\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33+34+35+36\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}45+46+47\)

\(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende gehele getallen)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18+20+22+24+26+28\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}44+46+48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}68+70\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29+31+37+41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67+71\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;4;11)\,(0;5;7;8)\,(1;1;6;10)\,(1;3;8;8)\,(2;2;3;11)\,(2;2;7;9)\,(2;3;5;10)\)

\(\qquad~~~~(2;6;7;7)\,(3;4;7;8)\,(4;4;5;9))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#10\}\)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;1;1;2;4;4)\,(0;0;1;1;1;1;1;2;5)\,(0;1;1;1;3;3;3;3;3)\,(1;1;1;1;2;2;3;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+3^2+11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^2+5^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5+3^4+5^2\)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*3*23~~\) (\(138\) is sphenisch)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}eulerphi(139,278)\)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}173^2-31^3~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~1\) oplossing bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-77)^3+(-86)^3+103^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(138^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}230^2-184^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}538^2-520^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1590^2-1584^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4762^2-4760^2\)

\(138^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1679^2-437^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1771^2-713^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2001^2-1173^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3381^2-2967^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4899^2-4623^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{9591^2-9453^2}\)

\(138*42\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5796\) (alle cijfers van \(1\) tot \(9\))

\(483*12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5796\) (variante met \(483\))

De vorm \((n^{23}-n)\) is deelbaar door \(138\). Bvb. \(3^{23}-3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}94143178824\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}138*682196948\)

\(138\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen) :
\(257094/1863=694278/5031=930258/6741=138\)

Voor \(n=138~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+16) ~~\to~~ {\large\sigma}(138)={\large\sigma}(154)=288~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(138\) is de derde oplossing uit de reeks \(30,55,138,174,204,205,264,350,355,460,1276,\ldots\)

Voor \(n=138~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+27) ~~\to~~ {\large\sigma}(138)={\large\sigma}(165)=288~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(138\) is de vierde oplossing uit de reeks \(42,48,118,138,1338,3438,8618,\ldots\)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}138\to b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{5}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}133466327763608335~~\)
(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{138}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1944^{\large{138}}\right)=1944\qquad\qquad~sdc\left(2071^{\large{138}}\right)=2071\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(138\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(138\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((8+8)*3-1-1)*3\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad138=(1+1+1)^{(1+1+1)}+111\)
\(\qquad\qquad138=(2+2/2)*(2*22+2)\)
\(\qquad\qquad138=3^3+333/3\)
\(\qquad\qquad138=4*4*(4+4)+(44-4)/4\)
\(\qquad\qquad138=5*(5*55+5/5)/(5+5)~~{\small\color{green}{(Origineel{\color{red}{~5*(5*55+5)/(5+5)~}}is~onjuist)}}\)
\(\qquad\qquad138=66+66+6\)
\(\qquad\qquad138=7*7+77+(77+7)/7\)
\(\qquad\qquad138=8*(8+8)+(88-8)/8\)
\(\qquad\qquad138=9+9+9+999/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad138=12*3+4+5+6+78+9\)
\(\qquad\qquad138=98+7+6+5*4+3*2+1\)

Een curiosum is deze relatie van \(138\) met \(666\)
\(\qquad\qquad138+138/2=207~~\)en\(~~0.\underline{207}207207\ldots*666=138\)

(drie multigrades) \(138\to138^5\to\)

\begin{aligned} 138^1&=21^1-867^1+1050^1+1209^1-1275^1\\ 138^5&=21^5-867^5+1050^5+1209^5-1275^5\\ \\ 138^1&=354^1+834^1-1104^1-1434^1+1488^1\\ 138^5&=354^5+834^5-1104^5-1434^5+1488^5\\ \\ 138^1&=-156^1-1662^1+2076^1+2502^1-2622^1\\ 138^5&=-156^5-1662^5+2076^5+2502^5-2622^5\\ \end{aligned}

(multigrades) \(138\to2370099168\to\)

\begin{aligned} 8^1+62^1+68^1&=21^1+43^1+74^1\\ 8^5+62^5+68^5&=21^5+43^5+74^5\\ \end{aligned}

(multigrades) \(138\to4630\to173466\to6830374\to276717738\to\) \begin{align} 1^1+11^1+13^1+33^1+35^1+45^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^1+5^1+21^1+25^1+41^1+43^1\\ 1^2+11^2+13^2+33^2+35^2+45^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+5^2+21^2+25^2+41^2+43^2\\ 1^3+11^3+13^3+33^3+35^3+45^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+5^3+21^3+25^3+41^3+43^3\\ 1^4+11^4+13^4+33^4+35^4+45^4&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^4+5^4+21^4+25^4+41^4+43^4\\ 1^5+11^5+13^5+33^5+35^5+45^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^5+5^5+21^5+25^5+41^5+43^5\\ \end {align}

De termen van deze pentagrade opgeteld met de termen uit de pentagrade 66.32 vormen de pentagrade uit 204.30.

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}138\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{47}}^2-138*{\color{darkviolet}{4}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭