\(109=54+55\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(109=31+37+41\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(109\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28+36+45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(7)+D(8)+D(9)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(109=((0;0;3;10)\,(0;3;6;8)\,(1;2;2;10)\,(1;6;6;6)\,(2;4;5;8))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#5\}\)

\(109=1^3+3^3+3^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;1;3;3;3;3)\,(0;0;0;1;1;2;2;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(109=\sqrt{9*10*11*12+1}~~\) (product van vier opeenvolgende getallen plus \(1\) is een kwadraat) (OEIS A028387)

\(109=1^1+2^2*3^3\)

\(109\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+10^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^3-[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{55^2-54^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}145^3-1746^2\)

109.1

\(109\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~25\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-2)^3+(-2)^3+5^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-15)^3+(-15)^3+19^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-18)^3+(-44)^3+45^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-88)^3+(-107)^3+124^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{381^3+514^3+(-576)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-298)^3+(-890)^3+901^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{146^3+1018^3+(-1019)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{479^3+1909^3+(-1919)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{853^3+2924^3+(-2948)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{7741^3+9810^3+(-11208)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-10501)^3+(-13001)^3+14971^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-4082)^3+(-26195)^3+26228^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{23040^3+125821^3+(-126078)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-1214075)^3+(-1558733)^3+1773341^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-20366774)^3+(-53624187)^3+54586146^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-25190400)^3+(-64042731)^3+65316340^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{44275762^3+63448236^3+(-69946755)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-134716107)^3+(-157277838)^3+185036374^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-21934530545)^3+(-49166492285)^3+50580637019^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-80578801347)^3+(-291000059436)^3+293045121442^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{17557319521559^3+27976998635017^3+(-30114435230027)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-61402735534862)^3+(-87883628234564)^3+96915095886461^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{184876223567556^3+219899137356604^3+(-256887373691691)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{94323060371076^3+331218011089941^3+(-333748420800992)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-3941617909755)^3+(-451401246062106)^3+451401346241110^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(109\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+6^5+16^5+17^5+(-19)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-2)^5+(-3)^5+26^5+32^5+(-34)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{11^5+(-12)^5+(-133)^5+(-228)^5+231^5}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{49^5+(-131)^5+(-232)^5+(-465)^5+468^5}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{137^5+(-350)^5+425^5+426^5+(-469)^5}\)

109.2

\(109^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}60^2+91^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}141^2-20^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}234^2-35^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5941^2-5940^2\)

\(109^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}327^2+1090^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}730^2+873^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1090^2+327^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{5995^2-5886^2}\)

109.3
\(109^2=11881~~\) en \(~~118–8-1=109\)
\(109^3=1295029~~\) en \(~~1+2+95+0+2+9=109\)
\(109^4=141158161~~\) en \(~~14+1+1+5+81+6+1=109\)
\(109^5=15386239549~~\) en \(~~1+5+3+8+62+3+9+5+4+9=109\)
\(109^6=1677100110841~~\) en \(~~1+6+7+7+1+001+1+084+1=109\)
\(109^7=182803912081669~~\) en \(~~1+8+28+039+1+2+0+8+1+6+6+9=109\)
\(109^8=19925626416901921~~\) en \(~~1+9+9+2+5+6+2+6+41+6+9+0+1+9+2+1=109\)
\(109^9=2171893279442309389~~\) en \(~~{\small{21+7+1+8+9+3+2+7+9+4+4+2+3+0+9+3+8+9}}=109\)
\(109^{10}=236736367459211723401~~\) en \(~~{\small{2+3+6+7+3+6+3+6+7+4+5+9+2+1+1+7+2+34+01}}=109\)
\(109^{11}=25804264053054077850709~~\) en \(~~\)\(25+8+0+4+2+6+4+0+5+3+0+5+4+07+7+8+5+07+09\)\(=109\)
\(109^{12}=2812664781782894485727281~~\) en \(~~{\small{2+8+1+2+6+6+\cdots+4+4+8+5+7+2+7+2-8-1}}=109\)
\(109^{13}=306580461214335498944273629~~\) en \(~~{\small{-3-06+5+8+04+6+12+1+4+3+\cdots+7+3+6+2+9}}=109\) 		109.4
Merkwaardig is de \(5\)de wortel uit \(109\) die gelijk is aan \(\root{\raise3pt{\large5}}\of{109}=2,{\color{indigo}{555555}}3967\ldots\) 109.5

De breuk \(1/109\) heeft een periode van \(108\) (dat wil zeggen, na \(108\) decimalen herhaalt de rij zich). De periode van \(108\) decimalen eindigt op \(853211\) en dat is precies het begin van de reeks van FIBONACCI achterstevoren \((1, 1, 2, 3, 5, 8)\).

De periode van \(1/109\) voluit geschreven is de volgende :

\(\qquad0,09174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211\)

(hierna herhaalt zich de rij met een nieuwe periode \(00917461\ldots\))

Splitst men deze periode van \(108\) cijfers in twee groepen :

\(\qquad0,09174311926605504587155963302752293577981651376146788\)

\(\qquad~~990825688073394495412844036697247706422018348623853211\)

dan is de som van elk tweetal cijfers onder elkaar steeds \(9\).

In het laatste deel van de decimale ontwikkeling : \(\ldots853211\) herkent men de rij van Fibonacci achterstevoren.

Brengt men de overdrachten van de getallen van Fibonacci in rekening, dan loopt deze rij nog verder : \begin{align} &←\\ &{\color{blue}{233}}\\ &{\color{lightgrey}{0}}{\color{blue}{144}}\\ &{\color{lightgrey}{000}}{\color{blue}{89}}\\ &{\color{lightgrey}{0000}}{\color{blue}{55}}\\ &{\color{lightgrey}{00000}}{\color{blue}{34}}\\ &{\color{lightgrey}{000000}}{\color{blue}{21}}\\ &{\color{lightgrey}{0000000}}{\color{blue}{13}}\\ &{\color{lightgrey}{000000000}}{\color{blue}{8}}\\ &{\color{lightgrey}{0000000000}}{\color{blue}{5}}\\ &{\color{lightgrey}{00000000000}}{\color{blue}{3}}\\ &{\color{lightgrey}{000000000000}}{\color{blue}{2}}\\ &{\color{lightgrey}{0000000000000}}{\color{blue}{1}}\\ &{\color{lightgrey}{00000000000000}}{\color{blue}{1}}\\ &+\\ Som={1\over190}=~~&..\underline{8348623853211} \end{align} Zie ook bij

109.6
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Zoek een getal van drie cijfers \(\small{\text{ABC}}\) zodanig dat bij vermenigvuldiging met een getal van één cijfer, het resultaat
een getal is van de vorm \(\small{\text{CDA}}\) waarbij eerste en laatste cijfer van het oorspronkelijke getal zijn verwisseld (\(\small{\text{D}}\) kan
om het even welk cijfer zijn).
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Er zijn drie oplossingen mogelijk : \(109*9=981~~;~~208*4=832~~;~~218*4=872\)

109.7
\(109\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(2\) oplossingen) :
\(530721/4869=753408/6912=109\) 		109.8
Men moet \(109\) tot minimaal de \(38961\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(109\) \(109\)'s verschijnen.
Terloops : \(109\)\(^{38961}\) heeft een lengte van \(79381\) cijfers. 		109.9
\(109\) is priem evenals het ondersteboven getal \(601\). 109.10

\(109^2=11881=(118-8-1)^2=(118-\sqrt{81})^2\)

109.11

De eerste keer dat er \(109\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(1468277\)
en \(1468387\) met aldus een priemkloof van \(110\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

109.12
\(109\) is het kleinste getal dat meer verschillende cijfers heeft \(\to[0,1,9]\) dan zijn kwadraat: \(109^2=11881\to[1,8]\) 109.13

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}109\to b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{7}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6535976150169498007~~\)
(OEIS A236067)

109.14

\(109\) als expressie met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende volgorde.
\((1*2)+(3*4)+(5*6)+(7*8)+9\)

109.15
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(109\)\(109\)\(2\)\(110\)
\(1,109\)
Priemgetal\(1101101_2\)\(6\)D\(_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 15 november 2024