Allemaal Getallen Index 0111

$111 = 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 = 36 + 37 + 38 = 55 + 56$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$111 = 35 + 37 + 39$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$111 = 100 + 010 + 001$ (som van de permutaties van $1, 0, 0$ ) $= 10^{2} + 10^{1} + 10^{0}$

$111 = (1 + 2 + 3 + \dots + 34 + 35 + 36) / 6$

$111 =$ Als som van priemgetallen

$7 + 31 + 73 = 7 + 37 + 67 = 7 + 43 + 61 = 13 + 31 + 67 = 13 + 37 + 81 = 31 + 37 + 43$

(Als men $1$ als priemgetal zou beschouwen, komen daar nog $1 + 37 + 73$ en $1 + 43 + 67$ bij)

$111 = ((1; 1; 3; 10) (1; 2; 5; 9) (1; 5; 6; 7) (2; 3; 7; 7) (5; 5; 5; 6)) ➋ \to {# 5}$

$111 = ((0; 0; 1; 1; 1; 3; 3; 3; 3) (0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4)) ➌ \to {# 2}$

$111 = 135 - 24$ (cijfers van $1$ tot $5$ )

$111 = (11! + 9!) / 9!$

$111 = (123 + 231 + 312) / (1 + 2 + 3)$

$111 = 20^{2} - 17^{2} = 56^{2} - 55^{2}$

111.1

$111 =$ (som van drie derdemachten)

$8$ oplossingen bekend

References Sum of Three Cubes

$(- 296)^{3} + (- 881)^{3} + 892^{3} =$

$148^{3} + 1039^{3} + (- 1040)^{3} =$

$481^{3} + 1921^{3} + (- 1931)^{3} =$

$(- 2312)^{3} + (- 4793)^{3} + 4966^{3} =$

$(- 87845)^{3} + (- 114737)^{3} + 129829^{3} =$

$(- 389985530)^{3} + (- 461161622)^{3} + 539912719^{3} =$

$1428087147934^{3} + 8874635963596^{3} + (- 8886945438809)^{3} =$

$(- 167932381049609)^{3} + (- 190596470966333)^{3} + 226757979706453^{3} =$

$111 =$ (som van vijf vijfdemachten)

$1^{n} + 6^{5} + 16^{5} + 17^{5} + (- 19)^{5} (n = 5) =$

$(- 17)^{5} + 25^{5} + (- 89)^{5} + (- 92)^{5} + 104^{5} = (z > 200)$

$83^{5} + (- 185)^{5} + 225^{5} + 273^{5} + (- 285)^{5}$

111.2

111 = 3 * 37

. Vandaar de getallenpiramide die onder te vinden is.

111.3

111 * (11 + 1) = 11^{3} + 1^{3}

(zie ook bij )

111.4

$111^{2} = [6^{4}] [36^{2}] + 105^{2} = 185^{2} - 148^{2} = 689^{2} - 680^{2} = 861^{2} - 90^{3} = 2055^{2} - 2052^{2} = 6161^{2} - 6160^{2}$

$111^{3} = 148^{3} - [37^{4}] [1369^{2}] = 280^{3} - 4537^{2} = 1184^{2} - 185^{2} = 2220^{2} - 1887^{2} = 6216^{2} - 6105^{2}$

111.5

Het kleinste

3 * 3

magisch vierkant met enkel priemgetallen (weliswaar wordt

1

hier ten onrechte als een priemgetal beschouwd) is afkomstig van de Engelse puzzelmaker DUDENEY :

$43$	$61$	$7$
$1$	$37$	$73$
$67$	$13$	$31$

De rij-, kolom- en diagonaalsom bedraagt

111

. Zie ook en

111.6

Een

6 * 6

magisch vierkant heeft als rij- en kolomsom

111

. Het mogelijke aantal magische vierkanten van orde

6

is niet exact bekend maar ligt in de grootteorde van

1, 77 * 10^{19}

(of

17753889197660635632

om exact te zijn
maar moet nog bevestigd worden). Eén voorbeeld van dergelijk vierkant :

$1$	$34$	$33$	$32$	$9$	$2$
$29$	$11$	$18$	$20$	$25$	$8$
$30$	$22$	$23$	$13$	$16$	$7$
$6$	$17$	$12$	$26$	$19$	$31$
$10$	$24$	$21$	$15$	$14$	$27$
$35$	$3$	$4$	$5$	$28$	$36$

(Magisch 6x6 vierkant) (OEIS A006052). Zie ook bij en

111.7

$\begin{aligned} 111111111^{2} & = 12345678987654321 \\ 11111111^{2} & = 123456787654321 \\ 1111111^{2} & = 1234567654321 \\ 111111^{2} & = 12345654321 \\ 11111^{2} & = 123454321 \\ 1111^{2} & = 1234321 \\ 111^{2} & = 12321 \\ 11^{2} & = 121 \\ 1^{2} & = 1 \end{aligned}$

Bij deze getallenpiramide komt het aantal cijfers “één” aan de linkerzijde overeen met het centrale cijfer in de uitkomst rechts : bvb

7

cijfers “één” links geven rechts

123 \dots 676 \dots 321

111.8

MERKWAARDIG

Er zijn $111$ opeenvolgende samengestelde getallen tussen de priemgetallen $370261$ en $370373$ met aldus een
priemkloof van $112 .$ (OEIS A000101.pdf). Dit is de eerste maal dat in de rij der gehele getallen meer dan $100$
getallen na elkaar geen enkel priemgetal voorkomt.
Zie ook bij en

111.9

Men moet

111

tot minimaal de

39784

ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact

111

111

's verschijnen.
Terloops :

111

^{39784}

heeft een lengte van

81372

cijfers.
Om aan het juiste aantal van

111

te komen moet je hier wel rekening houden met overlappingen. Zo hebben we

94

maal

111

(incl.

111 | 1, 111 | 11

) en

15

maal

1111

(

1 | 111

) en

2

maal

11111

(in

1 | 111 | 1

11 | 111

) wat ons totaal
op

111

brengt (dit fenomeen doet zich enkel voor met repdigits en palindromen).
Kan jij een oplossing vinden zonder overlappingen (aangrenzend zoals

111 | 111

zijn niet OK wegens o.a.

11 | 111 | 1

) ?
Echter de kans om geen

1111

tegen te komen in deze steeds grotere machten is bijzonder, bijzonder, bijzonder klein...
Hogerop wacht ons slechts de

\infty

111.10

$111^{2} = 10^{2} + 11^{2} + 110^{2} = 78^{2} + 79^{2} - 2^{2}$

111.11

$111$ is het kleinste getal dat gelijk is aan $37$ maal de som van zijn cijfers : $111 = 37 * (1 + 1 + 1)$

Andere getallen met dezelfde eigenschap zijn $222, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 777, 888$ en $999$ .

111.12

Hier is een voorbeeld van een magische zeshoek van orde $4$ met magische rijsommen gelijk aan $111$ , ontdekt

door Arsen Zahray. De getallen lopen op van $3$ tot en met $39$ . Magische zeshoeken van orde $n ⩾ 4$ met

getallen oplopend van $1$ tot en met $3 n^{2} - 3 n + 1$ bestaan gewoonweg niet.

$\begin{matrix} 14 & 33 & 30 & 34 \\ 39 & 6 & 24 & 20 & 22 \\ 37 & 13 & 11 & 8 & 25 & 17 \\ 21 & 23 & 7 & 9 & 3 & 10 & 38 \\ 36 & 4 & 5 & 12 & 28 & 26 \\ 35 & 16 & 18 & 27 & 15 \\ 19 & 31 & 29 & 32 \end{matrix}$

(Curiosa Mathematica) (Magische hexagon) (Wikipedia)

111.13

$b = 111 \to b$ $^{7}$ $+ b$ $^{0}$ $+ b$ $^{1}$ $+ b$ $^{7}$ $+ b$ $^{6}$ $+ b$ $^{0}$ $+ b$ $^{8}$ $+ b$ $^{3}$ $+ b$ $^{7}$ $+ b$ $^{3}$ $+ b$ $^{8}$ $+ b$ $^{4}$ $+ b$ $^{3}$ $+ b$ $^{8}$ $+ b$ $^{7}$ $+ b$ $^{1}$ $+ b$ $^{7}$ $= 70176083738438717$
(OEIS A236067)

111.14

Er zijn exact $111$ wijzen van optellen van ten hoogste $3$ priemgetallen om $222$ te bekomen.

111.15

○–○–○

111^{2} = 12321

123 - (21)_{r e v e r s e d} = 111

111^{3} = 1367631

? = 111

111^{4} = 151807041

? = 111

111^{5} = 16850581551

? = 111

111^{6} = 1870414552161

? = 111

111^{7} = 207616015289871

? = 111

111^{8} = 23045377697175681

? = 111

111^{9} = 2558036924386500591

? = 111

111.16

Som Der Cijfers ( $s d c$ ) van $k^{111}$ is gelijk aan het grondtal $k$ . De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$s d c (910^{111}) = 910 s d c (1539^{111}) = 1539 s d c (1548^{111}) = 1548$

$s d c (1647^{111}) = 1647 s d c (1682^{111}) = 1682$

111.17

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $111$ enkel met operatoren $+, -, *, /, (),$ ^^
$111 = (1$ ^^ $1$ ^^ $1) * 1 * 1 * 1$

111.18

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$111 = 111$
$111 = 222 / 2$
$111 = 333 / 3$
$111 = 444 / 4$
$111 = 555 / 5$
$111 = 666 / 6$
$111 = 777 / 7$
$111 = 888 / 8$
$111 = 999 / 9$

111.19

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$111 = 12 * 3 + 45 + 6 + 7 + 8 + 9$
$111 = 9 * 8 + 7 + 6 + 5 * 4 + 3 + 2 + 1$

111.20

Som der reciproken van partitiegetallen van $111$ is $1$ op $221$ (tweehonderdeenentwintig) wijzen.

Acht partities hebben unieke termen.

$(1) 111 = 2 + 3 + 8 + 42 + 56$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56}$

$(6) 111 = 2 + 5 + 10 + 14 + 15 + 30 + 35$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} + \frac{1}{35}$

$(10) 111 = 2 + 6 + 7 + 14 + 18 + 28 + 36$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18} + \frac{1}{28} + \frac{1}{36}$

$(13) 111 = 2 + 6 + 9 + 12 + 16 + 18 + 48$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} + \frac{1}{18} + \frac{1}{48}$

$(27) 111 = 3 + 4 + 6 + 7 + 21 + 28 + 42$ en $1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{42}$

$(28) 111 = 3 + 4 + 7 + 8 + 12 + 21 + 56$ en $1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{21} + \frac{1}{56}$

$(81) 111 = 4 + 5 + 6 + 7 + 9 + 18 + 20 + 42$ en $1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{42}$

$(126) 111 = 4 + 6 + 7 + 9 + 10 + 14 + 15 + 18 + 28$ en $1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} + \frac{1}{28}$

(OEIS A125726)

111.21

$111$	$3 * 37$	$4$	$152$
	$1, 3, 37, 111$
	$1101111_{2}$	$157_{8}$	$6$ F $_{16}$

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR