\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99+100\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}31+37+41+43+47\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}61+67+71\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21+34+55+89\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55+66+78\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(10)+D(11)+D(12)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1;1;1;14)\,(1;2;5;13)\,(1;6;9;9)\,(1;7;7;10)\,(2;5;7;11)\,(3;3;9;10)\,(5;5;7;10))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#7\}\)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;1;1;2;4;5)\,(0;0;0;3;3;3;3;3;4)\,(0;0;1;2;2;3;3;4;4)\,(1;1;1;1;2;2;3;3;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+16+25+36+49+64\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+5^2+7^2+11^2\) (kleinste priemgetal als som van kwadraten van vier verschillende priemgetallen)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19*9+19+9\)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{\,1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3+17^3+19^3}{1\,+\,3\,+\,5\,+\,7\,+\,9\,+\,11\,+\,13\,+\,15\,+\,17\,+\,19}}\) (OEIS A056220)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{11}-43^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^3-12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^4-99^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^2-5^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{100^2-99^2}\)

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~13\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-2)^5+(-4)^5+(-6)^5+(-6)^5+7^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-2)^5+3^5+(-13)^5+(-16)^5+17^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{39^5+92^5+(-120)^5+(-142)^5+150^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(199^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(~x^m\pm y^n~\) heeft geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

\(199^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(~x^m\pm y^n~\) heeft geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{19900^2-19701^2}\)

\begin{align} 1{\color{blue}{9}}^3&=685{\color{blue}{9}}\\ 1{\color{blue}{99}}^3&=78805{\color{blue}{99}}\\ 1{\color{blue}{999}}^3&=7988005{\color{blue}{999}}\\ 1{\color{blue}{9999}}^3&=799880005{\color{blue}{9999}}\\ \cdots&=\cdots \end{align}

\(199\) is het kleinste getal met een additieve persistentie van \(3\). Eerst een woordje uitleg over “additieve persistentie”:
Als we een getal nemen en we tellen de cijfers op en herhalen dit voor het aldus bekomen getal, en blijven dit herhalen tot we op één cijfer uitkomen (en het proces stopt), dan bepaalt het aantal “stappen” de additieve persistentie. Een
voorbeeld : \(195\) geeft \(1+9+5=15~;15\) geeft \(1+5=6\) en het proces stopt na twee stappen; \(195\) heeft dus een
additieve persistentie van \(2\). Voor \(199\) vinden we : \(199\) geeft \(1+9+9=19~;19\) geeft \(1+9=10\) en \(10\) geeft \(1+0=1\).
Dus persistentie \(3\). Er bestaat ook een multiplicatieve persistentie (zie hiervoor bij de getallen 11.22 en 77.12 )

\(199+210*n\) met \(n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\) levert de kleinste reeks van \(8,9\) en \(10\) priemgetallen in rekenkundige progressie.

\(199=2*10^2-1\) is een priemgetal van de vorm \((k*10^k-1)\), een veralgemeend Woodall priemgetal. (OEIS A059671)

\(199\) is de kleinste niet-derdemacht wiens vijfdemacht dichter aansluit bij een derdemacht dan een kwadraat.

\(199^5=312079600999=A\)

\(6783^3=312079650687=X\)

\(558641^2=312079766881=Y\)

\(X-A=312079650687-312079600999=49688~~\) tegenover

\(Y-A=312079766881-312079600999=165882~~\)

en \(~~49688 \lt 165882\)

De eerste keer dat er \(199\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(378043979\)
en \(378044179\) met aldus een priemkloof van \(200\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}199\to\)
\(b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{5}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}981327565670316007395~~\)
(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{199}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(2030^{\large{199}}\right)=2030\qquad\qquad~
sdc\left(3077^{\large{199}}\right)=3077\qquad\qquad~
sdc\left(3113^{\large{199}}\right)=3113\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(3123^{\large{199}}\right)=3123\qquad\qquad~
sdc\left(3166^{\large{199}}\right)=3166\qquad\qquad~
sdc\left(3175^{\large{199}}\right)=3175\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(3195^{\large{199}}\right)=3195\qquad\qquad~
sdc\left(3259^{\large{199}}\right)=3259\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(199\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(199\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+9+9)*(1+9)+9\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad199=(1+1)*(11-1)^{(1+1)}-1\)
\(\qquad\qquad199=((22-2)^2-2)/2\)
\(\qquad\qquad199=33*(3+3)+3/3\)
\(\qquad\qquad199=4^4+4+4-(4^4+4)/4\)
\(\qquad\qquad199=(5+5)*(5*5-5)-5/5\)
\(\qquad\qquad199=6*6*6-6-66/6\)
\(\qquad\qquad199=77+(777+77)/7\)
\(\qquad\qquad199=88+888/8\)
\(\qquad\qquad199=99+99+9/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad199=12+3+45+67+8*9\)
\(\qquad\qquad199=9*8+76+5+43+2+1\)

(multigrades) \(199\to199^5\to\)

\begin{aligned} 199^1&=73^1-581^1+709^1+1831^1-1833^1\\ 199^5&=73^5-581^5+709^5+1831^5-1833^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}199\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\({\qquad\color{darkviolet}{16266196520}}^2-199*{\color{darkviolet}{1153080099}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭