[ April 27, 2003 ]
181, 313 & 545 are the only Plateau and Depression Primes
equal to the sum of the squares of two consecutive integers
Jean Claude Rosa (email)

Website about Plateau and Depression Primes

181 = 9² + 10²
313 = 12² + 13²
545 = 16² + 17²

(NFTE : the original French proof is not translated -
the editor found no need for this since the math
context explains everything well enough ihho.)

Désignons par PDP un nombre de la forme D(R)wD.
On recherche les PDP égaux à la somme des carrés de
2 nombres entiers consécutifs. On a donc l'égalité suivante :
(1) PDP = n^2+(n+1)^2 (n désigne un nombre entier)
A partir de cette égalité on obtient facilement la nouvelle égalité :
(2) 2*PDP–1 = (2*n+1)^2

L'égalité (1) nous indique que PDP doit être un nombre impair, de la
de la forme 4*k+1 (en effet n^2+(n+1)^2 = 2*n^2+2*n+1), donc un
nombre impair; de plus :
si n est pair, n = 2*a, par exemple, alors n+1 est un nombre
impair et on obtient le résultat suivant :
n^2+(n+1)^2 = 2*(2*a)^2+2*2*a+1 = 2*4*a^2+4*a+1
= 4*(2*a^2+a)+1
si n est impair, n = 2*a+1 et on obtient :
n^2+(n+1)^2 = 2*(2*a+1)^2+2*(2*a+1)+1 = 8*a^2+8*a+5
= 4*(2*a^2+2*a+1)+1

L'égalité (2) nous indique que PDP ne peut se terminer ni par 7
ni par 9. En effet si PDP se termine par 7 alors 2*PDP–1
se termine par 3 et un carré n'est jamais terminé par 3,
de même si PDP se termine par 9 alors 2*PDP–1
se termine par 7 et un carré n'est jamais terminé par 7.

Conclusion :
Les seuls PDP que l'on doit examiner sont ceux terminés par
1 ; 3 ou 5 et de la forme 4*k+1. En voici la liste :
1(0)w1 ; 1(2)w1 ; 1(4)w1 ; 1(6)w1 ; 1(8)w1
3(1)w3 ; 3(5)w3 ; 3(7)w3 ; 3(9)w3
5(0)w5 ; 5(2)w5 ; 5(4)w5 ; 5(6)w5 ; 5(8)w5 .

Remarque importante :
la somme des carrés de 2 nombres entiers
consécutifs n'a jamais pour reste :
0 modulo 3
0 ; 2 ou 3 modulo 7
0 ; 4 ; 7 ; 9 ou 10 modulo 11
3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ou 11 modulo 13

Les PDP sont des nombres de la forme D(R)wD et il est
évident que si w est pair alors PDP est divisible par 11.
Or la somme des carrés de 2 nombres consécutifs n'est jamais
divisible par 11, donc nous n'étudierons que le cas de w impair.

Cas de 1(0)w1 : si w = 6*k+1 alors 1(0)w1 = 3 modulo 7
w = 6*k+3 alors 1(0)w1 = 4 modulo 13
w = 6*k+5 alors 1(0)w1 = 2 modulo 7
Donc 1(0)w1 n'est jamais solution c'est à dire n'est jamais égal à la
somme des carrés de 2 nombres entiers consécutifs.

Cas de 1(2)w1 : 1(2)w1 est toujours divisible par 11.
Donc 1(2)w1 n'est jamais solution.

Cas de 1(4)w1 : si w est impair alors 1(4)w1 = 9 modulo 11.
Donc 1(4)w1 n'est jamais solution.

Cas de 1(6)w1 : si w est impair alors 1(6)w1 = 7 modulo 11.
Donc 1(6)w1 n'est jamais solution.

Cas de 3(7)w3 : si w est impair alors 3(7)w3 = 10 modulo 11.
Donc 3(7)w3 n'est jamais solution.

Cas de 3(9)w3 : 3(9)w3 est toujours divisible par 3.
Donc 3(9)w3 n'est jamais solution.

Cas de 5(0)w5 : si w est impair alors 5(0)w5 = 10 modulo 11.
Donc 5(0)w5 n'est jamais solution.

Cas de 5(2)w5 : si w = 6*k+1 alors 5(2)w5 = 0 modulo 3
w = 6*k+3 alors 5(2)w5 = 4 modulo 13
w = 6*k+5 alors 5(2)w5 = 8 modulo 13
Donc 5(2)w5 n'est jamais solution.

Cas de 5(6)w5 : si w est impair alors 5(6)w5 = 4 modulo 11.
Donc 5(6)w5 n'est jamais solution.

Cas de 5(8)w5 : si w = 6*k+1 alors 5(8)w5 = 0 modulo 3
w = 6*k+3 alors 5(8)w5 = 8 modulo 13
w = 6*k+5 alors 5(8)w5 = 2 modulo 7
Donc 5(8)w5 n'est jamais solution.

Cas de 3(1)w3 : D'après l'égalité (2) pour savoir
si un PDP est égal à la somme des carrés de 2 nombres
entiers consécutifs : on le multiplie par 2, on retranche 1
et on regarde si le résultat est un carré.
On a 3(1)w3 = (28*10^(w+1)+17)/9.
En appliquant l'égalité (2) et quelques
petites manipulations on obtient :
56*10^(w+1)+25 = (6*n+3)^2
Donc le nombre 56*10^(w+1)+25 est le carré d'un nombre
terminé par 5. D'où 56*10^(w+1)+25 = b*(b+1)*100+25.
Il est évident que la seule solution est w=1 ; b=7 ; et 5625 = 75^2
D'où n = (75-3)/6 = 12. Ainsi 313 = 12^2+13^2 est le seul PDP de la
forme 3(1)w3 égal à la somme des carrés de 2 nombres entiers
consécutifs.

Cas de 3(5)w3 : On a 3(5)w3 = (32*10^(w+1)–23)/9.
En appliquant l'égalité (2) et quelques
petites manipulations on obtient :
64*10^(w+1)–55 = (6*n+3)^2
Donc le nombre 64*10^(w+1)–55 est un nombre terminé par 45.
Mais un nombre terminé par 45 ne peut pas être un carré
Donc 3(5)w3 n'est pas solution.

Cas de 5(4)w5 : On a 5(4)w5 = (49*10^(w+1)+5)/9.
En appliquant l'égalité (2) et quelques
petites manipulations on obtient :
98*10^(w+1)+1=(6*n+3)^2
Donc le nombre 98*10^(w+1)+1 est un carré terminé par 1.
La seule solution a lieu pour w = 1 ; 9801 = 99^2
D'où 6*n+3 = 99 et donc n = 16.
Ainsi 545 = 16^2+17^2 est le seul PDP de la forme 5(4)w5
égal à la somme des carrés de 2 nombres entiers consécutifs.

Cas de 1(8)w1 : On a 1(8)w1 = (17*10^(w+1)–71)/9.
En appliquant l'égalité (2) et quelques
petites manipulations on obtient :
34*10^(w+1)–151 = (6*n+3)^2
Donc le nombre 34*10^(w+1)–151 est un carré terminé par 49.
La seule solution a lieu pour w = 1 ; 3400–151 = 3249 = 57^2
D'où 6*n+3 = 57 et donc n = 9.
Ainsi 181 = 9^2+10^2 est le seul PDP de la forme 1(8)w1
égal à la somme des carrés de 2 nombres entiers consécutifs.

Conclusion : Les seuls PDP égaux à la somme des carrés
de 2 nombres entiers consécutifs sont : 181, 313 et 545.

Q.E.D.