\gt1\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(240\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^\(\)
\(240\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2\)^^\(4\)^^\(0)+2*4*0\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad240=(1+1)*(11^{(1+1)}-1)\)
\(\qquad\qquad240=22^2/2-2\)
\(\qquad\qquad240=3*3*3^3-3\)
\(\qquad\qquad240=4^4-4*4\)
\(\qquad\qquad240=(5+5)*(5*5-5/5)\)
\(\qquad\qquad240=6*(6*6+6)-6-6\)
\(\qquad\qquad240=(7-(7+7)/7)*(7*7-7/7)\)
\(\qquad\qquad240=88+88+8*8\)
\(\qquad\qquad240=9*(9+9+9)-(9+9+9)/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad240=1+2+3*45+6+7+89\)
\(\qquad\qquad240=9+87+6*5*4+3+21\)

\(240\) is de magische constante van een pandiagonaal magisch vierkant bestaande uit verschillende priemgetallen
(dit vierkant is van orde \(4\)). Een pandiagonaal magisch vierkant heeft als extra eigenschap dat de gebroken diagonalen,
d.w.z. de diagonalen die zich om de randen van het vierkant wikkelen, ook optellen tot de magische constante.
Als bijkomend de vier 'hoeken' & 'middelste cellen' & centraal 'bovenste-onderste' & centraal 'linkse-rechtse' getallen
ook nog eens optellen tot \(240\) dan spreken we van een most-perfect pandiagonaal magisch vierkant.

(OEIS A179440) (OEIS A258082)
(WebBron 1) (WebBron 2)

Zie ook 34.37

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}240\to\)
\(b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{1}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11054163735456826561~~\)
(OEIS A236067)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)