Allemaal Getallen Index 0085

$85 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 42 + 43$

(som van opeenvolgende gehele getallen)

$85 = 13 + 15 + 17 + 19 + 21$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$85 = 6^{2} + 7^{2}$ (som van opeenvolgende kwadraten)

$85 = 21 + 28 + 36 = D (6) + D (7) + D (8)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$85 = ((0; 0; 2; 9) (0; 0; 6; 7) (1; 2; 4; 8) (2; 3; 6; 6) (2; 4; 4; 7)) ➋ \to {# 5}$

$85 = 2 * (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2}) + 5^{2}$

$85 = 1^{2} + 2^{2} + 4^{2} + 8^{2} = 2^{2} + 3^{2} + 6^{2} + 6^{2} = 2^{2} + 4^{2} + 4^{2} + 7^{2}$

$85 = 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 3^{3} + 3^{3} + 3^{3} = 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 4^{3} =$

$((0; 0; 1; 1; 1; 1; 3; 3; 3) (0; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 4)) ➌ \to {# 2}$

$85 = 4^{0} + 4^{1} + 4^{2} + 4^{3}$

$85 = 2^{2} + [3^{4}] [9^{2}] = 6^{2} + 7^{2} = 11^{2} - 6^{2} = 43^{2} - 42^{2}$

85.1

$85 =$ (som van drie derdemachten)

References Sum of Three Cubes

Getallen van de vorm $9 m + 4$ of $9 m + 5$ kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

In dit geval is $m = 9 (+ 4)$ .

$85 =$ (som van vier derdemachten)

$(z > 1000)$

$(- 2)^{3} + (- 5)^{3} + (- 5)^{3} + 7^{3} =$

$4^{3} + (- 11)^{3} + (- 14)^{3} + 16^{3} =$

$22^{3} + (- 29)^{3} + (- 47)^{3} + 49^{3} =$

$49^{3} + (- 59)^{3} + (- 74)^{3} + 79^{3} =$

$4^{3} + 28^{3} + 85^{3} + (- 86)^{3} =$

$4^{3} + 49^{3} + 97^{3} + (- 101)^{3} =$

$(- 35)^{3} + (- 80)^{3} + (- 86)^{3} + 106^{3} =$

$49^{3} + 67^{3} + 97^{3} + (- 110)^{3} =$

$40^{3} + 49^{3} + 121^{3} + (- 125)^{3} =$

$64^{3} + 70^{3} + 118^{3} + (- 131)^{3} =$

$67^{3} + (- 74)^{3} + (- 131)^{3} + 133^{3} =$

$28^{3} + 61^{3} + 142^{3} + (- 146)^{3} =$

$(- 35)^{3} + (- 65)^{3} + (- 143)^{3} + 148^{3} =$

$(- 101)^{3} + (- 119)^{3} + (- 143)^{3} + 178^{3} =$

$(- 17)^{3} + 112^{3} + 211^{3} + (- 221)^{3} =$

$(- 2)^{3} + (- 98)^{3} + (- 248)^{3} + 253^{3} =$

$22^{3} + 64^{3} + 301^{3} + (- 302)^{3} =$

$(- 155)^{3} + (- 203)^{3} + (- 269)^{3} + 316^{3} =$

$(- 107)^{3} + 196^{3} + 298^{3} + (- 320)^{3} =$

$(- 56)^{3} + 151^{3} + 325^{3} + (- 335)^{3} =$

$19^{3} + (- 119)^{3} + (- 332)^{3} + 337^{3} =$

$64^{3} + (- 218)^{3} + (- 371)^{3} + 394^{3} =$

$148^{3} + (- 308)^{3} + (- 332)^{3} + 397^{3} =$

$(- 119)^{3} + 301^{3} + 343^{3} + (- 404)^{3} =$

$(- 59)^{3} + (- 92)^{3} + (- 404)^{3} + 406^{3} =$

$(- 35)^{3} + (- 98)^{3} + (- 404)^{3} + 406^{3} =$

$(- 83)^{3} + 178^{3} + 406^{3} + (- 416)^{3} =$

$(- 188)^{3} + 349^{3} + 358^{3} + (- 434)^{3} =$

$229^{3} + (- 236)^{3} + (- 434)^{3} + 436^{3} =$

$4^{3} + (- 287)^{3} + (- 401)^{3} + 445^{3} =$

$310^{3} + (- 320)^{3} + (- 443)^{3} + 448^{3} =$

$148^{3} + (- 269)^{3} + (- 443)^{3} + 469^{3} =$

$184^{3} + (- 323)^{3} + (- 434)^{3} + 478^{3} =$

$172^{3} + (- 350)^{3} + (- 494)^{3} + 541^{3} =$

$70^{3} + (- 278)^{3} + (- 542)^{3} + 565^{3} =$

$(- 131)^{3} + 184^{3} + 574^{3} + (- 578)^{3} =$

$(- 293)^{3} + 463^{3} + 496^{3} + (- 581)^{3} =$

$181^{3} + 385^{3} + 526^{3} + (- 593)^{3} =$

$106^{3} + (- 149)^{3} + (- 593)^{3} + 595^{3} =$

$220^{3} + (- 404)^{3} + (- 563)^{3} + 616^{3} =$

$(- 122)^{3} + 301^{3} + 610^{3} + (- 632)^{3} =$

$(- 158)^{3} + 253^{3} + 634^{3} + (- 644)^{3} =$

$61^{3} + 406^{3} + 592^{3} + (- 650)^{3} =$

$112^{3} + 379^{3} + 613^{3} + (- 659)^{3} =$

$217^{3} + (- 332)^{3} + (- 653)^{3} + 673^{3} =$

$70^{3} + 307^{3} + 655^{3} + (- 677)^{3} =$

$(- 167)^{3} + 283^{3} + 673^{3} + (- 686)^{3} =$

$610^{3} + (- 635)^{3} + (- 686)^{3} + 706^{3} =$

$106^{3} + (- 206)^{3} + (- 707)^{3} + 712^{3} =$

$(- 227)^{3} + (- 518)^{3} + (- 620)^{3} + 730^{3} =$

$109^{3} + (- 380)^{3} + (- 731)^{3} + 763^{3} =$

$(- 332)^{3} + 421^{3} + 748^{3} + (- 770)^{3} =$

$(- 59)^{3} + (- 242)^{3} + (- 770)^{3} + 778^{3} =$

$(- 77)^{3} + (- 371)^{3} + (- 755)^{3} + 784^{3} =$

$46^{3} + 130^{3} + 874^{3} + (- 875)^{3} =$

$(- 728)^{3} + 787^{3} + 835^{3} + (- 881)^{3} =$

$310^{3} + (- 707)^{3} + (- 746)^{3} + 904^{3} =$

$(- 56)^{3} + 142^{3} + 946^{3} + (- 947)^{3} =$

$(- 425)^{3} + 730^{3} + 829^{3} + (- 959)^{3} =$

$(- 248)^{3} + (- 707)^{3} + (- 866)^{3} + 1006^{3} =$

$550^{3} + 577^{3} + 919^{3} + (- 1043)^{3} =$

$403^{3} + 793^{3} + 889^{3} + (- 1082)^{3} =$

$(- 776)^{3} + 922^{3} + 994^{3} + (- 1091)^{3} =$

$(z > 1000)$

$85 =$ (som van vijf vijfdemachten)

$2^{5} + (- 4)^{5} + (- 4)^{5} + (- 4)^{5} + 5^{5} = (z > 200)$

85.2

De op één na kleinste EULER balk (zie bij ) meet

85 * 132 * 720

en heeft diagonalen

157, 725

732

(Wikipedia)

85.3

Bewerkingen met de cijfers van ons getal $85$ die twee derdemachten en een driehoeksgetal opleveren :

$85 - 58 = 27 = 3^{3}$

$85 + (5 * 8) = 125 = 5^{3}$

$85 - (5 * 8) = 45 = D (9)$

85.4

85

als som van twee priemgetallen :

$2 p r i m e s [\begin{matrix} 2 & + & 83 \end{matrix}$

85

als som van drie priemgetallen die allemaal oneven blijken.
Zeven van de zevenentwintig sommen hebben gelijke priemgetallen :

$3 p r i m e s [\begin{matrix} 3 & + & 3 & + & 79 \\ 3 & + & 11 & + & 71 \\ 3 & + & 23 & + & 59 \\ 3 & + & 29 & + & 53 \\ 3 & + & 41 & + & 41 \\ 5 & + & 7 & + & 73 \\ 5 & + & 13 & + & 67 \\ 5 & + & 19 & + & 61 \\ 5 & + & 37 & + & 43 \\ 7 & + & 7 & + & 71 \\ 7 & + & 11 & + & 67 \\ 7 & + & 17 & + & 61 \\ 7 & + & 19 & + & 59 \\ 7 & + & 31 & + & 47 \\ 7 & + & 37 & + & 41 \\ 11 & + & 13 & + & 61 \\ 11 & + & 31 & + & 43 \\ 11 & + & 37 & + & 37 \\ 13 & + & 13 & + & 59 \\ 13 & + & 19 & + & 53 \\ 13 & + & 29 & + & 43 \\ 13 & + & 31 & + & 41 \\ 17 & + & 31 & + & 37 \\ 19 & + & 19 & + & 47 \\ 19 & + & 23 & + & 43 \\ 19 & + & 29 & + & 37 \\ 23 & + & 31 & + & 31 \end{matrix}$

85.5

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + \dots + 85^{2} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \dots + 644 + 645

. In het algemeen wordt deze
uitdrukking

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = 1 + 2 + 3 + \dots + m

en bovendien is

85

de grootste getalwaarde die

n

kan
hebben. Als men hoger dan

85^{2}

gaat, kan de som nooit meer gelijk zijn aan de som van een rij getallen beginnend met

1

.
De uitdrukking

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}

levert de zgn. vierhoekige pyramidale getallen; de uitdrukking

1 + 2 + 3 + \dots + m

levert zgn. driehoeksgetallen. Het probleem komt er dus op neer te zien welke vierhoekige pyramidale getallen gelijk
zijn aan driehoeksgetallen. Zie ook bij en

Voor de nerds onder ons volgt hier een de volledige lijst van de opeenvolgende gehele getallen gelijk aan

208335

Deze formule geeft ons de som die we willen bereiken

\frac{3 * n^{2} + n^{3} * (r - 2) - n * (r - 5)}{6}

waarbij

n

de zijde is van het vierkant namelijk

85

r

het aantal zijden van de polygoon.

31

oplossingen

$\begin{aligned} f r o m 104167 t o 104168 & = 208335 \\ f r o m 69444 t o 69446 & = 208335 \\ f r o m 41665 t o 41669 & = 208335 \\ f r o m 34720 t o 34725 & = 208335 \\ f r o m 20829 t o 20838 & = 208335 \\ f r o m 13882 t o 13896 & = 208335 \\ f r o m 12247 t o 12263 & = 208335 \\ f r o m 10956 t o 10974 & = 208335 \\ f r o m 6930 t o 6959 & = 208335 \\ f r o m 6111 t o 6144 & = 208335 \\ f r o m 5464 t o 5501 & = 208335 \\ f r o m 4824 t o 4866 & = 208335 \\ f r o m 4060 t o 4110 & = 208335 \\ f r o m 3627 t o 3683 & = 208335 \\ f r o m 2409 t o 2493 & = 208335 \\ f r o m 2380 t o 2465 & = 208335 \\ f r o m 2146 t o 2240 & = 208335 \\ f r o m 1992 t o 2093 & = 208335 \\ f r o m 1771 t o 1884 & = 208335 \\ f r o m 1551 t o 1679 & = 208335 \\ f r o m 1141 t o 1310 & = 208335 \\ f r o m 1002 t o 1191 & = 208335 \\ f r o m 862 t o 1076 & = 208335 \\ f r o m 690 t o 944 & = 208335 \\ f r o m 679 t o 936 & = 208335 \\ f r o m 589 t o 873 & = 208335 \\ f r o m 484 t o 806 & = 208335 \\ f r o m 270 t o 699 & = 208335 \\ f r o m 154 t o 663 & = 208335 \\ f r o m 81 t o 650 & = 208335 \\ f r o m 1 t o 645 & = 208335 \end{aligned}$

85.6

Er zijn acht rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde

85

is :

(13; 84; 85), (36; 77; 85), (40; 75; 85), (51; 68; 85), (85; 132; 157), (85; 204; 221), (85; 720; 725), (85; 3612; 3613)

85.7

WETENSWAARD

Er zijn $85$ priemgetallen met vijf cijfers die beginnen met de cijfers $85$ ; ze variëren van $85009$ tot $85999$ . $85$ is het
kleinste getal met die eigenschap. Ook $95$ heeft dezelfde eigenschap : er zijn $95$ vijfcijferige priemgetallen die met de
combinatie $95$ beginnen (van $95003$ tot $95989$ ).

85.8

EEN PUZZEL

$O p g a v e$
De rij van de onpare getallen kan men opsplitsen in priemgetallen, kwadraten en getallen die de som van een
kwadraat en een priemgetal zijn. Welk is het kleinste onpare getal dat in geen enkele van deze drie categorieën
thuishoort ?
$O p l o s s i n g$
$85$ is het kleinste getal dat in geen enkele categorie past.
Priemgetallen : $3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; \dots$
Kwadraten : $1; 9; 25; 49; 81; . . .$
De som van een kwadraat en een priemgetal : $15 (4 + 11); 21 (16 + 5); 27 (16 + 11); 33 (16 + 17); 35 (16 + 19); 39 (36 + 3); 45 (36 + 9); 51 (49 + 2);$
$55 (36 + 19); 57 (16 + 41); 63 (4 + 59); 65 (4 + 61); 69 (16 + 53); 75 (4 + 71); 77 (16 + 61); \dots$
Het getal $85$ is het eerste onpare getal dat niet in één van bovenstaande groepen kan worden ingedeeld.

85.9

85

als resultaat met breuken waarin de cijfers van

0

tot

9

exact één keer voorkomen : (

1

oplossing) :

723690 / 8514 = 85

85.10

Men moet

85

tot minimaal de

3592

ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact

85

85

's verschijnen.
Terloops :

85

^{3592}

heeft een lengte van

6931

cijfers.

85.11

$85^{2} = [6^{4}] [36^{2}] + 77^{2} = 13^{2} + 84^{2} = 40^{2} + 75^{2} = 51^{2} + 68^{2} = 157^{2} - 132^{2} = 185^{2} - 30^{3} = 221^{2} - 204^{2} =$

$374^{2} - 51^{3} = 725^{2} - 720^{2} = 3613^{2} - 3612^{2}$

$85^{3} = 51^{2} + 782^{2} = 170^{2} + 765^{2} = 210^{2} + 755^{2} = 285^{2} + 730^{2} = 323^{2} + 714^{2} = 413^{2} + 666^{2} =$

$478^{2} + 621^{2} = 510^{2} + 595^{2} = 935^{2} - 510^{2} = 1207^{2} - 918^{2} = 2519^{2} - 2394^{2} = 3655^{2} - 3570^{2}$

85.12

85 = 74 + 7 + 4

(som van getal plus zijn cijfers)

85.13

De eerste keer dat er $85$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $155921$
en $156007$ met aldus een priemkloof van $86 .$ (OEIS A000101.pdf)

85.14

$85$ is een Smith getal met een priemgetal als cijfersom. Een Smith getal is een samengesteld getal waarbij zijn

cijfersom gelijk is aan de cijfersom van zijn priemfactoren: $8 + 5 = 5 + (1 + 9) = 13$ . (OEIS A006753)

Zie ook bij

85.15

Voor $n = 85$ geldt $σ (n) = σ (n + 22) \to σ (85) = σ (107) = 108 (σ$ of 'sigma' staat voor som der delers)

$85$ is de tweede oplossing uit (OEIS A172333)

85.16

$85 = \frac{15 * 16 * 17}{15 + 16 + 17}$ (OEIS A001082) (OEIS A032766)

85.17

$\begin{array}{r} 85 = {(\frac{2570129}{330498})}^{3} - {(\frac{2404889}{330498})}^{3} = {(\frac{48207549512592436837518001}{10207696238269758943360884})}^{3} - {(\frac{27860607119831534805838321}{10207696238269758943360884})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{r} 85 = {(\frac{3315775006470417228724083504326177087086638281788962497551916247858227976193425354814087026504082975679}{1364346098735172709704382436820219969111828528613144916432679935956644718147531694615594911884202799208})}^{3} + \end{array}$

$\begin{array}{r} {(\frac{5640096041711515920130555965723671951795560946508533309441342190211570259217683849984155753750846224961}{1364346098735172709704382436820219969111828528613144916432679935956644718147531694615594911884202799208})}^{3} \end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^{3} + y^{3}) / z^{3} = n \to$ [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)

85.18

Som der reciproken van partitiegetallen van $85$ is $1$ op tweeënzeventig wijzen.

Drie partities hebben unieke termen.

$(2) 85 = 2 + 4 + 10 + 14 + 20 + 35$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{20} + \frac{1}{35}$

$(3) 85 = 2 + 4 + 10 + 15 + 18 + 36$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36}$

$(4) 85 = 2 + 5 + 8 + 10 + 20 + 40$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{40}$

(OEIS A125726)

85.19

$85$ $^{4}$ $+ 85$ $^{7}$ $+ 85$ $^{4}$ $+ 85$ $^{1}$ $+ 85$ $^{9}$ $+ 85$ $^{8}$ $+ 85$ $^{3}$ $+ 85$ $^{8}$ $+ 85$ $^{3}$ $+ 85$ $^{4}$ $+ 85$ $^{9}$ $+ 85$ $^{4}$ $+ 85$ $^{6}$ $+ 85$ $^{8}$ $+ 85$ $^{7}$ $+ 85$ $^{0}$ $+ 85$ $^{8}$ $+ 85$ $^{6}$ $=$
$474198383494687086$ (OEIS A236067)

85.20

○–○–○

85^{2} = 7225

72 + 2 + p r i m e (5) = 85

85^{3} = 614125

61 + p r i m e (4) + 12 + 5 = 85

85^{4} = 52200625

5 * 2 + 2 + 0 + 0 + 62 + p r i m e (5) = 85

85^{5} = 4437053125

44 + 37 + 0 + 5 + 3 - 1 + 2 - 5 = 85

85^{6} = 377149515625

3 + 7 + 7 - 1 + 49 + 5 + 1 + 5 + 6 - 2 + 5 = 85

85^{7} = 32057708828125

32 + 0 + 5 + 7 + 7 + 0 + 8 + 8 + 2 + 8 + 1 + 2 + 5 = 85

85^{8} = 2724905250390625

27 + 24 + 9 + 0 + 5 + 2 + 5 + 0 + 3 + 9 + 0 - 6 + 2 + 5 = 85

85^{9} = 231616946283203125

2 - 3 + 1 + 6 + 1 + 6 + 9 + 4 + 6 + 2 + 8 + 32 + 0 + 3 + 1 + 2 + 5 = 85

85^{10} = 19687440434072265625 en 1 + 9 + 6 + 8 + 7 + 4 + 4 + 0 + 4 + 3 + 4 + 0 + 7 + 2 + 2 + 6 + 5 + 6 + 2 + 5 = 85

85.21

Som Der Cijfers ( $s d c$ ) van $k^{85}$ is gelijk aan het grondtal $k$ . De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$s d c (1051^{85}) = 1051 s d c (1103^{85}) = 1103 s d c (1165^{85}) = 1165$

$s d c (1183^{85}) = 1183 s d c (1277^{85}) = 1277$

85.22

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $85$ enkel met operatoren $+, -, *, /, ()$
$85 = (8 + 8) * 5 + 5$

85.23

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$85 = 111 - (1 + 1) * (11 + 1 + 1)$
$85 = 2 * 2 * 22 - 2 - 2 / 2$
$85 = 3 + 3 * 3^{3} + 3 / 3$
$85 = 4 + (4 - 4 / 4)^{4}$
$85 = 5 * 5 + 55 + 5$
$85 = 66 + 6 + 6 + 6 + 6 / 6$
$85 = 77 + 7 + 7 / 7$
$85 = 88 + 8 - 88 / 8$
$85 = 9 * 9 + (9 + 9 + 9 + 9) / 9$

85.24

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$85 = 1 + 2 + 3 + 4 * 5 + 6 * 7 + 8 + 9$
$85 = 9 + 8 + 7 * 6 + 5 * 4 + 3 + 2 + 1$

85.25

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$85 = 1 + 2 + 3 + 4 * 5 + 6 * 7 + 8 + 9$
$85 = 9 + 8 + 7 * 6 + 5 * 4 + 3 + 2 + 1$

85.25

$(85^{11} - 85) / 11 - 1 = 152130221536012961639$ en $(85^{11} - 85) / 11 + 1 = 152130221536012961641$ zijn priemtweelingen.

85.26

$85$	$5 * 17$	$4$	$108$
	$1, 5, 17, 85$
	$1010101_{2}$	$125_{8}$	$55_{16}$

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR