\begin{cases} 1000=28+29+30+31+32+33+\cdots+47+48+49+50+51+52\\ 1000=55+56+57+58+59+60+61+62+63+64+65+66+67+68+69+70\\ 1000=198+199+200+201+202 \end{cases}

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende pare getallen op drie verschillende wijzen :

\begin{cases} 1000=16+18+20+22+24+26+\cdots+54+56+58+60+62+64\\ 1000=118+120+122+124+126+128+130+132\\ 1000=196+198+200+202+204 \end{cases}

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende onpare getallen op vier verschillende wijzen :

\begin{cases} 1000=31+33+35+37+39+41+\cdots+59+61+63+65+67+69\\ 1000=91+93+95+97+99+101+103+105+107+109\\ 1000=247+249+251+253\\ 1000=499+501 \end{cases}

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\quad\;\;\)Er zijn heel veel mogelijke oplossingen

\(\qquad\quad\;\;\)References Sum of Three Cubes

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\quad\;\;\bbox[3px,border:1px blue solid]{8^5+(-9)^5+12^5+14^5+(-15)^5}\)

\(\qquad\quad\;\;\bbox[3px,border:1px blue solid]{105^5+134^5+201^5+291^5+(-301)^5}\)

\(10000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{27^5+36^5+38^5+74^5+(-75)^5}\to~~\)Noteer dat\(~~27+36+38+74-75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\sqrt{10000}\)

Als som met de vier operatoren \(+-*\,/\)
\(1000=(90+9)+(90-9)+(90*9)+(90/9)\)
\(1000=(160+4)+(160-4)+(160*4)+(160/4)\)
\(1000=(250+1)+(250-1)+(250*1)+(250/1)\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2+3+4)^{(5+6–7+8–9)}~~\) (alle cijfers van \(1\) tot \(9\))\(~~\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2+3+4)^3\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^5-4!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1024-24~~\) (curiositeit\)

\(1000=\Large{3^3\;*\;4^3\;*\;5^3\over3^3\,+\,4^3\,+\,5^3}\)

\(1000=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+6^3+7^7\quad\) (merk op dat \(6^3\) komt tweemaal voor)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^2+18^2+24^2-5^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^2+24^2+32^2-10^3\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^3+28^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2+30^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^2+26^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}35^2-15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55^2-45^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}127^2-123^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}251^2-249^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}525^2-65^3\)

\(1000^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^7-3000^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}280^2+960^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}352^2+936^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}600^2+800^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1025^2-[15^4][225^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1250^2-750^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~~~\;1450^2-1050^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2125^2-1875^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2600^2-2400^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3000^2-200^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3205^2-3045^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5050^2-4950^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~~~\;6290^2-6210^2\)

\(1000^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)( geen oplossing gevonden met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\ldots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{500500^2-499500^2}\)

Er is één rechthoekige driehoek met omtrek \(1000\) en gehele zijden : \((200;375;425)\)

Puzzelen met het getal \(1000\) :
Het getal \(1000\) heeft altijd veel aantrekkingskracht gehad op puzzels waarbij \(1000\) moet worden
geschreven met bvb. dezelfde cijfers en de nodige bewerkingen. Hier volgt een kleine bloemlezing :

\(\underline{1000\,met\,identieke\,cijfers}\)

Men kan dezelfde uitdrukking schrijven met de andere cijfers (met dank aan Inder. J. Taneja),

zoals hierboven met het cijfer 8 reeds gebeurde.

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1111-111)/1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(11-1)^{(1+1+1)}\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*(22^2+2^{(2+2)})\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(333*3)+3/3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3*3+3/3)^3\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*4^4-4!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*(4^4-4)-4-4\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}555+555-55-55\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*(5+5)*(5*5-5)\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((66-6)/6)^{(6*6/(6+6))}\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77*(7+7-(7/7))-(7/7)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77*(7+7)-77-7/7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(7+7+7-7/7)*(7*7+7/7)\)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) (met cijfers \(8\) zie tabel hierboven)

\(1000\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}999+9/9\)

Met machten, faculteiten enz. zijn uiteraard nog meer uitdrukkingen mogelijk.
Zie ook uit “Puzzelen Met Getallen” het hoofdstuk Vier vieren.

\(1000=(2+(8*1))+(4*(5+(7*3))+6)*9\)
Om de leesbaarheid enigszins te bevorderen en toch niet tot dubbelzinnige berekeningen te komen,
herschrijven we deze nogal complex uitziende berekening als volgt :

1000 = (7 * 3) + 5      * 4       + 6       * 9       + 8       * 1       + 2, hetgeen oplevert :

1000 =      21 + 5 = 26
                     26 * 4 = 104
                              104 + 6 = 110
                                        110 * 9 = 990
                                                  990 + 8 = 998
                                                            998 * 1 = 998
                                                                      998 + 2 = 1000

Op dezelfde manier heeft men :
\(1000=(6*4)+3*7+9*5+8+2*1\)
\(1000=(3*5)+1*7+9*2+6*4+8\)

Wie het eenvoudiger wil :
\(1000=12*89-75+6+4-3\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(1000=1+2+34*(5+6)+7*89\)
\(1000=9+876+(54+3)*2+1\)

Bonus → twee YouTube Video's over het getal \(10958\)
(The 10,958 Problem - Numberphile) (A 10,958 Solution - Numberphile)

Als \(A*B*C+(A*B+A*C+B*C)+(A+B+C)=1000\) dan is \(A+B+C=28\). Men kan het
linkerlid herschijven als \((A+1)(B+1)(C+1)=1000+1=1001\). Nu kan \(1001\) ontbonden worden als
\(7*11*13\) zodat dus \((A+1)(B+1)(C+1)=7*11*13\). Hieruit volgen voor \(A\), \(B\) en \(C\) de waarden
telkens één minder, dus \(6\), \(10\) en \(12\). De som hiervan is \(28\).

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Schrijf \(1000\) als een product van twee getallen, maar nergens mag een nul voorkomen.
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
De enige mogelijkheid is \(1000=8*125\) (zie ook 10.13 )

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Hoe maak je een tekenreeks van getallen zodanig dat de aaneengeschakelde cijfers in deze tekenreeks al de getallen
van \(1\) tot \(1000\) bevatten als subtekenreeks ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
De meest evidente oplossing is natuurlijk door al de getallen van 1 tot 1000 gewoon achter elkaar te zetten.
Dit geeft een getal met lengte \(3001\). Maar er bestaat een oplossing met veel minder cijfers en die is hieronder
weergegeven. Toevalligerwijs heeft deze oplossing (door Dave Rusin \(1995\)) ook een lengte van \(1000\) cijfers!
\begin{align} 70797802125994225691148612397004543910429033344078\\ 77362296395080363758485611380414917448763556067695\\ 18607271108238793864765552029235762094977064169316\\ 28925590489659740838995282781774689053586870393066\\ 18359644129932685015126456315222165378829831926050\\ 75742852175444725196643617342054593460929538849073\\ 72867291340030313208985116885419962498713006567190\\ 68107776603233748814715002529730267099922014119866\\ 78975040989154245833940232731224189558081875348016\\ 13304694179482185510621451360272115828329336421055\\ 70247857120494775646143112847059548410979088349578\\ 22367796845035368258935666385914467493768056517640\\ 18157226103738243819760052579280767594427019164816\\ 73920090939604745338445237786274139008581370843011\\ 18809699124432135060121956865277160878379886921550\\ 20747352625499720696193662347554043415924038399028\\ 72317246345530863253980616335464967998263051562690\\ 13102276153288743314265057524230717044927514669811\\ 78425095984654795888945732281279184058531820343516\\ 68309194629437180010171406365772665873324836971000 \end{align} (WebBron)

\(\large{11^{1000}}\) heeft in zijn decimale expansie exact elf elven zonder overlappingen. Het lijken bijna elf elfen.
\begin{align} &2469932918005826334124088385085221477709733385238396234869182951830739390375433175367866{\color{blue}{\underline{11}}}64569\\ &4619197380356{\color{blue}{\underline{11}}}8903652336353379872657100896124379265553665528220182035787267332290{\color{blue}{\underline{11}}}482434532{\color{blue}{\underline{11}}}\\ &7560200676245456094{\color{blue}{\underline{11}}}2120634173076812048173777634655{\color{blue}{\underline{11}}}22263516794281631817742460092735816338891\\ &08546950410705776420455405609630042079269383480869790354237327399332350770427503547290957296025\\ &16751896320598857608367865475244863{\color{blue}{\underline{11}}}4521391548985943858154775884418927768284663678512441565517\\ &19415694631275354677{\color{blue}{\underline{11}}}63991252528017732162399536497445066348868438762510366191040{\color{blue}{\underline{11}}}808075158068\\ &9254476068034620047646422315123643{\color{blue}{\underline{11}}}96272055313716941887944081202671205003257752936454163352300\\ &14278578281272863450085145349124727476223298887655183167465713337723258182649072572861625150703\\ &74703055073634758941628560636752152452966576390353798993551087465742036142680406864326280090191\\ &62850769661741768543510551837400787638919517754520217812250663616705939170012150328398389{\color{blue}{\underline{11}}}4760\\ &44840388663443684517735022039957481918726697789827894303408292584258328090724141496484460001 \end{align}

\(1000=((0;0;10;30)\,(0;0;18;26)\,(0;6;8;30)\,(0;10;18;24)\,(2;4;14;28)\,(2;8;16;26)\,(2;14;20;20)\)

\(\qquad\quad\;(2;16;16;22)\,(4;4;22;22)\,(4;10;10;28)\,(4;10;20;22)\,(6;6;12;28)\,(6;8;18;24)\)

\(\qquad\quad\;(6;12;12;26)\,(8;8;14;26)\,(8;14,16;22)\,(10;10;20;20))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#17\}\)

\(1000=((0;0;0;0;0;0;0;0;10)\,(0;0;0;0;1;3;3;6;9)\,(0;0;0;0;4;5;5;7;7)\,(0;0;0;1;2;6;6;6;7)\)

\(\qquad\quad\;(0;0;0;3;3;3;4;7;8)\,(0;0;1;1;3;3;6;6;8)\,(0;0;1;2;2;4;4;7;8)\,(0;0;1;3;3;3;4;5;9)\)

\(\qquad\quad\;(0;0;2;4;4;6;6;6;6)\,(0;1;1;2;2;4;4;5;9)\,(0;1;1;4;5;5;5;6;7)\,(0;1;2;3;4;5;6;6;7)\)

\(\qquad\quad\;(0;2;2;4;4;4;4;6;8)\,(0;5;5;5;5;5;5;5;5)\,(1;1;1;1;2;2;5;7;8)\,(1;1;1;2;5;6;6;6;6)\)

\(\qquad\quad\;(1;1;2;3;3;5;5;7;7)\,(1;1;3;3;3;4;5;6;8)\,(1;2;2;3;3;3;6;7;7)\,(1;4;4;4;5;5;5;6;6)\)

\(\qquad\quad\;(2;3;3;3;3;3;4;4;9)\,(2;3;4;4;4;5;6;6;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#22\}\)

Het aantal partities van \(1000\) is \(24061467864032622473692149727991\) (OEIS A070177)
Pari/GP code : numbpart(1000)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1000\to\)
\(b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{7}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1000000000000002002017~~\)
(OEIS A236067)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)