\(115\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+8+9+10+11+12+13+14+15+16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21+22+23+24+25\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}57+58\)

\(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende gehele getallen)

\(115=19+21+23+25+27\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(115=((0;3;5;9)\,(1;1;7;8)\,(1;4;7;7)\,(1;5;5;8)\,(3;3;4;9)\,(4;5;5;7))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#6\}\)

\(115\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+3^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;2;2;2;3;4)\,(1;1;2;2;2;2;3;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(115=1^4+1^4+2^4+2^4+3^4\)

\(115=3^2+3^4+5^2\)

\(115=5!-5\)

\(115=23*(2+3)\)

\(115\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^5-2^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^2-[3^4][9^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{58^2-57^2}\)

\(115\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~10\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(115\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-2)^5+(-2)^5+(-2)^5+(-2)^5+3^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{12^5+(-24)^5+(-28)^5+(-29)^5+34^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

\(115^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}41^3-236^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}69^2+92^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}277^2-252^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}299^2-276^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1325^2-1320^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6613^2-6612^2\)

\(115^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1610^2-1035^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1702^2-1173^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6146^2-6021^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{6670^2-6555^2}\)

 ○–○–○ 

De \(72\)-regel biedt een benadering om het aantal jaren te kennen dat nodig is om een belegd kapitaal te verdubbelen
(zie “een puzzel” bij 72.20 voor meer details). Om een kapitaal te verdrievoudigen gebruikt men de \(115\)-regel (deel
\(115\) door het intrestpercentage om het aantal jaren te kennen). De waarde \(115\) is een benadering gebaseerd op de
natuurlijke logaritme van \(3\) (genoteerd \(ln(3)\)). Men heeft als exacte waarde \(100*ln(3)=109,86\))

De eerste keer dat er \(115\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(5845193\)
en \(5845309\) met aldus een priemkloof van \(116\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

Voor \(n=115~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+4) ~~\to~~ {\large\sigma}(115)={\large\sigma}(119)=144~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(115\) is de derde oplossing uit (OEIS A015863)

\({\Large\frac{115}{1*1*5}}\) is een priemgetal (\(23\))

\(\begin{align}115\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{5266097}{1029364}}\right)^3-\left({\frac{2741617}{1029364}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}115\to b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{3}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7036025605643951593~~\)
(OEIS A236067)

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{115}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1080^{\large{115}}\right)=1080\qquad\qquad~sdc\left(1526^{\large{115}}\right)=1526\qquad\qquad~sdc\left(1546^{\large{115}}\right)=1546\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(1553^{\large{115}}\right)=1553\qquad\qquad~sdc\left(1634^{\large{115}}\right)=1634\qquad\qquad~sdc\left(1636^{\large{115}}\right)=1636\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(1656^{\large{115}}\right)=1656\qquad\qquad~sdc\left(1684^{\large{115}}\right)=1684\qquad\qquad~sdc\left(1714^{\large{115}}\right)=1714\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(1717^{\large{115}}\right)=1717\qquad\qquad~sdc\left(1823^{\large{115}}\right)=1823\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(115\)
\(115=(1\)^^\(1\)^^\(5)*1*1\)^\(5\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad115=111+1+1+1+1\)
\(\qquad\qquad115=2+2+222/2\)
\(\qquad\qquad115=3+(333+3)/3\)
\(\qquad\qquad115=4+444/4\)
\(\qquad\qquad115=55+55+5\)
\(\qquad\qquad115=6*(6+6+6)+6+6/6\)
\(\qquad\qquad115=(777+77)/7-7\)
\(\qquad\qquad115=888/8+8*8/(8+8)\)
\(\qquad\qquad115=99+9+9-(9+9)/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad115=1+23+4*5+6+7*8+9\)
\(\qquad\qquad115=9*8+7+6+5+4*3*2+1\)

Som der reciproken van partitiegetallen van \(115\) is \(1\) op \(279\) (tweehonderdnegenenzeventig) wijzen.

Veertien partities hebben unieke termen.

(OEIS A125726)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)