Palindromic sum of two consecutive primes
equal to the sum of their reversibles
Here is a gem from Carlos Rivera's prime puzzle website
(Source Puzzle 52)
Palindromic sum of two consecutive primes equal
to the sum of their reversibles
32213 + 32233 = 64446 = 33223 + 31223
[ July 26, 2003 ]
Jean Claude Rosa (email) found the second solution of this equation
P1 + P2 = S = R2 + R1 where P1 and P2 are consecutive primes,
R1 and R2 are the prime reversals of P1 and P2 (aka emirps)
and S simply being a palindromic number.
132040201 + 132040261
= 264080462 =
162040231 + 102040231
Once Jean Claude searched for a third solution...
[ July 31, 2003 ]
Jean Claude Rosa (email) found the third solution of this equation
31002320003 + 31002320023
= 62004640026 =
32002320013 + 30002320013
Not bad at all, Jean Claude !
"Et maintenant en route pour la quatrième
( P1 a au moins 12 chiffres )"
I (pdg) wonder when the first solution will appear
with a palindrome possessing at least one 'odd' digit ?
[ August 8, 2003 ]
Jean Claude Rosa (email) sends the fourth solution
1134202024301 + 1134202024321
= 2268404048622 =
1234202024311 + 1034202024311
"Je suis en train de préparer un document expliquant
une méthode de recherche des solutions et aussi que si
la somme est palindrome alors tous les chiffres sont pairs."
At evening Jean Claude finished his theoretical document
explaining this 'palindromic sum of consecutive primes' subject.
Soit l'égalité P1 + P2 = S = R1 + R2 dans laquelle P1, P2,
R1 et R2 sont premiers, P1 et P2 étant consécutifs.
En ne tenant compte que du premier et du dernier chiffre de
P1 et de P2 et en examinant toutes les possibilités il y a
seulement 4 types possibles de solution :
1°) P1=1... ...1 ; P2=1... ...1
2°) P1=3... ...3 ; P2=3... ...3
3°) P1=7... ...7 ; P2=7... ...7
4°) P1=9... ...9 ; P2=9... ...9
Si de plus on veut que S soit palindrome alors il n'y a plus
que 2 possibilités :
1°) P1=1... ...1 ; P2=1... ...1
2°) P1=3... ...3 ; P2=3... ...3
De plus P1 et P2 étant consécutifs il paraît raisonnable de
dire que les premiers chiffres de P1 et de P2 sont identiques
(on suppose que P1 a au moins 5 chiffres) jusqu'à un certain
rang bien sur.
Jusqu'à 10^13 on peut supposer que seuls les 3 derniers chiffres
peuvent être différents , c'est à dire que l'écart entre 2 nombres
premiers consécutifs ne dépasse pas 1000.
Maintenant examinons plus en détails quelques exemples.
P1 est un nombre de 8 chiffres de la forme 1------1.
Posons P1 = 15-----1 et P2 = 15-----1.
D'où S = P1 + P2 = 30-----2 ou = 31-----2 donc dans les 2 cas
S n'est pas palindrome.
Continuons P1 = 145----1 ; P2 = 145----1 d'où :
R1 = 1----541 ; R2 = 1----541
On a : S = P1 + P2 = 290----2 ou S = 291----2
et T = R1 + R2 = 2----082.
Donc si S = T alors S n'est pas palindrome.
De même avec P1 = 14445--1 ; P2 = 14445--1
R1 = 1--54441 ; R2 = 1--54441
On a : S = 28890--2 ou S = 28891--2
et T = 2--08882, donc si S = T alors S n'est pas palindrome.
Prenons maintenant l'exemple de P1 qui s'écrit avec un nombre
impair de chiffres (9 par exemple).
En tenant compte des remarques faites ci-dessus nous ne
considérerons que les deux cas suivants :
P1 = 14445---1 ; P2 = 14445---1
R1 = 1---54441 ; R2 = 1---54441
On a : S = 28890---2 ou S = 28891---2
et T = 2---08882, donc si S = T alors S n'est pas palindrome.
P1 = 144449--1 ; P2 = 144449--1
R1 = 1--944441 ; R2 = 1--944441
On a : S = 288898--2 ou S = 288899--2
et T = 2--888882, et ici S n'est pas égal à T.
Conclusion : Si on veut que S soit un palindrome il faut que tous
les chiffres de P1 sauf les 2, 3 ou 4 derniers - cela dépend de
la taille de P1 - soient inférieurs à 5. De ce fait S palindrome
ne contient que des chiffres pairs.
|
Jean Claude touched in his article the topic of prime gaps.
An excellent overview information page can be found at
Gaps between primes
E.g. the first gap of 1000 composites between two consecutive
primes can be found at the following source:
First occurrence prime gaps
Dr. Nicely's (1943-2019 †) research found a resting place at
Prime Gaps lists (Dr. Thomas R. Nicely)
[ August 10, 2003 ]
Jean Claude Rosa (email) submits the next three solutions
the fifth, the sixth and the seventh.
3400334330033 + 3400334330053
= 6800668660086 =
3500334330043 + 3300334330043
3414420244133 + 3414420244153
= 6828840488286 =
3514420244143 + 3314420244143
34410133101413 + 34410133101473
= 68820266202886 =
37410133101443 + 31410133101443
[ August 11, 2003 ]
Jean Claude Rosa (email) gathered 15 new solutions !
From the eighth to the twentysecond containing 15 digits.
There are no other solutions below 10^15.
As there is no real need to be exhaustive I'll display
only the smallest and the largest of this latest batch.
114422212224401 + 114422212224421
= 228844424448822 =
124422212224411 + 104422212224411
343110030011303 + 343110030011383
= 686220060022686 =
383110030011343 + 303110030011343
[ September 9, 2003 ]
Though this plate asks for 'two' consecutive primes I'd like to make
an exception for Jean Claude Rosa's (email) four solutions
with 'three' consecutive primes - too nice to leave aside !
Note that only the second triple contains no palindromic primes !
3302333211123332003 + 3302333211123332033 + 3302333211123332063
= 9906999633369996099 =
3602333211123332033 + 3302333211123332033 + 3002333211123332033
33011230322303211001 + 33011230322303211007 + 33011230322303211091
= 99033690966909633099 =
19011230322303211033 + 70011230322303211033 + 10011230322303211033
330231211333112132003 + 330231211333112132033 + 330231211333112132063
= 990693633999336396099 =
360231211333112132033 + 330231211333112132033 + 300231211333112132033
13100030111011103000101 + 13100030111011103000131 + 13100030111011103000161
= 39300090333033309000393 =
16100030111011103000131 + 13100030111011103000131 + 10100030111011103000131
A000069 