\(239=119+120\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(239=((1;2;3;15)\,(1;6;9;11)\,(3;3;5;14)\,(3;3;10;11)\,(3;5;6;13)\,(3;7;9;10))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#6\}\)

\(239=((1;1;1;3;3;3;3;4;4)\,(1;2;2;2;2;3;3;3;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(239=\sqrt{2*13^4-1}\)

\(239=2*4^3+4*3^3+3*1^3\)

\(239=23*9+23+9\)

\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\sqrt{14*15*16*17+1}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14+(14+1)^2~~\) (product van vier opeenvolgende getallen plus \(1\) is een kwadraat)

\(\qquad~~~~\)(OEIS A028387)

\(239=3^5-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^3-56^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}58^2-5^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{120^2-119^2}\)

239.1

\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad~~~~\)In dit geval is \(m=26~~(+5)\).

\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad~~~~(z\gt1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-1)^3+(-13)^3+(-28)^3+29^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-13)^3+(-22)^3+(-31)^3+35^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-4)^3+32^3+44^3+(-49)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-28)^3+(-52)^3+(-58)^3+71^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-7)^3+(-25)^3+(-73)^3+74^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{17^3+(-31)^3+(-91)^3+92^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-49)^3+86^3+104^3+(-118)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-7)^3+50^3+143^3+(-145)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-28)^3+(-40)^3+(-169)^3+170^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{41^3+(-145)^3+(-145)^3+182^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-49)^3+188^3+200^3+(-244)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{50^3+65^3+257^3+(-259)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-103)^3+131^3+275^3+(-280)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{65^3+(-172)^3+(-259)^3+281^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{221^3+(-301)^3+(-310)^3+359^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{23^3+92^3+362^3+(-364)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{101^3+(-334)^3+(-427)^3+485^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-4)^3+(-241)^3+(-532)^3+548^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-313)^3+(-412)^3+(-427)^3+563^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{86^3+335^3+560^3+(-598)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{17^3+(-448)^3+(-517)^3+611^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-70)^3+(-289)^3+(-598)^3+620^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{455^3+(-532)^3+(-616)^3+662^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-13)^3+245^3+662^3+(-673)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{50^3+299^3+659^3+(-679)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{122^3+494^3+632^3+(-721)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-22)^3+(-118)^3+(-742)^3+743^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-64)^3+(-112)^3+(-745)^3+746^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{101^3+197^3+758^3+(-763)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{197^3+(-211)^3+(-763)^3+764^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-124)^3+455^3+713^3+(-769)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-367)^3+(-514)^3+(-763)^3+857^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{455^3+518^3+812^3+(-916)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{254^3+(-661)^3+(-793)^3+917^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{287^3+(-598)^3+(-838)^3+920^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{407^3+716^3+749^3+(-949)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{29^3+539^3+911^3+(-970)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{71^3+(-742)^3+(-802)^3+974^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-259)^3+(-745)^3+(-856)^3+1019^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-298)^3+(-481)^3+(-976)^3+1022^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-13)^3+(-538)^3+(-973)^3+1025^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px green solid]{(-31)^3+776^3+959^3+(-1105)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+(-1)^5+(-1)^5+(-1)^5+3^5}\)

239.2

\(239^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)( heeft geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

\(239^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)( heeft geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{28680^2-28441^2}\)

239.3
Volgens het theorema van WARING kunnen alle gehele getallen voorgesteld worden als de som van ten hoogste \(9\)
derdemachten. De meeste getallen kunnen voorgesteld worden als de som van \(8\) (of minder) derdemachten. Er zijn
slechts twee uitzonderingen : voor \(23\) en \(239\) zijn negen derdemachten nodig. Zie bij )
Ook volgens hetzelfde theorema zijn de som van maximum \(4\) kwadraten of \(19\) vierdemachten nodig voor alle gehele
getallen. De meeste getallen vereisen minder kwadraten of vierdemachten. Echter, \(239\) verlangt steeds het maximum :
\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+3^2+15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+6^2+9^2+11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+3^2+5^2+14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+3^2+10^2+11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(\qquad~~~~3^2+5^2+6^2+13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+7^2+9^2+10^2~~\) (dit zijn de zes mogelijke gevallen met kwadraten).
\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+3^3+3^3+3^3+3^3+4^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3+3^3+3^3+5^3~~\) (\(9\) derdemachten)
\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13*1^4+4*2^4+2*3^4~~\) (\(19\) vierdemachten)
Voor de vijfdemachten evenwel heeft \(239\) niet het maximum aantal nodig. 		239.4
De som van (priemgetal) \(239\) en zijn omgekeerde : \(239+932=1171\) is een priemgetal.
Twee andere met hetzelfde patroon zijn \(229\) en \(241\). (Luhn priemgetal, zie bij )
Zie ook (OEIS A061783) 		239.5
\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^2+8^2+9^2+9^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+6^2+7^2+8^2+9^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+5^2+5^2+8^2+10^2\) 239.6

De eerste keer dat er \(239\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(391995431\)
en \(391995671\) met aldus een priemkloof van \(240\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

239.7
\(239\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen) :
\(142683/597=149853/627=235176/984=239\)
\(239\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen) :
\(470352/1968=826701/3459=890514/3726=239\) 		239.8
Men moet \(239\) tot minimaal de \(80293\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(239\) \(239\)'s verschijnen.
Terloops : \(239\)\(^{80293}\) heeft een lengte van \(190969\) cijfers.
239.9

 ○–○–○ 

\(239^2=57121~~\) en \(~~prime(57-prime(1)-2-1)=239\)
\(239^3=13651919~~\) en \(~~?=239\)
\(239^4=3262808641~~\) en \(~~?=239\)
\(239^5=779811265199~~\) en \(~~?=239\)
\(239^6=186374892382561~~\) en \(~~?=239\)
\(239^7=44543599279432079~~\) en \(~~?=239\)
\(239^8=10645920227784266881~~\) en \(~~?=239\)
\(239^9=2544374934440439784559~~\) en \(~~?=239\) 		239.10

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{239}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(3689^{\large{239}}\right)=3689\qquad\qquad~sdc\left(3789^{\large{239}}\right)=3789\qquad\qquad~sdc\left(4042^{\large{239}}\right)=4042\)

239.11

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(239\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^\(,\)^^\(\)
\(239\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2\)^^\(3\)^^\(9)+9-3\)^\(2\)

239.12

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad239=(1+1)*(11^{(1+1)}-1)-1\)
\(\qquad\qquad239=(22^2-2)/2-2\)
\(\qquad\qquad239=(3^{(3+3)}-3)/3-3\)
\(\qquad\qquad239=4^4-4*4-4/4\)
\(\qquad\qquad239=5*5*(5+5)-55/5\)
\(\qquad\qquad239=6*6*6+6+6+66/6\)
\(\qquad\qquad239=777-77*7+7/7\)
\(\qquad\qquad239=8*(8+8)+888/8\)
\(\qquad\qquad239=9*(9+9+9)-(9+9+9+9)/9\)

239.13

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad239=123+45+6+7*8+9\)
\(\qquad\qquad239=9*8+76+5+43*2*1\)

239.14

\(239\) is het kleinste priemgetal \(p\) waarbij het repeterend gedeelte van zijn reciproke (i.e. \(\large\frac{1}{p}\)) gelijk is aan \(7\).

\({\large\frac{1}{239}}=0.{\color{blue}{\overline{\color{green}{0041841}}}}~{\color{blue}{\overline{\color{green}{0041841}}}}~{\color{blue}{\overline{\color{green}{0041841}}}}~{\color{blue}{\overline{\color{green}{0041841}}}}~{\color{blue}{\overline{\color{green}{0041841}}}}~{\color{blue}{\overline{\color{green}{00418}\ldots}}}\)

239.15
\(239\) is het kleinste getal zodanig dat vermeerderd met het product van zijn cijfers dit een niet triviale permutatie
van \(239\) genereert \((239+2*3*9=293)\). 		239.16
\(239\) is het eindgetal van een priemtriplet \((227,233,239)\) met progressie \(+6\). 239.17

Er zijn \(239\) priemgetallen \(\lt 1500\).
Pari/GP code : p=0;forprime(i=1,1500,p+=1);print(p)

239.18
De enige twee oplossingen van de Diophantische vergelijking \(y^2+1=2*x^4\) met positieve gehele getallen
zijn \((x,y)=(1,1)\) of \((13,239)\). 		239.19

\(239\) is het grootste getal \(n\) zodat \(n!\) kan geschreven worden als een product van verschillende samengestelde getallen
in het gebied van \(n+1\) tot \(2*n\), inclusief. En nog wel op \(94766\) wijzen! (OEIS A157017)

Pari/GP code :

p=244*246*249*254*262*274*278*323*341*371*445*447*453*469*471*473*475;

cp=1;for(i=240,478,if(!isprime(i),cp*=i));

print(239!," = ");print(cp/p)

\(p\) is het product van de samengestelde getallen die niet voorkomen in de lijst van samengestelde getallen
tussen \(239+1=240\) en \(2*239=478\).

239.20
\(239\) is de kleinste priemfactor van het palindroomgetal \(1234567654321=239^2*4649^2=1111111^2\). 239.21
\(239\) is de grootste getal \(k\) zodanig dat \(P(k^2+1)\lt17\) waarbij \(P(m)\) staat voor de grootste priemfactor van \(m\).
Als \(k\geqslant240\) dan is \(P(k^2+1)\geqslant17\) maar \(239^2+1=2*13^4\). Dit werd bewezen door Maurice Mignotte.
De volledige reeks is \(1,2,3,5,7,8,18,57,239\).
Maar \(k^2+1\) is niet alleen 17-smooth, maar zelfs 13-smooth. Zie hiervoor (OEIS A285282) 		239.22
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(239\)\(_{\large\color{green}{52}}\)\(239\)\(2\)\(240\)
\(1,239\)
Priemgetal\(11101111\)EF\(_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 27 februari 2025