\(111\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16+17+18+19+20+21\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}36+37+38\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55+56\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(111\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}35+37+39\) (som van opeenvolgende onpare getallen) \(111\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}100+010+001\) (som van de permutaties van \(1,0,0\))\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2+10^1+10^0\) \(111 \mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)Als som van priemgetallen \(\qquad~~~~7+31+73\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+37+67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+43+61\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+31+67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+37+81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}31+37+43\) \(\qquad~~~~\)(Als men \(1\) als priemgetal zou beschouwen, komen daar nog \(~~1+37+73~~\) en \(~~1+43+67~~\) bij) \(111=((1;1;3;10)\,(1;2;5;9)\,(1;5;6;7)\,(2;3;7;7)\,(5;5;5;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#5\}\) \(111=((0;0;1;1;1;3;3;3;3)\,(0;1;1;1;1;2;2;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\) \(111=135-24\) (cijfers van \(1\) tot \(5\)) \(111=(11!+9!)/9!\) \(111\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(123+231+312)/(1+2+3)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}666/6\) \(111\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^2-17^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{56^2-55^2}\) | 111.1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(111\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad~~~~8\) oplossingen bekend \(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes \(111\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{1^n+6^5+16^5+17^5+(-19)^5}~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-17)^5+25^5+(-89)^5+(-92)^5+104^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\) \(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{83^5+(-185)^5+225^5+273^5+(-285)^5}\) | 111.2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(111=3*37\). Vandaar de getallenpiramide die onder te vinden is. | 111.3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(111*(11+1)=11^3+1^3~~\) (zie ook bij ) | 111.4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(111^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[6^4][36^2]+105^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}185^2-148^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}689^2-680^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}861^2-90^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2055^2-2052^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6161^2-6160^2\) \(111^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}148^3-[37^4][1369^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}280^3-4537^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1184^2-185^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2220^2-1887^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{6216^2-6105^2}\) | 111.5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Het kleinste \(3*3\) magisch vierkant met enkel priemgetallen (weliswaar wordt \(1\) hier ten onrechte als een priemgetal beschouwd) is afkomstig van de Engelse puzzelmaker DUDENEY :
| 111.6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Een \(6*6\) magisch vierkant heeft als rij- en kolomsom \(111\). Het mogelijke aantal magische vierkanten van orde \(6\) is niet exact bekend maar ligt in de grootteorde van \(1,77*10^{19}~~\) (of \(17753889197660635632\) om exact te zijn maar moet nog bevestigd worden). Eén voorbeeld van dergelijk vierkant :
(Magisch 6x6 vierkant) (OEIS A006052). Zie ook bij en | 111.7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \begin{align} 111111111^2&=12345678987654321\\ 11111111^2&=123456787654321\\ {\color{blue}{1111111}}^2&=123456{\color{blue}{7}}654321\\ 111111^2&=12345654321\\ 11111^2&=123454321\\ 1111^2&=1234321\\ 111^2&=12321\\ 11^2&=121\\ 1^2&=1 \end{align} Bij deze getallenpiramide komt het aantal cijfers “één” aan de linkerzijde overeen met het centrale cijfer in de uitkomst rechts : bvb \(7\) cijfers “één” links geven rechts \(123\ldots676\ldots321\) | 111.8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| MERKWAARDIG
Er zijn \(111\) opeenvolgende samengestelde getallen tussen de priemgetallen \(370261\) en \(370373\) met aldus een | 111.9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Men moet \(111\) tot minimaal de \(39784\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(111\) \(111\)'s verschijnen. Terloops : \(111\)\(^{39784}\) heeft een lengte van \(81372\) cijfers. Om aan het juiste aantal van \(111\) te komen moet je hier wel rekening houden met overlappingen. Zo hebben we \(94\) maal \(111\) (incl. \(111|{\color{grey}{1}}, 111|{\color{grey}{11}}\)) en \(15\) maal \(1111\) (\({\color{grey}{1}}|111\)) en \(2\) maal in \({\color{grey}{1}}|111|{\color{grey}{1}}\) en \({\color{grey}{11}}|111\) wat ons totaal op \(111\) brengt (dit fenomeen doet zich enkel voor met repdigits en palindromen). Kan jij een oplossing vinden zonder overlappingen (aangrenzend zoals \(111|111\) zijn niet OK wegens o.a. \(11|111|1\) ) ? Echter de kans om geen \(1111\) tegen te komen in deze steeds grotere machten is bijzonder, bijzonder, bijzonder klein... Hogerop wacht ons slechts de \(\large{\infty}\). | 111.10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(111^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2+11^2+110^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}78^2+79^2-2^2\) | 111.11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(111\) is het kleinste getal dat gelijk is aan \(37\) maal de som van zijn cijfers : \(111=37*(1+1+1)\) Andere getallen met dezelfde eigenschap zijn \(222,333,370,407,444,481,518,555,592,629,666,777,888\) en \(999\). | 111.12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hier is een voorbeeld van een magische zeshoek van orde \(4\) met magische rijsommen gelijk aan \(111\), ontdekt door Arsen Zahray. De getallen lopen op van \(3\) tot en met \(39\). Magische zeshoeken van orde \(n\geqslant4\) met getallen oplopend van \(1\) tot en met \(3n^2-3n+1\) bestaan gewoonweg niet. \begin{matrix} &&&&&14&&33&&30&&34\\[10px] \\ &&&&{\color{blue}{39}}&&6&&24&&20&&22\\[10px] \\ &&&37&&13&&11&&8&&25&&17\\[10px] \\ &&21&&23&&7&&9&&{\color{blue}{3}}&&10&&38\\[10px] \\ &&&36&&4&&5&&12&&28&&26\\[10px] \\ &&&&35&&16&&18&&27&&15\\[10px] \\ &&&&&19&&31&&29&&32\\ \end{matrix} | 111.13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}111\to b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{7}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}70176083738438717~~\) | 111.14 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(111\) | \(3*37\) | \(4\) | \(152\) |
| \(1,3,37,111\) | |||
| \(1101111_2\) | \(157_8\) | \(6\)F\(_{16}\) | |
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 10 november 2024 |