\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}84+85\)

\(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende gehele getallen)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+17+19+23+29+31+37\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}78+91\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(12)+D(13)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;13)\,(0;0;5;12)\,(0;3;4;12)\,(1;2;8;10)\,(2;4;7;10)\,(4;4;4;11)\,(4;5;8;8)\,(4;6;6;9))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#8\}\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;1;2;2;3;5)\,(0;0;2;2;2;3;3;3;4)\,(0;1;2;2;2;2;2;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+2^2+4^2+12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+6^2+6^2+6^2+6^2\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2^2+3^2)^2\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4+2^5+11^2\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(16*9)+(16+9)\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^9][8^3]-7^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^2-3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{85^2-84^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}499^2-12^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}689^2-78^3\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~16\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(169^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65^2+156^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}119^2+120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1105^2-1092^2\)

\(169^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}828^2+2035^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}845^2+2028^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1547^2+1560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6591^2-338^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{14345^2-14176^2}\)

\(169,196\) en \(961\) zijn drie kwadraten die met dezelfde cijfers worden geschreven :

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2~;196\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^2~;961\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}31^2\)

\(169\) is het kleinste kwadraat met drie verschillende cijfers.

\(\sqrt{169}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16-\sqrt{9}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\sqrt{16}+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19-6\) (zelfde cijfers)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}49+50+70~~\) en \(~~49^2+50^2+70^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9801\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99^2\)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Met de cijfers van \(169\) kan men verschillende kwadraten maken. Hoeveel kunt u er vinden ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
\(1,9,16,169,196,961\) (kwadraten van resp. \(1,3,4,13,14,31\)) maar verder is mogelijk :
\(9+16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25~~(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2\,)~~;~~9+1+6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16~~(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2\,)~~;~~9*16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}144~~(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2\,)~~;~~1+9-6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4~~(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2\,)\)

\(169^2~~(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28561)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}119^2+120^2~~\)is het vierde kwadraat dat gelijk is aan de som van twee opeenvolgende kwadraten.
De rij gaat als volgt : \(1^2,5^2,29^2,169^2,985^2,5741^2,\ldots\) (OEIS A001653)

De eerste keer dat er \(169\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(27915737\)
en \(27915907\) met aldus een priemkloof van \(170\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\({\color{blue}{169}}\to1!+6!+9!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}363601\to3!+6!+3!+6!+0!+1!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1454\to1!+4!+5!+4!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{blue}{169}}\)
en de cirkel is rond.

\(169\) is een kwadraat \(13^2\) net zoals zijn omgekeerde \(961\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}31^2\). Noteer dat \(13\) en \(31\) ook elkaars omgekeerde zijn.

\(169\) is het kleinste driecijferkwadraat met cijfers in strikt stijgende volgorde. (OEIS A122683)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{14!\,-\,13!}{12!}}\)

\(169\) kan uitgedrukt worden als som van \(2\) tot \(169\) kwadraten behalve met \(156\) kwadraten.

Vanaf \(169\) zijn alle machten van \(2\) pandigitaal, wordt verondersteld. Alle cijfers van \(0\) to \(9\) zijn dan aanwezig in de
decimale expansie.

\({\color{blue}{169}}+170+171+172+173+174+175+176+177+178+179+180+181+182\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(183+184+185+186+187+188+189+190+191+192+193+194+195\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{tomato}{2457}}\)

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals \(k\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2\). De linkersom heeft \(\sqrt{k}+1\) termen en de rechtersom \(\sqrt{k}\).

(OEIS A059270)

\(\begin{align}169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{8}{1}}\right)^3-\left({\frac{7}{1}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Als het verschil tussen de derdemachten van twee opeenvolgende getallen een kwadraat is
\(\qquad8^3-7^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2\)
dan kan dit kwadraat uitgedrukt worden als som van twee verschillende kwadraten
\(\qquad8^3-7^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+12^2\)
en de wortel van ons kwadraat is tevens de som van twee opeenvolgende kwadraten.
\(\qquad13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^2\)

\(169\) is het tweede samengestelde getal \((13*13)\) dat gelijk is aan het verschil van twee opeenvolgende derdemachten.

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^3-7^3\). De formule om dit getal te berekenen is \(1+3t*(t+1)\) met \(t\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7\) dewelke ons brengt naar de

eerste derdemacht (\(8^3)\) (OEIS A159961)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{169}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc(1640^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1640\qquad\qquad~sdc(1670^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1670\qquad\qquad~sdc(1760^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1760\)

\(\qquad\qquad~sdc(2483^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2483\qquad\qquad~sdc(2489^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2489\qquad\qquad~sdc(2573^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2573\)

\(\qquad\qquad~sdc(2585^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2585\qquad\qquad~sdc(2596^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2596\qquad\qquad~sdc(2646^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2646\)

\(\qquad\qquad~sdc(2662^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2662\qquad\qquad~sdc(2672^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2672\qquad\qquad~sdc(2684^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2684\)

\(\qquad\qquad~sdc(2741^{\large{169}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2741\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(169\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((9-6)*9+1)*6+1\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(11+1+1)^{(1+1)}\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2+22/2)^2\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+3)*3^3+3+3+3/3\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*44+4-44/4\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55*5+5-555/5\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6+6+6/6)^{((6+6)/6)}\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77+77+7+7+7/7\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}88+88-8+8/8\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*9+99-99/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+23*4+5+6+7*8+9\)
\(\qquad\qquad169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*8+7+65+4*3*2+1\)

\(169\) is het product van \(D(13)\) met de som van de reciproken van de eerste \(13\) driehoeksgetallen :

\(91*{\large(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+\frac{1}{45}+\frac{1}{55}+\frac{1}{66}+\frac{1}{78}+\frac{1}{91}})\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}169\)

Pari/GP code : 91*sum(d=1,13,1/((d*d+d)/2))

(vier multigrades) \(169\to169^5\to\)

\begin{aligned} 169^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^1-63^1-67^1+131^1+159^1\\ 169^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^5-63^5-67^5+131^5+159^5\\ \\ 169^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-16^1-86^1+276^1+489^1-494^1\\ 169^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-16^5-86^5+276^5+489^5-494^5\\ \\ 169^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}234^1+572^1-663^1-832^1+858^1\\ 169^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}234^5+572^5-663^5-832^5+858^5\\ \\ 169^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}122^1-721^1+838^1+853^1-923^1\\ 169^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}122^5-721^5+838^5+853^5-923^5\\ \end{aligned}

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭