\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende gehele getallen op drie verschillende wijzen :

\begin{cases} 365=32+33+34+35+36+37+38+39+40+41\\ 365=71+72+73+74+75\\ 365=182+183 \end{cases}

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}69+71+73+75+77\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2+11^2+12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2+14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}100+121+144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}169+196\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(\qquad~~~~365\) is het tweede kleinste getal dat op twee verschillende wijzen kan voorgesteld worden als de som van

\(\qquad~~~~\)opeenvolgende kwadraten : \(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2+11^2+12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2+14^2~~\) (OEIS A059255)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;2;19)\,(0;0;13;14)\,(0;3;10;16)\,(0;4;5;18)\,(0;5;12;14)\,(0;10;11;12)\,(1;2;6;18)\)

\(\qquad~~~~(2;6;6;17)\,(2;6;10;15)\,(3;4;4;18)\,(3;4;12;14)\,(3;6;8;16)\,(4;6;12;13)\,(6;8;11;12))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#14\}\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;2;2;2;5;6)\,(0;0;2;2;2;3;4;5;5)\,(1;1;1;1;1;1;2;2;7)\,(1;1;1;1;3;3;3;4;6)\)

\(\qquad~~~~(1;3;3;3;3;4;4;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#5\}\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+7^2+17^2\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6!/(5-3)+5\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*(8^0+8^1+8^2)\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(1,8,8)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}58+108+199\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,6,7)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26+52+98+189\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+19^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2+14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}39^2-34^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{183^2-182^2}\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad~~~~\)In dit geval is \(m=40~~(+5)\).

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad~~~~(z\gt1000)\)

\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{64^5+(-67)^5+(-266)^5+(-506)^5+510^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(365^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^6][9^3][27^2]+364^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}76^2+357^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}219^2+292^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}240^2+275^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}949^2-876^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2677^2-2652^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;3065^2-210^3\)

\(365^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}215^2+6970^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}730^2+6935^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1241^2+6862^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2158^2+6631^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3577^2+5986^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4010^2+5705^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;4354^2+5447^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4745^2+5110^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7227^2-1898^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{66795^2-66430^2}\)

\(365^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}35^2-70^2+370^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}35^2-365^2+515^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}939^2+985^2-1311^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
De Russische kunstschilder Nikolay Petrovich Bogdanov-Belsky, bekend om zijn dorpse taferelen, schilderde in \(1895\)
het doek “Hoofdrekenen in de Rachinsky School”. Het doek stelt leerlingen in een dorpsklasje voor, verzameld rond
een schoolbord, waarop de volgende rekenoefening staat : \((10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365\) en blijkbaar hebben de
kinderen het er moeilijk mee. Maar wat is de uitkomst van deze “hoofdrekenen” berekening ?
(Hoofdrekenen, 1895)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
\(10^2+11^2+12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}100+121+144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}365\) en ook \(13^2+14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}169+196\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}365\) zodanig dat de teller van de breuk
gelijk is aan \(2*365\). Verder wordt het simpel : \(2*365/365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2\) en dat is meteen de uitkomst.

Een (gewoon) jaar telt \(365\) dagen en een extraatje dat gelijk is aan \(5\) uur, \(48\) minuten, \(46,08\) seconden. Het is dat
“extraatje” dat ervoor zorgt dat er om de \(4\) jaar een schrikkeljaar is en dat jaartallen die met een eeuw overeenkomen
\((1800;1900;2000;2100;\ldots)\) slechts schrikkeljaar zijn als het volledige jaartal door \(400\) deelbaar is.

De eerste keer dat er \(365\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen
\(20108776097~\) en \(~20108776463\) met aldus een priemkloof van \(366\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{365}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(6156^{\large{365}}\right)=6156\qquad\qquad~sdc\left(6282^{\large{365}}\right)=6282\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(365\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^
\(365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6\)^^\(3)*6-3-5-5\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad365=(1+1+1)*11*11+1+1\)
\(\qquad\qquad365=(22-2-2/2)^2+2+2\)
\(\qquad\qquad365=3+(33*33-3)/3\)
\(\qquad\qquad365=(4+4/4)^4-4^4-4\)
\(\qquad\qquad365=(5+5/5)*(55+5)+5\)
\(\qquad\qquad365=6*(66-6)+6-6/6\)
\(\qquad\qquad365=7*7*7+(77+77)/7\)
\(\qquad\qquad365=(8+8)*(8+8+8)-8-88/8\)
\(\qquad\qquad365=9*(9*9*9+9/9)/(9+9)\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad365=1+2+3*4+5+6*7*8+9\)
\(\qquad\qquad365=9+8*7*6+5+4*3+2+1\)

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}365\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{23915529}}^2-365*{\color{darkviolet}{1251796}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭