\(88=3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(88=4+6+8+10+12+14+16+18\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(88\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19+21+23+25\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}43+45\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(88=17+19+23+29\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(88=1+1+2+3+5+8+13+21+34\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

\(88=((0;4;6;6)\,(2;2;4;8))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)

\(88=1^2+2^2+3^2+5^2+7^2\)

\(88\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;0;0;2;2;2;4)\,(0;1;1;2;2;2;2;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(88\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^4+2^6\)

\(88\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^3-2^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2-[3^4][9^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}23^2-21^2\)

88.1

\(88\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) (som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,21\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{3^3+(-4)^3+5^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-4)^3+(-4)^3+6^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-9)^3+(-16)^3+17^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-130)^3+(-135)^3+167^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-394)^3+(-424)^3+516^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{594^3+1238^3+(-1282)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1282)^3+(-1390)^3+1686^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8548)^3+(-11946)^3+13256^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2369^3+15263^3+(-15282)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-34458)^3+(-42925)^3+49325^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-140200)^3+(-1002052)^3+1002966^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-92908)^3+(-1156023)^3+1156223^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{6438381^3+46225115^3+(-46266712)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{25498808^3+48833732^3+(-51049098)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2994076028^3+5102775548^3+(-5425531386)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-5624586396)^3+(-11918115640)^3+12321859574^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-686238132610)^3+(-833277433746)^3+966115623674^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-746368133674)^3+(-1513145019684)^3+1571404017056^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{6621087555641^3+7447541964623^3+(-8893160653080)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-5923661251054)^3+(-8303012817654)^3+9206225119706^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{67406132592111^3+129731841042137^3+(-135534197501116)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(88\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-6)^5+17^5+20^5+22^5+(-25)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

88.2
\(88\) als som van twee priemgetallen :

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} &5&+&83\\ &17&+&71\\ &29&+&59\\ &41&+&47 \end{matrix} \right. $$

\(88\) als som van drie priemgetallen.
De priemgetallen per som blijken allemaal verschillend te zijn :

$$ 3~dif\!ferent~primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{83}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{79}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{73}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{67}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{43}&+&\mathbf{43} \end{matrix} \right. $$

88.3
\(88^2=16^2+48^2+72^2=55^2+80^2-41^2\)
\(88^2 = 7744\). Dit patroon van drie maal twee dezelfde cijfers is uniek. 		88.4

\(88^3=681472~~\) en \(~~6+81-4+7-2=88\)

\(88^4=59969536~~\) en \(~~5-9+9+69+5+3+6=88\)

88.5
Zowel de som van de cijfers als hun product zijn kwadraten : \(8+8=16=4^2~~\) en \(~~8*8=64=8^2\) 88.6
\(88\) is – net zoals alle getallen van de vorm \(\small{\text{AA}}\) – de som van twee getallen die elkaars omgekeerde zijn :
\(80+08=71+17=62+26=53+35\) en triviaal \(44+44\). 		88.7
\(88=17+71\) is de som van twee emirps. 88.8
Er zijn \(88\) narcistische getallen (of ARMSTRONG-getallen), dit zijn getallen van \(n\) cijfers die gelijk zijn aan de som
van hun cijfers, die tot de \(n\)de macht verheven zijn. Een voorbeeld : \(93084\) telt \(n=5\) cijfers en
\(9^5+3^5+0^5+8^5+4^5=93084\).
Het grootste narcistische getal telt \(39\) cijfers en is \(115132219018763992565095597973971522401\).
Voor wie de moed heeft om het na te rekenen : het getal is gelijk aan \(1^{39}+1^{39}+5^{39}+1^{39}+3^{39}+2^{39}+\ldots\)
Eén van de bekendste narcistische getallen is \(153\) (zie aldaar ) 		88.9
Er zijn zeven rechthoekige driehoeken met gehele zijden en één zijde \(88\) :
\((66;88;110),(88;105;137),(88;165;187),(88;234;250),(88;480;488),(88;966;970),(88;1935;1937)\) 		88.10
\begin{align} 99*9-3&=888\\ 988*9-4&=8888\\ 9877*9-5&=88888\\ 98766*9-6&=888888\\ 987655*9-7&=8888888\\ 9876544*9-8&=88888888\\ 98765433*9-9&=888888888\\ 987654322*9-10&=8888888888 \end{align} 88.11
Een variante hierop is de volgende getallenpiramide : \begin{align} 9*9+7&=88\\ 98*9+6&=888\\ 987*9+5&=8888\\ 9876*9+4&=88888\\ 98765*9+3&=888888\\ 987654*9+2&=8888888\\ 9876543*9+1&=88888888\\ 98765432*9+0&=888888888\\ 987654321*9-1&=8888888888\\ 9876543210*9-2&=88888888888 \end{align} 88.12
\(88\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(6\) oplossingen) :
\(184536/2097=468072/5319=571032/6489=590832/6714=593208/6741=651024/7398=88\) 		88.13
Men moet \(88\) tot minimaal de \(3720\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(88\) \(88\)'s verschijnen.
Terloops : \(88\)\(^{3720}\) heeft een lengte van \(7234\) cijfers.
Om aan het juiste aantal van \(88\) te komen moet je hier wel rekening houden met overlappingen. Zo hebben we
\(78\) maal \(88\) (incl. \(88|8\)) en \(10\) maal \(8|88\) wat ons totaal op \(88\) brengt (dit fenomeen doet zich enkel voor met repdigits).
Kan jij de eerste oplossing vinden zonder overlappingen (aangrenzend zoals \(88|88\) zijn niet OK wegens \(8|88|8\) ) ?
Evenwel de kans om geen \(888\) tegen te komen neigt enorm naar \(\large{\infty}\) 		88.14

\(88^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^5-2^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^3-[2^8][4^4][16^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}89^3-835^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}110^2-66^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}137^2-105^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}187^2-165^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}209^2-33^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~250^2-234^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}344^2-48^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}488^2-480^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}970^2-966^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1937^2-1935^2\)

\(88^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}836^2-132^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}847^2-33^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}946^2-462^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1144^2-792^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1344^2-104^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1459^2-1203^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~1529^2-1287^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2024^2-1848^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2726^2-2598^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{3916^2-3828^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5356^2-5292^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7766^2-7722^2\)

88.15

Als som met de operatoren \(+-*\;/\)
\(88=(22+1)+(22-1)+(22*1)+(22/1)\)

88.16
\(88\) blijft ondersteboven hetzelfde getal. Zie ook bij 88.17

Voor \(n=88~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+30) ~~\to~~ {\large\sigma}(88)={\large\sigma}(118)=180~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(88\) is de eerste oplossing uit de reeks \(88,161,164,209,221,275,279,376,497,581,707,869,910,913,1015,1177,\ldots\)

Zie bvb. bij

88.18

Som der reciproken van partitiegetallen van \(88\) is \(1\) op negenenzeventig wijzen.

Vijf partities hebben unieke termen.

\((1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{88=2+4+8+20+24+30}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{24}}+{\Large\frac{1}{30}}\)

\((6)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{88=2+5+7+12+20+42}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{42}}\)

\((14)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{88=2+7+10+12+14+15+28}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{14}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{28}}\)

\((24)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{88=3+4+6+10+15+20+30}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{30}}\)

\((25)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{88=3+4+7+8+14+24+28}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{14}}+{\Large\frac{1}{24}}+{\Large\frac{1}{28}}\)

(OEIS A125726)

88.19

\(88\)\(^{4}\)\(+88\)\(^{1}\)\(+88\)\(^{3}\)\(+88\)\(^{3}\)\(+88\)\(^{7}\)\(+88\)\(^{5}\)\(+88\)\(^{4}\)\(+88\)\(^{3}\)\(+88\)\(^{6}\)\(+88\)\(^{2}\)\(+88\)\(^{4}\)\(+88\)\(^{3}\)\(+88\)\(^{4}\)\(+88\)\(^{4}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}41337543624344~~\)(OEIS A236067)

88.20

\(88+209=297\) en \(297^2\) is gelijk aan de aaneenschakeling \(88209\).

88.21
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(88\)\(2^3*11\)\(8\)\(180\)
\(1,2,4,8,11,22,44,88\)
\(1011000_2\)\(130_8\)\(58_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 9 november 2024