\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op vijf wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 90=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13\\ 90=6+7+8+9+10+11+12+13+14\\ 90=16+17+18+19+20\\ 90=21+22+23+24\\ 90=29+30+31 \end{cases}

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op vijf wijzen de som van opeenvolgende pare getallen :

\begin{cases} 90=2+4+6+8+10+12+14+16+18\\ 90=10+12+14+16+18+20\\ 90=14+16+18+20+22\\ 90=28+30+32\\ 90=44+46 \end{cases}

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+11+13+17+19+23\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}43+47\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+5+11+13+17+19+23\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+5+7+11+17+19+29\) (som van niet opeenvolgende priemgetallen)

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+9+16+25+36\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(90=((0;0;3;9)\,(0;1;5;8)\,(0;4;5;7)\,(1;2;2;9)\,(1;2;6;7)\,(1;3;4;8)\,(2;5;5;6)\,(3;3;6;6)\,(3;4;4;7))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#9\}\)

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2-10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^2+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+(3^2*3^2)\) (uitdrukkingen met identieke cijfers)

\(90=7^3-6^3-4^3+3^3\)

\(90=1^2+2^3+3^4\)

\(90=(1!+2!)(3!+4!)\)

\(90=6!/2^3\)

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+2^3+3^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+2^3+2^3+2^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;0;1;2;3;3;3)\,(0;0;0;1;1;2;2;2;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+[3^4][9^2]~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

90.1

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,48\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1)^3+3^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2)^3+(-3)^3+5^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1)^3+(-5)^3+6^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8)^3+(-9)^3+11^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{13^3+26^3+(-27)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{19^3+47^3+(-48)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-35)^3+(-51)^3+56^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-32)^3+(-73)^3+75^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{31^3+99^3+(-100)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{199^3+443^3+(-456)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-191)^3+(-454)^3+465^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{103^3+603^3+(-604)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-739)^3+(-1056)^3+1165^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{365^3+1798^3+(-1803)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{3806^3+6387^3+(-6809)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4984^3+6377^3+(-7263)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-908)^3+(-11169)^3+11171^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1826^3+12033^3+(-12047)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{22914^3+46217^3+(-48023)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{19662^3+92687^3+(-92981)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{20186^3+122647^3+(-122829)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{343111^3+409572^3+(-477829)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-223225)^3+(-548549)^3+560604^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-762578)^3+(-939927)^3+1084025^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1464511)^3+(-1706310)^3+2009041^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-58449)^3+(-4710253)^3+4710256^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-3553317)^3+(-3780697)^3+4624576^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-367070)^3+(-9847693)^3+9847863^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{6945741)^3+9995110^3+(-11007211)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{619160^3+12974389^3+(-12974859)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-30527369)^3+(-56080501)^3+58946760^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4235982^3+66702677^3+(-66708371)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{149094068^3+360371577^3+(-368684975)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-23150303)^3+(-541364578)^3+541378689^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{441087088^3+4015237173^3+(-4017010699)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1451584304)^3+5637491247^3+(-5605226989)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8444108513)^3+(-12674804061)^3+13817889032^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-45219518564)^3+(-52551584569)^3+61936387707^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1544575303^3+68280076091^3+(-68280339552)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{437960251421^3+850547624773^3+(-887615355642)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1253687851046)^3+(-1412891213899)^3+1685806075965^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1553786026701)^3+(-2348439900977)^3+2556233612924^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-76411678107)^3+(-5899259300411)^3+5899263573704^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-19331698648796)^3+(-20925258096895)^3+25399969766601^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{56886087761932^3+62137382821995^3+(-75125758004137)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{94288099557959^3+106622514174771^3+(-127041000980810)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{152098848772405^3+182726081380392^3+(-212676787617547)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{225963644244842^3+435967889130081^3+(-455329473688079)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

90.2
\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}81+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^2+9\) (uniek is dat \(90\) het enige getal is dat gelijk is aan de som van de cijfers plus het kwadraat
van die som) 		90.3
\(90\) is \(10\) maal de som van zijn cijfers (zie bij ) 90.4

\(90\) is het kleinste getal dat op \(6\) verschillende wijzen kan worden voorgesteld als de som van \(4\) (positieve) kwadraten :

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+2^2+9^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+6^2+7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+3^2+4^2+8^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+5^2+5^2+6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+3^2+6^2+6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,3^2+4^2+4^2+7^2\)

Bovendien kan \(90\) ook als som van \(5\) opeenvolgende (positieve) kwadraten bekomen worden :

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\)

90.5

\(90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}0^1+1^2+2^3+3^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+0+9^2+0^2\)

\(90=1*2*3+2*3*4+3*4*5\)

\(90=(15-9)*(15-0)\)

Met faculteiten bekomt men \(90=(2+2+2)!/(2!*2!*2!)\) hetgeen niets anders is dan \(6!/2^3\)

\(90=(1!+2!)*(3!+4!)\)

90.6
\(90\) als som van twee priemgetallen op negen wijzen die allemaal oneven blijken :

$$ 2~odd~primes \left[ \begin{matrix} &7&+&83\\ &11&+&79\\ &17&+&73\\ &19&+&71\\ &23&+&67\\ &29&+&61\\ &31&+&59\\ &37&+&53\\ &43&+&47 \end{matrix} \right. $$

\(90\) als som van drie priemgetallen. Alle vier sommen hebben verschillende priemgetallen :

$$ 3~dif\!ferent~primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{83}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{71}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{59}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{41}&+&\mathbf{47} \end{matrix} \right. $$

90.7
\(90^0+90^1+90^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+\cdots+2^{12}~(=8191)\). Zie bij voor een vorm met machten van \(5\). 90.8

\(\underline{90}^{18}=150094635296999121*10^{18}~~\) en \(~~{\small{1+5+0+0+9+4+6+3+5+2+9+6+9+9+9+1+2+1+\cdots}}=\mathbf{81}\)

\(\mathbf{81}^{11}=984770902183611232881~~\) en \(~~{\small{9+8+4+7+7+0+9+0+2+1+8+3+6+1+1+2+3+2+8+8+1}}=\underline{90}\)

90.9
Er zijn \(24\) priemgetallen die niet groter dan \(90\) zijn : \(2,3,5,7,\ldots,79,83\) en \(89\). Van alle getallen die niet
groter dan \(90\) zijn, zijn er eveneens \(24\) die met \(90\) relatief priem zijn (hun grootste gemene deler is \(1\)).
Die lijst komt grotendeels overeen met de lijst van priemgetallen hierboven, op drie uitzonderingen na :
De getallen \(1,49\) en \(77\) komen erbij; de priemgetallen \(2,3\) en \(5\) gaan er af. Zoals het getal \(90\) zijn er
nog \(6\) andere getallen met deze eigenschap : \(2,3,4,8,14\) en \(20\). Zie bij 		90.10
Er zijn acht rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde \(90\) is:
\((48;90;102),(54;72;90),(56;90;106),(90;120;150),(90;216;234),(90;400;410),(90;672;678),(90;2024;2026)\) 		90.11
  EEN WEETJE  

\(90\) is tegelijk tweemaal een driehoeksgetal (\(45\)) en één minder dan een driehoeksgetal (\(91\)).
Andere getallen met dezelfde eigenschap zijn : \(2;20;90;702;3080\)

90.12
\(90\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen) :
\(574290/6381=582390/6471=752490/8361=90\) 		90.13
Men moet \(90\) tot minimaal de \(7515\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(90\) \(90\)'s verschijnen.
Hier moet een hogere exponent gebruikt worden als normaal want een veelvoud van \(90\) produceert een sliert van
nullen achteraan die nooit een grondtal kunnen herbergen. Terloops : \(90\)\(^{7515}\) heeft een lengte van \(14687\) cijfers.
90.14

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(90=(20+2)+(20-2)+(20*2)+(20/2)\)

90.15

\(90^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^5+18^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2+20^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}54^2+72^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}102^2-48^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}106^2-56^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}126^2-6^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}150^2-120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~234^2-[6^6][36^3][216^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}315^2-45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}410^2-[20^4][400^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}678^2-672^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2026^2-2024^2\)

\(90^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}54^3+756^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}270^2+810^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}486^2+702^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}855^2-45^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}861^2-111^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}945^2-405^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~979^2-479^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}993^2-507^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1035^2-585^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1287^2-963^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1365^2-1065^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1485^2-1215^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~1583^2-1333^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2115^2-1935^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2331^2-2169^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2505^2-2355^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3429^2-3321^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~3695^2-3595^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{4095^2-4005^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6105^2-6045^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6777^2-6723^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7315^2-7265^2\)

90.16

\(90^3=10^3+60^3+80^3\)

90.17
\(90\) kan niet geschreven worden als verschil van twee machten \(x^m\) en \(y^n\) waarbij \(x~\&~y\gt1\) en \(m~\&~n\gt1\).
Vermoedelijk volledige lijst betreffende het verschil van twee machten → (OEIS A074981) 		90.18

\(90!!-1~~\)is een priemgetal van \(70\) cijfers lang (\(4208832729\ldots9999999999\)). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit)

Pari/GP code : isprime(prod(i=1,90/2,2*i)-1)  → 1 (true)

90.19

\(\begin{align}90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{1241}{273}}\right)^3-\left({\frac{431}{273}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{1612982179981}{543625858776}}\right)^3+\left({\frac{2173133142899}{543625858776}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

90.20

\(90^2=5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3\)

Pari/GP code : s=0;forstep(i=5,15,2,s+=i^3);print(s)  → 8100

90.21

\(90\) is de oppervlakte van twee driehoeken met gehele getallen als zijden \((12;17;25),(4;51;53)\)

(Formule van Heron)

90.22

Som der reciproken van partitiegetallen van \(90\) is \(1\) op achtenzeventig wijzen.

Twee partities hebben unieke termen.

\((9)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{90=2+7+9+12+14+18+28}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{14}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{28}}\)

\((16)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{90=3+4+6+9+18+20+30}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{30}}\)

(OEIS A125726)

90.23

Als som van de cijfers van \(1\) tot \(9\) waarbij aaneenschakeling toegelaten is

\(\qquad90=1+52+3+4+6+7+8+9\)

\(\qquad90=1+2+3+54+6+7+8+9\)

Als som van de cijfers van \(0\) tot \(9\) waarbij aaneenschakeling toegelaten is

\(\qquad90=0+1+52+3+4+6+7+8+9\)

\(\qquad90=0+1+2+3+54+6+7+8+9\)

90.24
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(90\)\(2*3^2*5\)\(12\)\(234\)
\(1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90\)
\(1011010_2\)\(132_8\)\(5\)A\(_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 16 november 2024