\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12+13+14+15+16+17+18+19+20\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}47+48+49\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8+10+12+14+16+18+20+22+24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}46+48+50\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op vijf verschillende wijzen de som van opeenvolgende onpare getallen :

\begin{cases} 144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23\\ 144=11+13+15+17+19+21+23+25\\ 144=19+21+23+25+27+29\\ 144=33+35+37+39\\ 144=71+73 \end{cases}

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}71+73\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(144=55+89\) (som van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en daardoor zelf een getal van dat type)

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66+78\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(11)+D(12)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(144=((0;0;0;12)\,(0;4;8;8)\,(2;2;6;10)\,(6;6;6;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}\)

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+4^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~((0;0;0;0;0;2;2;4;4)\,(0;0;0;1;1;1;2;2;5)\,(0;0;1;2;3;3;3;3;3)\,(0;1;1;2;2;2;3;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(144=10^3-9^3-7^3+6^3\)

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4+2^5+2^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+3^4+6^2\)

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^4][4^2]+2^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^5-316^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2-5^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^2-[3^4][9^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^2-[2^8][4^4][16^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}37^2-35^2\)

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~48\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-17)^5+(-19)^5+(-31)^5+(-50)^5+51^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

\(144=12^2~~\) en \(~~21^2=441~~\) zijn elkaars spiegelbeeld en bevatten dus dezelfde cijfers.

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3!*4!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4!+5!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6!/5\)

\(144=(1+4)!+4!\)

\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2*[2^4][4^2]\)

\(144^5=27^5+84^5+110^5+133^5\)

Volgens het vermoeden van EULER in \(1769\) waren er ten minste \(5\) vijfdemachten nodig om een som te maken die
gelijk is aan een andere vijfdemacht. Het voorbeeld hierboven (gevonden in \(1967\) door LANDER en PARKIN) toont
aan dat het vermoeden niet juist was.

\(136^2+137^2+138^2+\cdots+143^2+{\color{blue}{144}}^2=145^2+146^2+\cdots+151^2+152^2\)

Zie bij 136.10

\(144\) is het kleinste getal dat gelijk is aan \(16\) maal de som van zijn cijfers : \(144=16*(1+4+4)\)

Andere getallen met dezelfde eigenschap zijn \(192\) en \(288\)

Daarnaast is \(144\) ook een veelvoud van het product van zijn cijfers \((144=9*(1*4*4))\) en bovendien is \((1+4+4)*(1*4*4)=144\). Zie ook 135.8

\(144\) is de oppervlakte van twee driehoeken met gehele zijden : \((6;50;52)\) en \((18;20;34)\)

(Formule van Heron)

\(144\) is het enige bekende Fibonaccigetal dat tevens een kwadraat is (het triviale geval \(1\) uitgesloten).
Bovendien is \(144\) het \(12de\) Fibonaccigetal en dat is gelijk aan het kwadraat van zijn rang : \(12^2=144\)

\(144^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{13}+112^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40^3-208^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}145^2-17^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}150^2-42^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}156^2-60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}180^2-108^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}194^2-130^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;219^2-165^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}240^2-192^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}306^2-270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}340^2-308^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}444^2-420^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}585^2-567^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;656^2-640^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}870^2-858^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1300^2-1292^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1731^2-1725^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2594^2-2590^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5185^2-5183^2\)

\(144^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[72^4][5184^2]-288^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1740^2-204^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1753^2-295^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1800^2-504^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1872^2-720^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1970^2-946^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;2022^2-1050^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2160^2-[6^8][36^4][1296]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2328^2-1560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2628^2-1980^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2880^2-[48^4][2304^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;3172^2-2660^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3315^2-2829^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3672^2-3240^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4080^2-3696^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4770^2-4446^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5328^2-5040^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;5960^2-5704^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7020^2-6804^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7872^2-7680^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9297^2-9135^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\ldots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{10440^2-10296^2}\)

De binnenhoeken van een reguliere tienhoek (decagon) meten \(144\) graden  (Wikipedia)

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(144=(11+11)+(11-11)+(11*11)+(11/11)\)
\(144=(20+5)+(20-5)+(20*5)+(20/5)\)
\(144=(27+3)+(27-3)+(27*3)+(27/3)\)
\(144=(32+2)+(32-2)+(32*2)+(32/2)\)
\(144=(36+1)+(36-1)+(36*1)+(36/1)\)

\(144=12^2={\Large\frac{13!\,-\,12!}{11!}}\)

\({\color{blue}{144}}+145+146+147+148+149+150+151+152+153+154+155+156=\)

\(157+158+159+160+161+162+163+164+165+166+167+168={\color{tomato}{1950}}\)

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals \(k=144=12^2\). De linkersom heeft \(\sqrt{k}+1\) termen en de rechtersom \(\sqrt{k}\).

(OEIS A059270)

\(144\) is de som van de cijfers van zowel \(33!,34!,35!\) & \(41!\).

Pari/GP code : s=0;d=digits(33!);for(i=1,#d,s+=d[i]);print(s)

\(144\) is de som van de cijfers van de \(20\) eerste priemgetallen.

\((2)+(3)+(5)+(7)+(1+1)+(1+3)+(1+7)+(1+9)+(2+3)+(2+9)+(3+1)+(3+7)+(4+1)\,+\)

\((4+3)+(4+7)+(5+3)+(5+9)+(6+1)+(6+7)+(7+1)\)

Pari/GP code : s=0;for(i=1,20,d=digits(prime(i));for(j=1,#d,s+=d[j]));print(s)

\(2\)\(^{13}\)\(=8192~~\) en \(~~8*1*9*2={\color{blue}{144}}\)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}144\to b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{1}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7712427320771761~~\)
(OEIS A236067)

\(144= {\Large\frac{161616161616161616}{1122334455667789}}\) (een esthetisch verantwoorde breuk)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{144}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(2143^{\large{144}}\right)=2143~~\to\) Unieke oplossing voor \(k\gt1\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(144\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(144\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1*1+4+4)*4*4\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad144=(11+1)^{(1+1)}\)
\(\qquad\qquad144=(2*(2+2+2))^2\)
\(\qquad\qquad144=(3+3)*(3^3-3)\)
\(\qquad\qquad144=4*(4*(4+4)+4)\)
\(\qquad\qquad144=(5+5/5)*(5*5-5/5)\)
\(\qquad\qquad144=(6+6)*(6+6)\)
\(\qquad\qquad144=(7+7/7)*(7+77/7)\)
\(\qquad\qquad144=88+8*8-8\)
\(\qquad\qquad144=(9+9)*(9-9/9)\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad144=12+34+5+6+78+9\)
\(\qquad\qquad144=98+7+6+5+4+3+21\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)