Allemaal Getallen Index 0666

666 is op vijf wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen : 666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ...30 + 31 + 32 + 33 +34 + 35 + 36 666 = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58 + 59 + 60 + 61 666 = 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 + 78 666 = 165 + 166 + 167 + 168 666 = 221 + 222 + 223 666 = (0; 0; 15; 21) (0; 3; 9; 24) (0; 4;5; 25) (0; 4; 11; 23) (0; 4; 17; 19) (0; 7; 16; 19) (0; 9; 12; 21) (0; 11; 16; 17) (1; 2; 6; 25) (1; 3; 16; 20) (1; 5; 8; 24) (1; 6; 10; 23) (1; 9; 10; 22) (1; 11; 12; 20) (2; 3; 13; 22) (2; 5; 14; 21) (2; 7; 17; 18) (2; 10; 11; 21) (2; 13; 13; 18) (3; 3;, 18; 18) (3; 4; 4; 25) (3; 8; 8; 23) (3; 10; 14; 19) (4; 4; 5; 7; 24) (4; 5, 15; 20) (4; 8; 15; 19) (4; 9; 13; 20) (4; 13; 15; 16) (5; 6; 11; 22) (5;10; 10; 21) (5; 11; 14; 18) (6; 9; 15; 18)(6; 10; 13; 19) (7; 14; 14; 15) (8; 9; 11; 20) (8, 11; 15; 16) (8; 12; 13; 17) (9; 10; 14; 17) (10; 11; 11; 18) 666 is in de Bijbel (meer bepaald in de Apocalyps) en in de numerologie het getal van het Beest. Het hoeft dan niet te verwonderen dat een aantal merkwaardige eigenschappen met dit getal verbonden zijn. 666 = 1 + 2 + 3 + … + 35 + 36 (som van opeenvolgende gehele getallen; de rij begint met 1 = 6° en eindigt met 36 = 6²) 666 = 50 + 51 + 52 + ...+ 59 + 60 + 61 (som van opeenvolgende gehele getallen) 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17² (som van de kwadraten van de eerste 7 priemgetallen) 666 = 313 + 353 waarin 313 en 353 twee opeenvolgende palindrome priemgetallen zijn (OEIS A002385) 666 = 15² + 21² waarbij 15 en 21 twee opeenvolgende driehoeksgetallen zijn. Men kan ook schrijven : 666 = D(36) = (D(5))² + ((D(6))². Bovendien is de index 36 ook een driehoeksgetal (namelijk D(8)) 666 = 3⁶ – 2⁶ + 1⁶ (dit is gelijk aan 729 – 64 + 1) 666 = 6³ + 6³ + 6³ + 6 + 6 + 6 666 = 15² + 21² 666 = 36³ + 630² 666 = (6⁴ + 6⁴ – 6⁴) – (6³ + 6³ + 6³) + (6 + 6 + 6) 666 = 5³ + 6³ + 7³ – (6 + 6 + 6) 666 = 2 x 3 x 3 x 37 en deze gelijkheid blijft als men de som van de cijfers maakt : 6 + 6 + 6 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7 666 = (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ ) + (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³) (6 x 6 x 6)² = (6 x 6)³ 666 = 2¹ x 3² + 2³ x 3⁴ 666= (6 x 6 x 6) + (6 x 6 x 6) + (6 x 6 x 6) + (6 + 6 + 6) 666 = 6! x (1² + 6²)/(2² + 6²) 666 = (1² + 6²) x (6 + 6 + 6) De breuk 1666/6664 kan “vereenvoudigd” worden door 666 in teller en noemer te schrappen : er komt dan 1666/6664 = 1/4 De breuk 666/64676 is gelijk aan dezelfde cijfercombinatie maar met vermenigvuldigingstekens tussen : 666/64676 = (6 x 6 x 6)/(6 x 46 x 76) 666² = 216² + 630² hetgeen ook kan geschreven worden als 666² = (6 x 6 x 6)² + (666 – 6 x 6)² 666² = 1³ + 2³ + 3³ + … + 35³ + 36³ (som van opeenvolgende gehele getallen tot de derde macht) 666² + 667² + 668² + … + 683² + 684² = 685² + 686² + 687² + … + 702² + 703² 666² = 1³ + 2³ + 3³ + … + 35³ + 36³ 666³ = 74³ + 444³ + 592³ 666⁶ = 87266061345623616 bevat zes cijfers 6 666 is het 36° driehoeksgetal (36 is op zijn beurt het 8° driehoeksgetal). Het 666° driehoeksgetal is 222111 De som van de eerste 144 decimalen van ϖ is gelijk aan 666 Een benadering voor ϖ wordt gegeven door de breuk 355/113. Met het omgekeerde van de teller bij de noemer gevoegd staat er : 553 + 113 = 666; hetzelfde met de som van het omgekeerde van de noemer bij de teller : 355 + 311 = 666. Als men 666 deelt door het palindroomgetal 212 heeft men een benadering voor ϖ ≈ 666/212 = 3,1415294... terwijl ϖ = 3,1415926... Als men met de cijfers 1, 2, 3 een getal van 3 cijfers maakt en de cijfers cyclisch permuteert, dan is de som 666. Bvb. met 1, 2, 3 maakt men 213 en vervolgens 132 en 321. De som is 213 + 132 + 321 = 666. Hetzelfde doet zich voor indien men in plaats van de cijfers 1, 2, 3 een combinatie van drie cijfers neemt die als som 6 hebben (dus 051, 114, 123, 042, 222, 033, 006). Men krijgt dan : 051 + 510 + 105; 114 + 141 + 411; 123 + 231 + 312; 042 + 420 + 204; 222 + 222 + 222; 033 + 330 +303; 006 + 060 + 600) Als men drie opeenvolgende cijfers neemt en de zes mogelijke getallen van drie cijfers hiermee maakt, dan is de som van die zes getallen een veelvoud van 666 Bvb. 234 + 243 + 342 + 324 + 423 + 432 = 1998 = 3 x 666 Het veelvoud is gelijk aan het middelste van de drie opeenvolgende cijfers (in het voorbeeld : 3). Met de cijfers van 1 tot 9 in volgorde of omgekeerde volgorde) kan men 666 bekomen : 666 = 1234 – 567 + 8 – 9 666 = 123 + 456 + 78 + 9 666 = 1 + 23 – 45 + 678 + 9 666 = 1 – 23 – 4 + 5 + 678 +9 666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 666 = 1 + 2 + 3 – 4 – 5 + 678 + 9 666 = 1 – 2 – 3 – 4 + 5 + 678 – 9 666 = – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 678 – 9 666 = 9 + 87 + 6 + 543 + 21 666 = 9 – 8 – 7 + 654 – 3 + 21 666 = 9 + 8 – 7 + 654 + 3 – 2 + 1 666 = 9 – 8 + 7 + 654 + 3 + 2 – 1 666 = – 9 + 8 + 7 + 654 + 3 + 2 + 1 666 is een deler van (123456789 + 987654321) = 1111111110 = 666 x 1668335 666 is een Smith-getal : de som van de cijfers van de priemfactoren is gelijk aan de som van de cijfers van het getal : 666 = 2 x 3 x 3 x 37 en 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18 = 6 + 6 + 6 666⁴⁷ = 5049969.... 945856 en de som van de cijfers 5 + 0 + 4 + ...+ 8 + 5 + 6 = 666 Hetzelfde geldt voor 666⁵¹ = 9935...6416 en 9 + 9 + 3 + … + 4 + 1 + 6 = 666 666= 264197538 / 396693 = 913572846/1371731 (pandigitaal getal gedeeld door palindroom) 2¹⁵⁷ = 182687704666362864775460604089535377456991567872 bevat de combinatie 666. Andere machten die de combinatie “666” bevatten zijn : 2¹⁹²; 2²¹⁸; 2²²°; 2²²²; 2⁶⁶⁶; … De macht 2⁵°°°°°° bevat de combinatie “666666” en heeft 1505150 cijfers. Andere machten van de vorm 2ⁿ die de combinatie “666666” bevatten met n = 2269; 2271; 2868; 2870; 2954; 2956; 5485; 5651; 7244; 7389; 8909; 9195; 9203; 9271; 9273; 9275; 9514. Een magisch vierkant met 666 als rij- en kolomsom ; alle getallen zijn priemgetallen : 3 107 5 131 109 311 7 331 193 11 83 41 103 53 71 89 151 199 113 61 97 197 167 31 367 13 173 59 17 37 73 101 127 179 139 47 (216; 630; 666) is een Pythagorees drietal. Men kan het herschrijven als [(6x6x6); (666 – 6x6); 666] met alomtegenwoordigheid van zessen. Nog een 3x3 vierkant met 666 als rij- en kolomsom ; alle getallen zijn palindromen 212 121 333 313 222 101 111 323 232 Een staaltje “reken”kunde : 666² = 443556 en 666³ = 295408296 Nemen we nu de som van de derdemachten van de cijfers van het kwadraat, en voegen we hierbij de som van de cijfers van de derdemacht, dan komt er wonderbaarlijk dit : (4³ + 4³ + 3³ + 5³ + 5³ + 6³) + (2 + 9 + 5 + 4 + 0 + 8 + 2 + 9 + 6) = 621 + 45 = 666 Het is niet bekend wie dit bedacht heeft, maar het is een sterk staaltje van cijferkunst. En, ongelooflijk maar waar: het getal 2583 heeft dezelfde eigenschap ! 666 in Romeinse cijfers is DCLXVI en daarin komen alle karakters (behalve M) voor Romeinse cijfers voor in dalende volgorde. Een weetje : Het 3184° Fibonacci-getal heeft 666 cijfers. Het begint met de cijfers 11672437.... en eindigt op ...771163. Met Fibonacci-getallen heeft men : F(1)³ + F(2)³ + F(4)³ + F(5)³ + F(6)³ = 1 + 1 + 27 + 125 + 512 = 666 Wetenswaard: wie schrik heeft van het getal 666 heeft niets minder dan hexakosioihexekontahexafobie Nog wat “duivelse” wiskunde : De volgende getallen zijn priemgetallen, tegelijk palindromisch én bovendien bevatten ze centraal het getal “666” : 16661 en 1000000000000066600000000000001 De “structuur” van deze priemgetallen is : 1(000...0)666(000....0)1 waarbij we het aantal nullen vóór en na de 666 n noemen. Bij de gegeven voorbeelden horen n= 0 en n= 13. Dergelijke priemgetallen heten Belphegor priemgetallen en het rijtje begint met n = 0; 13; 42; 506; 608; 2472; 2623 (OEIS A232448) En tenslotte dit : (10⁶⁶⁶)! wordt het getal van Leviathan genoemd en het is monsterachtig groot !

666.1

\(666\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~?\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad~~~~\)In dit geval is \(m=27~~(+4)\).

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px solid]{ }\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(666\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

666.2

\(666^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(666^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)