\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}84+85\)

\(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende gehele getallen)

\(169=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(169=13+17+19+23+29+31+37\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}78+91\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(12)+D(13)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(169=((0;0;0;13)\,(0;0;5;12)\,(0;3;4;12)\,(1;2;8;10)\,(2;4;7;10)\,(4;4;4;11)\,(4;5;8;8)\,(4;6;6;9))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#8\}\)

\(169=((0;0;0;0;1;2;2;3;5)\,(0;0;2;2;2;3;3;3;4)\,(0;1;2;2;2;2;2;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+2^2+4^2+12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+6^2+6^2+6^2+6^2\)

\(169=(2^2+3^2)^2\)

\(169=2^4+2^5+11^2\)

\(169=(16*9)+(16+9)\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^9][8^3]-7^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^2-3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{85^2-84^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}499^2-12^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}689^2-78^3\)

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~16\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(169\) is het kleinste kwadraat met drie verschillende cijfers.

\(169,196\) en \(961\) zijn drie kwadraten die met dezelfde cijfers worden geschreven :

\(169=13^2~;196=14^2~;961=31^2\)

\(169^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65^2+156^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}119^2+120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1105^2-1092^2\)

\(169^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}828^2+2035^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}845^2+2028^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1547^2+1560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6591^2-338^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{14345^2-14176^2}\)

\(\sqrt{169}=16-\sqrt{9}=\sqrt{16}+9=19-6\) (zelfde cijfers)

\(169=13^2=49+50+70~~\) en \(~~49^2+50^2+70^2=9801=99^2\)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Met de cijfers van \(169\) kan men verschillende kwadraten maken. Hoeveel kunt u er vinden ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
\(1,9,16,169,196,961\) (kwadraten van resp. \(1,3,4,13,14,31\)) maar verder is mogelijk :
\(9+16=25~~(=5^2)~~;~~9+1+6=16~~(=4^2)~~;~~9*16=144~~(=12^2)~~;~~1+9-6=4~~(=2^2)\)

\(169^2~~(=28561)=119^2+120^2~~\)is het vierde kwadraat dat gelijk is aan de som van twee opeenvolgende kwadraten.
De rij gaat als volgt : \(1^2,5^2,29^2,169^2,985^2,5741^2,\ldots\) (OEIS A001653)

De eerste keer dat er \(169\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(27915737\)
en \(27915907\) met aldus een priemkloof van \(170\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\({\color{blue}{169}}\to1!+6!+9!=363601\to3!+6!+3!+6!+0!+1!=1454\to1!+4!+5!+4!={\color{blue}{169}}~~\)en de cirkel is rond.

\(169\) is een kwadraat \(13^2\) net zoals zijn omgekeerde \(961=31^2\). Noteer dat \(13\) en \(31\) ook elkaars omgekeerde zijn.

\(169\) is het kleinste driecijferig kwadraat met cijfers in strikt stijgende volgorde. (OEIS A122683)

\(169=13^2={\Large\frac{14!\,-\,13!}{12!}}\)

\(169\) kan uitgedrukt worden als som van \(2\) tot \(169\) kwadraten behalve met \(156\) kwadraten.

Vanaf \(169\) zijn alle machten van \(2\) pandigitaal, wordt verondersteld. Alle cijfers van \(0\) to \(9\) zijn dan aanwezig in de
decimale expansie.

\({\color{blue}{169}}+170+171+172+173+174+175+176+177+178+179+180+181+182=\)

\(183+184+185+186+187+188+189+190+191+192+193+194+195={\color{tomato}{2457}}\)

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals \(k=169=13^2\). De linkersom heeft \(\sqrt{k}+1\) termen en de rechtersom \(\sqrt{k}\).

(OEIS A059270)

\(\begin{align}169\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{8}{1}}\right)^3-\left({\frac{7}{1}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)