\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende gehele getallen op drie verschillende wijzen :

\begin{cases} 411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66+67+68+69+70+71\\ 411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}136+137+138\\ 411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}205+206\\ \end{cases}

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135+ 137+ 139\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;7;19)\,(0;1;11;17)\,(0;5;5;19)\,(0;11;11;13)\,(1;1;3;20)\,(1;4;13;15)\,(1;8;11;15)\)

\(\qquad~~~~(3;4;5;19)\,(3;5;11;16)\,(3;7;8;17)\,(3;8;13;13)\,(4;5;9;17)\,(4;7;11;15)\,(5;7;9;16)\)

\(\qquad~~~~(5;11;11;12)\,(7;7;12;13))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#16\}\)

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;1;1;1;1;4;7)\,(0;0;0;1;2;3;5;5;5)\,(0;0;0;2;2;3;3;5;6)\,(0;0;1;1;1;4;4;4;6)\)

\(\qquad~~~~(0;0;3;4;4;4;4;4;4)\,(0;1;2;2;2;2;2;3;7)\,(0;2;2;3;3;3;4;5;5)\,(1;1;1;1;1;1;4;5;6)\)

\(\qquad~~~~(1;1;1;3;4;4;4;4;5)\,(1;2;2;2;2;4;4;5;5)\,(2;2;2;2;2;3;4;4;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#11\}\)

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+5+7+11+101+131+151\) (som van eerste acht palindromische priemgetallen)

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(1,4)}[12]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}157+254\)

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(3,9,8)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65+122+224\)

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,1,9,5)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}30+59+109+213\)

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}70^2-67^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{206^2-205^2}\)

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~9\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(411^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^5+41^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}264^2+315^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}685^2-548^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9389^2-9380^2\)

\(411^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(~x^m~\pm~y^n~\) heeft geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19 )\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{84666^2-84255^2}\)

De eerste keer dat er \(411\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen
\(124221464119~\) en \(~124221464531\) met aldus een priemkloof van \(412\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(\begin{aligned}411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{186871897}{25292280}}\right)^3+\left({\frac{49864103}{25292280}}\right)^3\end{aligned}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{411}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(6885^{\large{411}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6885\qquad\qquad~sdc\left(7001^{\large{411}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7001\qquad\qquad~sdc\left(7073^{\large{411}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7073\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(7174^{\large{411}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7174\qquad\qquad~sdc\left(7254^{\large{411}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7254\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(411\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^
\(411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(4\)^^\(1\)^^\(1)+4*(1-1)\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1+1)*(11-1))^{(1+1)}+11\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(22-2)^2+22/2\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*3^3+333-3\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^4+44+444/4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}444-44+44/4\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*(5*5+55)+55/5\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*66+6+6+6*6/(6+6)\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7*77-((7+7)/7)^7\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(8+8)*(8+8+8)+8+8+88/8\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((9+9)/9)^9-99-(9+9)/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*2*34*5+6+7*8+9\)
\(\qquad\qquad411\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+8+76*5+4*3+2*1\)

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}411\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\({\qquad\color{darkviolet}{49730}}^2-411*{\color{darkviolet}{2453}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

Splitst men deze periode van \(8\) cijfers in twee gelijke groepen van \(4\) cijfers dan is de som gelijk aan repdigit

\(0024+3309\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{indigo}{3333}}\)

\(411\) is een deler van \(10^{16}-1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9999999999999999\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}411*24330900243309\)

\(411\) is het aantal tiendemachten van \(33\) cijfers lang.  (OEIS A216654)

\(411\) is een getal wiens kwadraat een derdemacht wordt als één van de cijfers wordt weggelaten.  (OEIS A245096)

\(\qquad411^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}168921~~\to~~({\color{red}{1}})68921\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}41^3\)

  EEN UITDAGING  

Kan je nog andere getallen vinden met die eigenschap ?

Of zelfs een getal waar meerdere weglatingen meerdere \(n\)de machten opleveren. Voorwaarden: Elk volgend cijfer
moet verschillen van het vorige en vermijd getallen met voorlopende nullen na de cijferweglatingen.
Voorbeelden met twee weglatingen zoals bvb. met \(1215\) en \(1216\).
\(12({\color{red}{1}})5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^3~\) en \(~121({\color{red}{5}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11^2\)
\(({\color{red}{1}})216\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^3~\) en \(~121({\color{red}{6}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11^2\)
Nog eentje met vijf cijfers bvb. \(18649\)
\(({\color{red}{1}})8649\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}93^2~\) en \(~18({\color{red}{6})}49\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}43^2\)
Nog eentje met zeven cijfers bvb. \(1868624\)
\(({\color{red}{1}})868624\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}432^2~\) en \(~186({\color{red}{8})}624\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}932^2\)

De decimale expansie \(~411!~\) (faculteit) heeft \(~898~\) cijfers. En dat is een palindroom!  (OEIS A333598)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭