Allemaal Getallen Index 0024

$24=7+8+9$ (som van opeenvolgende gehele getallen) $24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+5+7+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+13$ (som van opeenvolgende onpare getallen) $24=11+13$ (som van opeenvolgende priemgetallen) $24=234$ (product van opeenvolgende getallen) $24=1+8+15$ (som van willekeurige getallen) $24=(0;2;2;4)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}$ $24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{2^3+2^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;0;0;2;2;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}$ $24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3-3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2-1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^26\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^33$ $24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1234\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5!/5$ $24=(8-2)(8-4)$ $24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^4][4^2]+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{10}][4^5][32^2]-10^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-5^2$	24.1
$24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van drie derdemachten) $\qquad\;\,4$ oplossingen bekend $\qquad\;\,$References Sum of Three Cubes $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2^3+2^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{8^3+8^3+(-10)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2901096694)^3+(-15550555555)^3+15584139827^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-945430986906654064)^3+(-1139873642227126987018)^3+1139873642443924761440^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van vijf vijfdemachten) $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{9^5+(-49)^5+102^5+124^5+(-132)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)$	24.2
$24$ is gelijk aan $4$ maal de som van zijn cijfers : $24=4*(2+4)$. Andere getallen met deze eigenschap zijn $12,36$ en $48~~$ ( ) Zie ook bij	24.3
$24$ is het kleinste getal met $8$ verschillende delers.	24.4
Een product van $4$ opeenvolgende getallen is deelbaar door $24$.	24.5
$24$ is $3$ maal het product van zijn cijfers (enkel nog het geval bij )	24.6
$24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $576$. $24^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40^3-224^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}118^2-10^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}120^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}132^2-60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}132^3-1512^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}140^2-76^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}155^2-101^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad~~~168^2-120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}210^2-174^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}232^2-200^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{300^2-276^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}393^2-375^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}440^2-424^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}582^2-570^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad~~~868^2-860^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1155^2-1149^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1730^2-1726^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3457^2-3455^2$	24.7
$24$ als som van twee priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven) : $$ 2~odd~primes \left[ \begin{matrix} &5&+&19\\ &7&+&17\\ &11&+&13 \end{matrix} \right. $$ $24$ als som van drie priemgetallen (waarvan twee met verschillende priemgetallen) : $$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}\\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}\\ &2&+&11&+&11 \end{matrix} \right. $$	24.8
De som $1^2+2^2+3^2+\cdots+22^2+23^2+24^2=4900=70^2$ (de $\underline{enige}$ som van opeenvolgende kwadraten die ook een kwadraat is). Dit merkwaardige feit wordt gekoppeld aan het volgende : Men maakt een laag kanonballen die in een vierkant worden gelegd. Daarop komt een tweede (kleinere) laag die één bal aan elke zijde minder heeft, daarop een kleinere derde laag weer met een bal minder aan elke zijde, enz. tot helemaal bovenaan nog één enkele bal komt. Het totaal aantal kanonballen blijkt een kwadraat te zijn. De formule voor het berekenen van deze piramidale getallen is : $(n)(n+1)(2*n+1)/6$ (Pyramidal Number) (OEIS A000330)	24.9
$24^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^3+16^3+20^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^3+14^3+16^3+19^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^3+20^3-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^4+11^4-17^3$ Merk op dat $24^3 = 138\underline{24}$ Het product van alle echte delers van $24$ is $12346812=24^3$	24.10
$24^4=12346812*24$ (zie bij voor meer info)	24.11
De volgende producten zijn symmetrisch ten opzichte van het gelijkheidsteken : \begin{align} 2463&=3642\to1512\\ 2484&=4842\to2016 \end{align}	24.12
$24+3=27$ en $24*3=72$ (cijfers in omgekeerde volgorde)	24.13
De uitdrukking $24=7+8+9=360/15$ bevat alle cijfers van $0$ tot $9$.	24.14
Er zijn zeven rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan $24$ één van de zijden is : $(7;24;25),(10;24;26),(18;24;30),(24;32;40),(24;45;51),(24;70;74),(24;143;145)$	24.15
Er zijn twee rechthoekige driehoeken waarvan de numerieke waarde van de omtrek en de oppervlakte dezelfde zijn. Eén van deze driehoeken heeft als zijden $(6;8;10)$. De omtrek is $6+8+10=24$ en de oppervlakte $6*8/2$ is eveneens $24$. Voor de andere driehoek zie bij Voorts is er nog de driehoek $(4;13;15)$ met alleen een oppervlakte van $24$. (Formule van Heron)	24.16
Alle pare machten van $5$, verminderd met $1$, zijn deelbaar door $24$; bvb. $5^6=15625$ en $15624/24=651$	24.17
$24=4!=15^4-44^4+63^4-42^4+11^4$. De coëfficiënten $1,4,6,4,1$ (afwisselend met + of $-$ teken) vindt men terug in de driehoek van PASCAL (Zie het hoofdstuk Driehoek van Pascal uit “Getallen in Detail”). Voor een soortgelijk voorbeeld: zie bij Deze eigenschap behoort bij het feit dat $24$ als een faculteit kan worden geschreven. De coëfficiënten vindt men uit de driehoek van PASCAL, beginnend met de linkse $1$ die positief genomen wordt; de andere coëfficiënten zijn afwisselend negatief en positief. Elke coëfficiënt wordt dan vermenigvuldigd met een grondgetal tot een macht verheven. Als men vertrekt van het oorspronkelijke getal dat gelijk is aan $n!$, dan is de machtscoëfficiënt $n$; het grondgetal volgt uit de rij $(n+1), n, (n-1)\ldots$ tot $1$. De rij coëfficiënten uit de driehoek van PASCAL vindt men bij de rij $(n+1)$. Een voorbeeld voor $6=3!$ We hebben $n=3$ hier. Uit de driehoek van PASCAL vinden we de coëfficiënten voor rij $4:1\,3\,3\,1$. Die moeten we afwisselend positief en negatief nemen, dus $+1\,-3\,+3\,-1$. Deze coëfficiënten worden vermenigvuldigd met de getallen uit de rij $4,3,2,1$ met als exponent $3$. We krijgen dan (de coëfficiënten van de driehoek van PASCAL staan in vet) : $\mathbf14^3-\mathbf33^3+\mathbf32^3-\mathbf1*1^3=6$	24.18
$24$ is één van de $8$ getallen van $2$ cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de eenheden : $24=6*4$. De andere getallen zijn $12,15,25,35,36,45$ en $48$. Zie bij	24.19
$24$ is gelijk aan $4$ maal de som van zijn cijfers : $24=4*(2+4)$. Andere getallen met deze eigenschap zijn $12,36$ en $48$. Zie ook bij	24.20
$24\to278\to$ \begin{align} 1^1+9^1+14^1&=2^1+7^1+15^1\\ &en\\ 1^2+9^2+14^2&=2^2+7^2+15^2 \end{align}	24.21
$24\to188\to$ \begin{align} 1^1+5^1+9^1+9^1&=3^1+3^1+7^1+11^1\\ &en\\ 1^2+5^2+9^2+9^2&=3^2+3^2+7^2+11^2\\ \end{align} $24\to194\to1764\to$ \begin{align} 1^1+6^1+6^1+11^1&=2^1+3^1+9^1+10^1\\ &en\\ 1^2+6^2+6^2+11^2&=2^2+3^2+9^2+10^2\\ &en\\ 1^3+6^3+6^3+11^3&=2^3+3^3+9^3+10^3 \end{align}	24.22
$24! = 620448401733239439360000$ telt $24$ cijfers. Zie ook bij en	24.23
Voor sommige getallen groter dan $3$ geldt het volgende : Neem het getal, kwadrateer het (= vermenigvuldig het met zichzelf) en trek $1$ af. Het resultaat is deelbaar door $24$. Welke getallen zijn nu precies “sommige” getallen ? $\bullet~~$ alle priemgetallen groter dan $3$ $\bullet~~$ alle oneven getallen die niet deelbaar zijn door $3$ Een paar voorbeelden : $13$ is priemgetal groter dan $3$ → $13^2-1=168=724$ $25$ is oneven en niet deelbaar door $3$ → $25^2-1=624=2624$	24.24
Voor twee priemgetallen, groter dan $3$, geldt dat het verschil van hun kwadraten deelbaar is door $24$ (merk op : bij de eigenschap hierboven ging het over een kwadraat, verminderd met $1$ en $1$ is nu eenmaal geen priemgetal). Een voorbeeld : priemgetallen $43$ en $19$ : $43^2-19^2=1849-361=1488=24*62$	24.25
Neemt de men de som van de kwadraten van de delers van $24$, dan bekomt men : $1^2+2^2+3^2+4^2+6^2+8^2+12^2+24^2=850$ Neemt men de som van de kwadraten van de delers van $26$ dan bekomt men : $1^2+2^2+13^2+26^2=850$ Andere gevallen dan bovenstaand $(24,26)$ doen zich voor met $(215,217)$ met een totaal van $48100$ en $(280,282)$ met een totaal van $110500$.	24.26
$24$ schrijven met behulp van de cijfers $1,2,3$ en $4$ : $\quad1234~~=~~12+(34)~~=~~43!(2-1)~~=~~(4!/3!)(1+2)!~~=~~2^3(4-1)$	24.27
$24$ levert het Romeinse cijfer palindroom $\text{VI}*\text{IV}=24$	24.28
EEN PUZZEL $\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}$ Schrijf $24$ met drie dezelfde cijfers. Graag twee oplossingen. $\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}$ Iedereen vindt gemakkelijk $8+8+8$. Iets minder gemakkelijk is $22+2=24$. Andere oplossingen zijn $\quad3^3-3\quad;\quad(4+4-4)!\quad;\quad(5-5/5)!\quad;\quad(9/9+\sqrt9)!$	24.29
EEN PUZZEL $\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}$ Een aantal jaren geleden verpakte een chips-fabrikant in zijn pakken een gadget onder de naam Flippo. (Het oorspronkelijke spel was ouder en kwam vermoedelijk uit het Verre Oosten). Dat was een rond plastic schijfje waarop $4$ cijfers stonden. Het was de bedoeling om $24$ te maken met die vier cijfers, gebruik makend van operatoren $+,–,$ en $/$ $\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}$ Enkele voorbeelden met oplossingen : Met $1,4,5,8:(8-4)(1+5)$ Met $1,3,5,7:(5+7)(3-1)$ Met $1,2,3,9:(9-1-2)3$ Met $1,7,8,9:(7+8+9)/1$ En een moeilijke : Met $3,3,8,8:8/(3-(8/3))$ wat niets anders is dan $8/(1/3)=83$ Men kan het spel eventueel aanpassen door andere bewerkingen toe te laten, zo kan men bvb. met $3,3,8,8$ ook $24$ maken als volgt : $(8-3)!/(8-3)$ of $(3+3)\sqrt{(8+8)}$ Het spel kan ook online gespeeld worden (zoek op $24$-spel of $24$-game). Oplossingen zijn meestal ook op het internet beschikbaar. Zie ook het hoofdstuk Vier Vieren uit “Puzzelen met Getallen”.	24.30
$24$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $1$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($2$ oplossingen) : $39528/1647=46872/1953=24$ $24$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $0$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($4$ oplossingen) : $143208/5967=153792/6408=182304/7596=197640/8235=24$	24.31
Men moet $24$ tot minimaal de $857$ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact $24$ $24$'s verschijnen. Noteer, voor wat het waard is, dat $857$ een priemgetal is en dat $24$$^{857}$ eindigt op $24$. Terloops : $24$$^{857}$ heeft een lengte van $1183$ cijfers.	24.32
Als som met de vier operatoren $+-\;/$ $24=(6+1)+(6-1)+(61)+(6/1)$	24.33
Oneven machten van $24$ eindigen op $24$; even machten van $24$ eindigen op $76$. Bvb. $24^7=45864714\underline{24}\quad;\quad24^8=1100753141\underline{76}$	24.34
$24^2=21^2+12^2-(2+1)^2~~$ (vorm met de cijfers $1$ en $2$)	24.35
Er zijn $3$ getallen van vierentwintig cijfers die gelijk zijn aan de som van de $vierentwintigste$ macht van hun cijfers : $174088005938065293023722=$ $1$$^{24}$$\,+\,7$$^{24}$$\,+\,4$$^{24}$$\,+\,0$$^{24}$$\,+\,8$$^{24}$$\,+\,8$$^{24}$$\,+\,0$$^{24}$$\,+\,0$$^{24}$$\,+\,5$$^{24}$$\,+\,9$$^{24}$$\,+\,3$$^{24}$$\,+\,8$$^{24}$$\,+\,0$$^{24}$$\,+\,6$$^{24}$$\,+\,5$$^{24}$$\,+\,2$$^{24}$$\,+\,9$$^{24}$$\,+\,3$$^{24}$$\,+\,$ $0$$^{24}$$\,+\,2$$^{24}$$\,+\,3$$^{24}$$\,+\,7$$^{24}$$\,+\,2$$^{24}$$\,+\,2$$^{24}$ De overige twee getallen zijn $188451485447897896036875,239313664430041569350093$ (OEIS A005188)	24.36
Alle getallen van $1$ tot $24$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden van producten van machten. Hier alvast enkele voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels $[4-8]$, $[5-7]$ en $[6-6]$. \begin{align} 9^{21}12^{13}16^{23}20^{11}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{22}3^{19}4^{14}5^{10}6^{18}8^715^124^{17}\\ 3^{6}8^{16}10^{19}14^{24}15^{22}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{9}4^{1}5^{18}7^{13}12^{17}20^{23}21^{11}\\ 2^{1}3^{11}8^{17}10^{23}12^{8}15^{22}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^{14}5^{24}6^{13}9^{19}16^{7}20^{21} \end{align}	24.37
$5$$^{24}$$~=~59604644775390625$ is de hoogst gekende macht van $5$ waarbij geen cijfer $8$ voorkomt in de decimale expansie.	24.38
Verbind alle hoekpunten van een reguliere zeshoek (hexagon) diagonaalsgewijs met elkaar. Het totale aantal regio's dat daardoor ontstaat is exact $24$. (OEIS A007678) Ziehier een mooi ingekleurde illustratie → (Illustratie)	24.39
John Baez uit California geeft een lezing aan de universiteit van Glasgow over het getal $24$, één van zijn favorieten. (Internet Bron). Hier is een link naar de YouTube Video (John Baez on the number 24) Wees wel gewaarschuwd dat wat hier uiteengezet wordt ver buiten het domein van de recreatieve wiskunde ligt.	24.40
Voor $n=24~~$ geldt $~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+14) ~~\to~~ {\large\sigma}(24)={\large\sigma}(38)=60~~~~({\large\sigma}$ of 'sigma' staat voor som der delers) $24$ is de eerste oplossing uit de reeks $24,33,68,78,141,428,486,726,1136,\ldots$	24.41
Som der reciproken van partitiegetallen van $24$ is $1$ op één wijze Deze partitie heeft unieke termen. $(1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{24=2+4+6+12}~~$ en $~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}$ (OEIS A125726)	24.42
$2$$^{24}$$\,-\,3$ is een priemgetal $(=16777213)$, de elfde in zijn soort $(2^k-3)~~$ (OEIS A050414)	24.43
$24$$^{5}$$+24$$^{3}$$+24$$^{9}$$+24$$^{8}$$+24$$^{2}$$+24$$^{9}$$+24$$^{3}$$+24$$^{1}$$+24$$^{5}$$+24$$^{2}$$+24$$^{4}$$+24$$^{7}$$+24$$^{2}$$\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5398293152472~~$(OEIS A236067)	24.44

Schakelaar
$\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]$
“Allemaal Getallen”

$\Huge\bbox[border:0]{⏮}$

$\Huge\bbox[border:0]{⯬}$

$\Huge\bbox[border:0]{⏴}$

$\Huge\bbox[border:0]{⏵}$

$\Huge\bbox[border:0]{⯮}$

$\Huge\bbox[border:0]{⏭}$

$24$	$2^3*3$	$8$	$60$
	$1,2,3,4,6,8,12,24$
	$11000_2$	$30_8$	$18_{16}$

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 16 november 2024

\(24\)	\(2^3*3\)	\(8\)	\(60\)
	\(1,2,3,4,6,8,12,24\)
	\(11000_2\)	\(30_8\)	\(18_{16}\)

\(24=7+8+9\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+5+7+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+13\) (som van opeenvolgende onpare getallen) \(24=11+13\) (som van opeenvolgende priemgetallen) \(24=234\) (product van opeenvolgende getallen) \(24=1+8+15\) (som van willekeurige getallen) \(24=(0;2;2;4)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\) \(24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{2^3+2^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;0;0;2;2;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\) \(24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3-3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2-1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^26\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^33\) \(24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1234\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5!/5\) \(24=(8-2)(8-4)\) \(24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^4][4^2]+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{10}][4^5][32^2]-10^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-5^2\)	24.1
\(24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad\;\,4\) oplossingen bekend \(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2^3+2^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{8^3+8^3+(-10)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2901096694)^3+(-15550555555)^3+15584139827^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-945430986906654064)^3+(-1139873642227126987018)^3+1139873642443924761440^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{9^5+(-49)^5+102^5+124^5+(-132)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)	24.2
\(24\) is gelijk aan \(4\) maal de som van zijn cijfers : \(24=4*(2+4)\). Andere getallen met deze eigenschap zijn \(12,36\) en \(48~~\) ( ) Zie ook bij	24.3
\(24\) is het kleinste getal met \(8\) verschillende delers.	24.4
Een product van \(4\) opeenvolgende getallen is deelbaar door \(24\).	24.5
\(24\) is \(3\) maal het product van zijn cijfers (enkel nog het geval bij )	24.6
\(24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(576\). \(24^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40^3-224^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}118^2-10^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}120^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}132^2-60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}132^3-1512^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}140^2-76^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}155^2-101^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~168^2-120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}210^2-174^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}232^2-200^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{300^2-276^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}393^2-375^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}440^2-424^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}582^2-570^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~868^2-860^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1155^2-1149^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1730^2-1726^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3457^2-3455^2\)	24.7
\(24\) als som van twee priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven) : $$ 2~odd~primes \left[ \begin{matrix} &5&+&19\\ &7&+&17\\ &11&+&13 \end{matrix} \right. $$ \(24\) als som van drie priemgetallen (waarvan twee met verschillende priemgetallen) : $$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}\\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}\\ &2&+&11&+&11 \end{matrix} \right. $$	24.8
De som \(1^2+2^2+3^2+\cdots+22^2+23^2+24^2=4900=70^2\) (de \(\underline{enige}\) som van opeenvolgende kwadraten die ook een kwadraat is). Dit merkwaardige feit wordt gekoppeld aan het volgende : Men maakt een laag kanonballen die in een vierkant worden gelegd. Daarop komt een tweede (kleinere) laag die één bal aan elke zijde minder heeft, daarop een kleinere derde laag weer met een bal minder aan elke zijde, enz. tot helemaal bovenaan nog één enkele bal komt. Het totaal aantal kanonballen blijkt een kwadraat te zijn. De formule voor het berekenen van deze piramidale getallen is : \((n)(n+1)(2*n+1)/6\) (Pyramidal Number) (OEIS A000330)	24.9
\(24^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^3+16^3+20^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^3+14^3+16^3+19^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^3+20^3-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^4+11^4-17^3\) Merk op dat \(24^3 = 138\underline{24}\) Het product van alle echte delers van \(24\) is \(12346812=24^3\)	24.10
\(24^4=12346812*24\) (zie bij voor meer info)	24.11
De volgende producten zijn symmetrisch ten opzichte van het gelijkheidsteken : \begin{align} 2463&=3642\to1512\\ 2484&=4842\to2016 \end{align}	24.12
\(24+3=27\) en \(24*3=72\) (cijfers in omgekeerde volgorde)	24.13
De uitdrukking \(24=7+8+9=360/15\) bevat alle cijfers van \(0\) tot \(9\).	24.14
Er zijn zeven rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan \(24\) één van de zijden is : \((7;24;25),(10;24;26),(18;24;30),(24;32;40),(24;45;51),(24;70;74),(24;143;145)\)	24.15
Er zijn twee rechthoekige driehoeken waarvan de numerieke waarde van de omtrek en de oppervlakte dezelfde zijn. Eén van deze driehoeken heeft als zijden \((6;8;10)\). De omtrek is \(6+8+10=24\) en de oppervlakte \(6*8/2\) is eveneens \(24\). Voor de andere driehoek zie bij Voorts is er nog de driehoek \((4;13;15)\) met alleen een oppervlakte van \(24\). (Formule van Heron)	24.16
Alle pare machten van \(5\), verminderd met \(1\), zijn deelbaar door \(24\); bvb. \(5^6=15625\) en \(15624/24=651\)	24.17
\(24=4!=15^4-44^4+63^4-42^4+11^4\). De coëfficiënten \(1,4,6,4,1\) (afwisselend met + of \(-\) teken) vindt men terug in de driehoek van PASCAL (Zie het hoofdstuk Driehoek van Pascal uit “Getallen in Detail”). Voor een soortgelijk voorbeeld: zie bij Deze eigenschap behoort bij het feit dat \(24\) als een faculteit kan worden geschreven. De coëfficiënten vindt men uit de driehoek van PASCAL, beginnend met de linkse \(1\) die positief genomen wordt; de andere coëfficiënten zijn afwisselend negatief en positief. Elke coëfficiënt wordt dan vermenigvuldigd met een grondgetal tot een macht verheven. Als men vertrekt van het oorspronkelijke getal dat gelijk is aan \(n!\), dan is de machtscoëfficiënt \(n\); het grondgetal volgt uit de rij \((n+1), n, (n-1)\ldots\) tot \(1\). De rij coëfficiënten uit de driehoek van PASCAL vindt men bij de rij \((n+1)\). Een voorbeeld voor \(6=3!\) We hebben \(n=3\) hier. Uit de driehoek van PASCAL vinden we de coëfficiënten voor rij \(4:1\,3\,3\,1\). Die moeten we afwisselend positief en negatief nemen, dus \(+1\,-3\,+3\,-1\). Deze coëfficiënten worden vermenigvuldigd met de getallen uit de rij \(4,3,2,1\) met als exponent \(3\). We krijgen dan (de coëfficiënten van de driehoek van PASCAL staan in vet) : \(\mathbf14^3-\mathbf33^3+\mathbf32^3-\mathbf1*1^3=6\)	24.18
\(24\) is één van de \(8\) getallen van \(2\) cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de eenheden : \(24=6*4\). De andere getallen zijn \(12,15,25,35,36,45\) en \(48\). Zie bij	24.19
\(24\) is gelijk aan \(4\) maal de som van zijn cijfers : \(24=4*(2+4)\). Andere getallen met deze eigenschap zijn \(12,36\) en \(48\). Zie ook bij	24.20
\(24\to278\to\) \begin{align} 1^1+9^1+14^1&=2^1+7^1+15^1\\ &en\\ 1^2+9^2+14^2&=2^2+7^2+15^2 \end{align}	24.21
\(24\to188\to\) \begin{align} 1^1+5^1+9^1+9^1&=3^1+3^1+7^1+11^1\\ &en\\ 1^2+5^2+9^2+9^2&=3^2+3^2+7^2+11^2\\ \end{align} \(24\to194\to1764\to\) \begin{align} 1^1+6^1+6^1+11^1&=2^1+3^1+9^1+10^1\\ &en\\ 1^2+6^2+6^2+11^2&=2^2+3^2+9^2+10^2\\ &en\\ 1^3+6^3+6^3+11^3&=2^3+3^3+9^3+10^3 \end{align}	24.22
\(24! = 620448401733239439360000\) telt \(24\) cijfers. Zie ook bij en	24.23
Voor sommige getallen groter dan \(3\) geldt het volgende : Neem het getal, kwadrateer het (= vermenigvuldig het met zichzelf) en trek \(1\) af. Het resultaat is deelbaar door \(24\). Welke getallen zijn nu precies “sommige” getallen ? \(\bullet~~\) alle priemgetallen groter dan \(3\) \(\bullet~~\) alle oneven getallen die niet deelbaar zijn door \(3\) Een paar voorbeelden : \(13\) is priemgetal groter dan \(3\) → \(13^2-1=168=724\) \(25\) is oneven en niet deelbaar door \(3\) → \(25^2-1=624=2624\)	24.24
Voor twee priemgetallen, groter dan \(3\), geldt dat het verschil van hun kwadraten deelbaar is door \(24\) (merk op : bij de eigenschap hierboven ging het over een kwadraat, verminderd met \(1\) en \(1\) is nu eenmaal geen priemgetal). Een voorbeeld : priemgetallen \(43\) en \(19\) : \(43^2-19^2=1849-361=1488=24*62\)	24.25
Neemt de men de som van de kwadraten van de delers van \(24\), dan bekomt men : \(1^2+2^2+3^2+4^2+6^2+8^2+12^2+24^2=850\) Neemt men de som van de kwadraten van de delers van \(26\) dan bekomt men : \(1^2+2^2+13^2+26^2=850\) Andere gevallen dan bovenstaand \((24,26)\) doen zich voor met \((215,217)\) met een totaal van \(48100\) en \((280,282)\) met een totaal van \(110500\).	24.26
\(24\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(\quad1234~~=~~12+(34)~~=~~43!(2-1)~~=~~(4!/3!)(1+2)!~~=~~2^3(4-1)\)	24.27
\(24\) levert het Romeinse cijfer palindroom \(\text{VI}*\text{IV}=24\)	24.28
EEN PUZZEL \(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) Schrijf \(24\) met drie dezelfde cijfers. Graag twee oplossingen. \(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\) Iedereen vindt gemakkelijk \(8+8+8\). Iets minder gemakkelijk is \(22+2=24\). Andere oplossingen zijn \(\quad3^3-3\quad;\quad(4+4-4)!\quad;\quad(5-5/5)!\quad;\quad(9/9+\sqrt9)!\)	24.29
EEN PUZZEL \(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) Een aantal jaren geleden verpakte een chips-fabrikant in zijn pakken een gadget onder de naam Flippo. (Het oorspronkelijke spel was ouder en kwam vermoedelijk uit het Verre Oosten). Dat was een rond plastic schijfje waarop \(4\) cijfers stonden. Het was de bedoeling om \(24\) te maken met die vier cijfers, gebruik makend van operatoren \(+,–,\) en \(/\) \(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\) Enkele voorbeelden met oplossingen : Met \(1,4,5,8:(8-4)(1+5)\) Met \(1,3,5,7:(5+7)(3-1)\) Met \(1,2,3,9:(9-1-2)3\) Met \(1,7,8,9:(7+8+9)/1\) En een moeilijke : Met \(3,3,8,8:8/(3-(8/3))\) wat niets anders is dan \(8/(1/3)=83\) Men kan het spel eventueel aanpassen door andere bewerkingen toe te laten, zo kan men bvb. met \(3,3,8,8\) ook \(24\) maken als volgt : \((8-3)!/(8-3)\) of \((3+3)\sqrt{(8+8)}\) Het spel kan ook online gespeeld worden (zoek op \(24\)-spel of \(24\)-game). Oplossingen zijn meestal ook op het internet beschikbaar. Zie ook het hoofdstuk Vier Vieren uit “Puzzelen met Getallen”.	24.30
\(24\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(2\) oplossingen) : \(39528/1647=46872/1953=24\) \(24\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(4\) oplossingen) : \(143208/5967=153792/6408=182304/7596=197640/8235=24\)	24.31
Men moet \(24\) tot minimaal de \(857\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(24\) \(24\)'s verschijnen. Noteer, voor wat het waard is, dat \(857\) een priemgetal is en dat \(24\)\(^{857}\) eindigt op \(24\). Terloops : \(24\)\(^{857}\) heeft een lengte van \(1183\) cijfers.	24.32
Als som met de vier operatoren \(+-\;/\) \(24=(6+1)+(6-1)+(61)+(6/1)\)	24.33
Oneven machten van \(24\) eindigen op \(24\); even machten van \(24\) eindigen op \(76\). Bvb. \(24^7=45864714\underline{24}\quad;\quad24^8=1100753141\underline{76}\)	24.34
\(24^2=21^2+12^2-(2+1)^2~~\) (vorm met de cijfers \(1\) en \(2\))	24.35
Er zijn \(3\) getallen van vierentwintig cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(vierentwintigste\) macht van hun cijfers : \(174088005938065293023722=\) \(1\)\(^{24}\)\(\,+\,7\)\(^{24}\)\(\,+\,4\)\(^{24}\)\(\,+\,0\)\(^{24}\)\(\,+\,8\)\(^{24}\)\(\,+\,8\)\(^{24}\)\(\,+\,0\)\(^{24}\)\(\,+\,0\)\(^{24}\)\(\,+\,5\)\(^{24}\)\(\,+\,9\)\(^{24}\)\(\,+\,3\)\(^{24}\)\(\,+\,8\)\(^{24}\)\(\,+\,0\)\(^{24}\)\(\,+\,6\)\(^{24}\)\(\,+\,5\)\(^{24}\)\(\,+\,2\)\(^{24}\)\(\,+\,9\)\(^{24}\)\(\,+\,3\)\(^{24}\)\(\,+\,\) \(0\)\(^{24}\)\(\,+\,2\)\(^{24}\)\(\,+\,3\)\(^{24}\)\(\,+\,7\)\(^{24}\)\(\,+\,2\)\(^{24}\)\(\,+\,2\)\(^{24}\) De overige twee getallen zijn \(188451485447897896036875,239313664430041569350093\) (OEIS A005188)	24.36
Alle getallen van \(1\) tot \(24\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden van producten van machten. Hier alvast enkele voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels \([4-8]\), \([5-7]\) en \([6-6]\). \begin{align} 9^{21}12^{13}16^{23}20^{11}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{22}3^{19}4^{14}5^{10}6^{18}8^715^124^{17}\\ 3^{6}8^{16}10^{19}14^{24}15^{22}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{9}4^{1}5^{18}7^{13}12^{17}20^{23}21^{11}\\ 2^{1}3^{11}8^{17}10^{23}12^{8}15^{22}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^{14}5^{24}6^{13}9^{19}16^{7}20^{21} \end{align}	24.37
\(5\)\(^{24}\)\(~=~59604644775390625\) is de hoogst gekende macht van \(5\) waarbij geen cijfer \(8\) voorkomt in de decimale expansie.	24.38
Verbind alle hoekpunten van een reguliere zeshoek (hexagon) diagonaalsgewijs met elkaar. Het totale aantal regio's dat daardoor ontstaat is exact \(24\). (OEIS A007678) Ziehier een mooi ingekleurde illustratie → (Illustratie)	24.39
John Baez uit California geeft een lezing aan de universiteit van Glasgow over het getal \(24\), één van zijn favorieten. (Internet Bron). Hier is een link naar de YouTube Video (John Baez on the number 24) Wees wel gewaarschuwd dat wat hier uiteengezet wordt ver buiten het domein van de recreatieve wiskunde ligt.	24.40
Voor \(n=24~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+14) ~~\to~~ {\large\sigma}(24)={\large\sigma}(38)=60~~~~({\large\sigma}\) of 'sigma' staat voor som der delers) \(24\) is de eerste oplossing uit de reeks \(24,33,68,78,141,428,486,726,1136,\ldots\)	24.41
Som der reciproken van partitiegetallen van \(24\) is \(1\) op één wijze Deze partitie heeft unieke termen. \((1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{24=2+4+6+12}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}\) (OEIS A125726)	24.42
\(2\)\(^{24}\)\(\,-\,3\) is een priemgetal \((=16777213)\), de elfde in zijn soort \((2^k-3)~~\) (OEIS A050414)	24.43
\(24\)\(^{5}\)\(+24\)\(^{3}\)\(+24\)\(^{9}\)\(+24\)\(^{8}\)\(+24\)\(^{2}\)\(+24\)\(^{9}\)\(+24\)\(^{3}\)\(+24\)\(^{1}\)\(+24\)\(^{5}\)\(+24\)\(^{2}\)\(+24\)\(^{4}\)\(+24\)\(^{7}\)\(+24\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5398293152472~~\)(OEIS A236067)	24.44

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR