$169\mathbf{=}7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19\mathbf{=}84+85$

$$(som van opeenvolgende gehele getallen)

$169=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$169=13+17+19+23+29+31+37$ (som van opeenvolgende priemgetallen)

$169\mathbf{=}78+91\mathbf{=}D(12)+D(13)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$169=((0;0;0;13)(0;0;5;12)(0;3;4;12)(1;2;8;10)(2;4;7;10)(4;4;4;11)(4;5;8;8)(4;6;6;9))➋\to \{\mathrm{\#}8\}$

$169=((0;0;0;0;1;2;2;3;5)(0;0;2;2;2;3;3;3;4)(0;1;2;2;2;2;2;4;4))➌\to \{\mathrm{\#}3\}$

$169\mathbf{=}{1}^2+2^2+2^2+4^2+{12}^2\mathbf{=}{5}^2+6^2+6^2+6^2+6^2$

$169=(2^2+3^2{)}^2$

$169=2^4+2^5+{11}^2$

$169=(16\ast 9)+(16+9)$

$169\mathbf{=}[2^9][8^3]-7^3\mathbf{=}{5}^2+{12}^2\mathbf{=}{14}^2-3^3\mathbf{=}{85}^2-{84}^2\mathbf{=}{499}^2-{12}^5\mathbf{=}{689}^2-{78}^3$

$169\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$16$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$169\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$oplossingonbekend\mathbf{=}(z>200)$

$169$ is het kleinste kwadraat met drie verschillende cijfers.

$169,196$ en $961$ zijn drie kwadraten die met dezelfde cijfers worden geschreven :

$169={13}^2;196={14}^2;961={31}^2$

${169}^2\mathbf{=}{65}^2+{156}^2\mathbf{=}{119}^2+{120}^2\mathbf{=}{1105}^2-{1092}^2$

${169}^3\mathbf{=}{828}^2+{2035}^2\mathbf{=}{845}^2+{2028}^2\mathbf{=}{1547}^2+{1560}^2\mathbf{=}{6591}^2-{338}^3\mathbf{=}\cdots \mathbf{=}{14345}^2-{14176}^2$

$\sqrt{169}=16-\sqrt{9}=\sqrt{16}+9=19-6$ (zelfde cijfers)

$169={13}^2=49+50+70$ en ${49}^2+{50}^2+{70}^2=9801={99}^2$

$Opgave$
Met de cijfers van $169$ kan men verschillende kwadraten maken. Hoeveel kunt u er vinden ?
$Oplossing$
$1,9,16,169,196,961$ (kwadraten van resp. $1,3,4,13,14,31$) maar verder is mogelijk :
$9+16=25(=5^2);9+1+6=16(=4^2);9\ast 16=144(={12}^2);1+9-6=4(=2^2)$

${169}^2(=28561)={119}^2+{120}^2$is het vierde kwadraat dat gelijk is aan de som van twee opeenvolgende kwadraten.
De rij gaat als volgt : $1^2,5^2,{29}^2,{169}^2,{985}^2,{5741}^2,\dots$ (OEIS A001653)

De eerste keer dat er $169$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $27915737$
en $27915907$ met aldus een priemkloof van $170.$ (OEIS A000101.pdf)

$169\to 1!+6!+9!=363601\to 3!+6!+3!+6!+0!+1!=1454\to 1!+4!+5!+4!=169$en de cirkel is rond.

$169$ is een kwadraat ${13}^2$ net zoals zijn omgekeerde $961={31}^2$. Noteer dat $13$ en $31$ ook elkaars omgekeerde zijn.

$169$ is het kleinste driecijferig kwadraat met cijfers in strikt stijgende volgorde. (OEIS A122683)

$169={13}^2=\frac{14!-13!}{12!}$

$169$ kan uitgedrukt worden als som van $2$ tot $169$ kwadraten behalve met $156$ kwadraten.

Vanaf $169$ zijn alle machten van $2$ pandigitaal, wordt verondersteld. Alle cijfers van $0$ to $9$ zijn dan aanwezig in de
decimale expansie.

$169+170+171+172+173+174+175+176+177+178+179+180+181+182=$

$183+184+185+186+187+188+189+190+191+192+193+194+195=2457$

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals $k=169={13}^2$. De linkersom heeft $\sqrt{k}+1$ termen en de rechtersom $\sqrt{k}$.

(OEIS A059270)

$\begin{array}{r}169\mathbf{=}{\left(\frac{8}{1}\right)}^3-{\left(\frac{7}{1}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Als het verschil tussen de derdemachten van twee opeenvolgende getallen een kwadraat is
$8^3-7^3=169={13}^2$
dan kan dit kwadraat uitgedrukt worden als som van twee verschillende kwadraten
$8^3-7^3={13}^2=5^2+{12}^2$
en de wortel van ons kwadraat is tevens de som van twee opeenvolgende kwadraten.
$13=2^2+3^2$

$169$ is het tweede samengestelde getal $(13\ast 13)$ dat gelijk is aan het verschil van twee opeenvolgende derdemachten.

$169=8^3-7^3$. De formule om dit getal te berekenen is $1+3t\ast (t+1)$ met $t=7$ dewelke ons brengt naar de

eerste derdemacht ($8^3)$ (OEIS A159961)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{169}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc({1640}^{169})=1640sdc({1670}^{169})=1670sdc({1760}^{169})=1760$

$sdc({2483}^{169})=2483sdc({2489}^{169})=2489sdc({2573}^{169})=2573$

$sdc({2585}^{169})=2585sdc({2596}^{169})=2596sdc({2646}^{169})=2646$

$sdc({2662}^{169})=2662sdc({2672}^{169})=2672sdc({2684}^{169})=2684$

$sdc({2741}^{169})=2741$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $169$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$169\mathbf{=}((9-6)\ast 9+1)\ast 6+1$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$169=(11+1+1{)}^{(1+1)}$
$169=(2+22/2{)}^2$
$169=(3+3)\ast 3^3+3+3+3/3$
$169=4\ast 44+4-44/4$
$169=55\ast 5+5-555/5$
$169=(6+6+6/6{)}^{((6+6)/6)}$
$169=77+77+7+7+7/7$
$169=88+88-8+8/8$
$169=9\ast 9+99-99/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$169=1+23\ast 4+5+6+7\ast 8+9$
$169=9\ast 8+7+65+4\ast 3\ast 2+1$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$