\(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+14+15+16+17+18+19\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10+12+14+16+18+20+22\) (som van opeenvolgende pare getallen) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+9+11+13+15+17+19+21\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25+27+29+31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55+57\) \(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende onpare getallen) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+13+17+19+23+29\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}53+59\) (som van opeenvolgende priemgetallen) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7\) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6*7*8)/3~~\) (OEIS A007290) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((2;2;2;10)\,(2;6;6;6)\,(4;4;4;8))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#3\}\) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;2;2;2;2;2;2;4)\,(0;1;1;1;1;3;3;3;3)\,(1;1;1;1;1;2;2;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4+2^5+2^6\) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}eulerphi(113,145,226,232,290,348)\) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4*7\) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10!/(180^2)\) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7-[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]-12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^9][8^3]-20^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{11}-44^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{19}-724^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11^2-3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2-2^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~~16^2-12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29^2-[3^6][9^3][27^2]\) | 112.1 | |
\(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes \(\qquad~~~~\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden. \(\qquad~~~~\)In dit geval is \(m=12~~(+4)\). \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten) \(\qquad~~~~(z\gt1000)\) \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\) \(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) | 112.2 | |
\(112^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^3+104^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[12^4][144^2]-2^{13}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[20^4][400^2]-384^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}113^2-15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}130^2-66^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}140^2-84^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~~\,\,212^2-180^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}238^2-210^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}455^2-[21^4][441^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}788^2-780^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1570^2-1566^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3137^2-3135^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~~\,\,6160^2-336^3\) \(112^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{21}][8^7][128^3]-832^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28^3+1176^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}224^3-[56^4][3136^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}448^3-9408^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1198^2-174^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~~\,\,1232^2-336^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1261^2-57^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1288^2-504^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1367^2-681^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1628^2-1116^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1792^2-1344^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~~\,\,1988^2-1596^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2872^2-2616^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3248^2-3024^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3682^2-3486^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5552^2-5424^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~~\,\,6272^2-336^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{6328^2-6216^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7217^2-7119^2\) | 112.3 | |
| EEN KRINGLOOP
\(112^2=012544~~\) en \(~~012+544=556~;~556^2=309136~~\) en \(~~309+136=445~;~445^2=198025~~\) en | 112.4 | |
| \(112\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(2\) oplossingen) : \(415296/3708=830592/7416=112\) | 112.5 | |
| Men moet \(112\) tot minimaal de \(39691\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(112\) \(112\)'s verschijnen. Terloops : \(112\)\(^{39691}\) heeft een lengte van \(81336\) cijfers. | 112.6 | |
Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\) | 112.7 | |
| \(105^2+106^2+107^2+\cdots+{\color{blue}{112}}^2\mathbf{\color{darkgreen}{\;=\;}}113^2+114^2+\cdots+119^2\) | 112.8 | |
\(112*113\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12656~~\) en \(~~211*311\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65621\) (omgekeerden) \(112^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12544\) en het omgekeerde \(44521\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}211^2\). Hetzelfde doet zich voor bij | 112.9 | |
\(112\) is het kleinste getal dat gelijk is aan \(28\) maal de som van zijn cijfers : \(112=28*(1+1+2)\) | 112.10 | |
\(112\) is de zijde van een vierkant dat betegeld kan worden met minimaal \(21\) kleinere vierkanten die allemaal zijden hebben van gehele getallen.
| 112.11 | |
\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}112\to b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{9}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2872784436887110369~~\) | 112.13 | |
| Alle getallen van \(1\) tot \(16\) komen aan bod in deze expressie \(112\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+4+5+6+8+9+10+11+12+13+14+15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*7*16\) | 112.14 | |
○–○–○ \(112^2=12544~~\) en \(~~1*2*54+4=112\)\(112^3=1404928~~\) en \(~~?=112\) \(112^4=157351936~~\) en \(~~?=112\) \(112^5=17623416832~~\) en \(~~?=112\) \(112^6=1973822685184~~\) en \(~~?=112\) \(112^7=221068140740608~~\) en \(~~?=112\) \(112^8=24759631762948096~~\) en \(~~?=112\) \(112^9=2773078757450186752~~\) en \(~~?=112\) | 112.15 | |
Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{112}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we : \(\qquad\qquad~sdc\left(990^{\large{112}}\right)=990\qquad\qquad~sdc\left(1030^{\large{112}}\right)=1030\qquad\qquad~sdc\left(1504^{\large{112}}\right)=1504\) \(\qquad\qquad~sdc\left(1519^{\large{112}}\right)=1519\) | 112.16 | |
Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(112\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^\(\) | 112.17 | |
Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja). | 112.18 | |
Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) : | 112.19 | |
Som der reciproken van partitiegetallen van \(112\) is \(1\) op \(239\) (tweehonderdnegenendertig) wijzen. Vier partities hebben unieke termen. \(~~~~(1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{112=2+4+8+14+28+56}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{14}}+{\Large\frac{1}{28}}+{\Large\frac{1}{56}}\) \(~~(19)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{112=3+4+6+7+20+30+42}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{30}}+{\Large\frac{1}{42}}\) \(~~(47)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{112=3+4+9+11+12+18+22+33}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{11}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{22}}+{\Large\frac{1}{33}}\) \(~~(51)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{112=3+5+6+11+12+20+22+33}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{11}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{22}}+{\Large\frac{1}{33}}\) | 112.20 | |
| Het kleinste getal dat exact \(112\) delers heeft is \(60480=2^6*3^3*5*7\). (OEIS A005179) | 112.21 | |
| Als we de cijfers uit de decimale expansie van \(2\)\(^{112}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5192296858534827628530496329220096\) rangschikken in stijgende orde dan bekomen we een priemgetal \(1222222233344555566667888899999\) met lengte \(31\) zonder de voorloopnullen. Pari/GP code : isprime(fromdigits(vecsort(digits(2^112)))) | 112.22 | |
| De som van de onderscheiden priemfactoren van \(112\) is een kwadraat \(2+7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2~~\) (OEIS A164722). | 112.23 | |
(acht multigrades) \(112\to112^5\to\) \begin{aligned} 112^1&=117^1+331^1-342^1-388^1+394^1\\ 112^5&=117^5+331^5-342^5-388^5+394^5\\ \\ 112^1&=156^1+568^1-668^1-688^1+744^1\\ 112^5&=156^5+568^5-668^5-688^5+744^5\\ \\ 112^1&=-186^1-554^1+926^1+1104^1-1178^1\\ 112^5&=-186^5-554^5+926^5+1104^5-1178^5\\ \\ 112^1&=-116^1-504^1+754^1+1166^1-1188^1\\ 112^5&=-116^5-504^5+754^5+1166^5-1188^5\\ \\ 112^1&=-322^1-368^1+834^1+1236^1-1268^1\\ 112^5&=-322^5-368^5+834^5+1236^5-1268^5\\ \\ 112^1&=-163^1-824^1+1186^1+1414^1-1501^1\\ 112^5&=-163^5-824^5+1186^5+1414^5-1501^5\\ \\ 112^1&=-111^1-1055^1+1355^1+1667^1-1744^1\\ 112^5&=-111^5-1055^5+1355^5+1667^5-1744^5\\ \\ 112^1&=-584^1-976^1+1724^1+2696^1-2748^1\\ 112^5&=-584^5-976^5+1724^5+2696^5-2748^5\\ \end{aligned} | 112.24 | |
| \(112\) is de omtrek van een rechthoekige driehoek waarvan het triplet \((14;48;50)\) is. | 112.25 | |
Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}112\). Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen. \(\qquad{\color{darkviolet}{127}}^2-112*{\color{darkviolet}{12}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\) | 112.26 |
