\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op zeven verschillende wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 135=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16\\ 135=9+10+11+12+13+14+15+16+17+18\\ 135=11+12+13+14+15+16+17+18+19\\ 135=20+21+22+23+24+25\\ 135=25+26+27+28+29\\ 135=44+45+46\\ 135=67+68 \end{cases}

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie verschillende wijzen de som van opeenvolgende onpare getallen :

\begin{cases} 135=7+9+11+13+15+17+19+21+23\\ 135=23+25+27+29+31\\ 135=43+45+47 \end{cases}

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+4^2+5^2+6^2+7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+16+25+36+49\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(135=((1;2;3;11)\,(1;2;7;9)\,(1;3;5;10)\,(1;6;7;7)\,(2;5;5;9)\,(3;3;6;9)\,(5;5;6;7))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#7\}\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*(1+2+3+4+5+6+7+8+9)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+9*10\)

\(135=3^3+3^3+3^4\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+2^3+5^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~((0;0;0;0;0;1;1;2;5)\,(0;0;0;0;3;3;3;3;3)\,(0;0;0;1;2;2;3;3;4)\,(1;1;1;1;1;1;1;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]-11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^3-[3^4][9^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2-3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^3-82^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^2-21^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^3-117^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{68^2-67^2}\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~17\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(135=1^1+3^2+5^3\) (de machten lopen op : \(1,2,3\) – hetzelfde heeft men bij \(89,175,518,598\))

\(135^3=154^3+90^3+120^3\)

\(135^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^8][9^4][81^2]+108^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^4-180^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}45^3-270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}153^2-72^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}159^2-84^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}225^2-180^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;351^2-[18^4][324^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}377^2-352^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}615^2-600^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1017^2-1008^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1825^2-1820^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3039^2-3036^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;9113^2-9112^2\)

\(135^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}72^4-4941^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1620^2-405^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1656^2-531^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2052^2-1323^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2160^2-1485^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3240^2-2835^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;3468^2-3093^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5184^2-4941^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5580^2-5355^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{9180^2-9045^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9904^2-9779^2 \)

\(135*801=108135~~\) (zelfde cijfers)

\(135\) is zowel een veelvoud van de som van zijn cijfers \((135=15*(1+3+5))\) als van het product van zijn cijfers
\((135=9*(1*3*5))\) want er geldt dat \((1+3+5)*(1*3*5)=135\). Zie ook 144.9. (\(135,144\) en het triviale
geval \(1\) zijn de enige drie getallen waarvoor dit geldt). Dergelijke getallen worden FILZ-getallen genoemd (Engels :
Filzian numbers), naar Antonio FILZ. Het zijn getallen die gelijk zijn aan de som van de cijfers vermenigvuldigd met
het product van de cijfers. Men noemt ze ook in het Engels “sum-product number”.

Drie kwadraten met dezelfde cijfers : \(135^2=18225~;159^2=25281~\) en \(~285^2=81225\)

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(135=(30+2)+(30-2)+(30*2)+(30/2)\)

De eerste keer dat er \(135\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(6371401\)
en \(6371537\) met aldus een priemkloof van \(136\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

Voor \(n=135~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+23) ~~\to~~ {\large\sigma}(135)={\large\sigma}(158)=240~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(135\) is de eerste oplossing uit de reeks \(135,231,322,682,778,1222,1726,1845,\ldots\)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135\to b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}59798086305259797452~~\)
(OEIS A236067)