$84\mathbf{=}7+8+9+10+11+12+13+14\mathbf{=}9+10+11+12+13+14+15\mathbf{=}27+28+29$

$$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$84\mathbf{=}6+8+10+12+14+16+18\mathbf{=}18+20+22+24\mathbf{=}26+28+30$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$84\mathbf{=}9+11+13+15+17+19\mathbf{=}41+43$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$84=41+43$ (som van opeenvolgende priemgetallen)

$84=3+5+8+13+21+34$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$84\mathbf{=}1+3+6+10+15+21+28\mathbf{=}D(1)+D(2)+\cdots +D(6)+D(7)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$84=((0;2;4;8)(1;1;1;9)(1;3;5;7)(3;5;5;5)(4;4;4;6))➋\to \{\mathrm{\#}5\}$

$84\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+3^3+3^3+3^3\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+4^3\mathbf{=}{1}^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{=}$

$((0;0;0;1;1;1;3;3;3)(0;0;1;1;1;1;2;2;4)(1;2;2;2;2;2;2;2;3))➌\to \{\mathrm{\#}3\}$

$84=4^1+4^2+4^3$

$84\mathbf{=}{10}^2-[2^4][4^2]\mathbf{=}{22}^2-{20}^2$

$84\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$4$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$(-8241191{)}^3+(-41531726{)}^3+{41639611}^3\mathbf{=}$

${22894759}^3+{40500964}^3+(-42805979{)}^3\mathbf{=}$

${472613413}^3+{1567454722}^3+(-1581647921{)}^3\mathbf{=}$

$(-39957170247692{)}^3+(-71562469979021{)}^3+{75494769517177}^3\mathbf{=}$

$84\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$oplossingonbekend\mathbf{=}(z>200)$

$84$ is gelijk aan $7$ maal de som van zijn cijfers : $84=7\ast (8+4)$.

Andere getallen met deze eigenschap zijn $21,42$ en $63$ ( 21.3 42.5 63.3 )

Zie ook bij 7.8

$84\mathbf{=}{3}^2+3\ast 5^2\mathbf{=}{4}^1+4^2+4^3\mathbf{=}{2}^2+4^2+8^2$

Symmetrische uitdrukking voor $84$ is $2^5+3^3+5^2$ (met enkel priemgetallen erin)

$$2primes[\begin{array}{cccc}& 5& +& 79\\ & 11& +& 73\\ & 13& +& 71\\ & 17& +& 67\\ & 23& +& 61\\ & 31& +& 53\\ & 37& +& 47\\ & 41& +& 43\end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{ccccccc}& & \mathbf{2}& +& \mathbf{3}& +& \mathbf{79}\\ & & \mathbf{2}& +& \mathbf{11}& +& \mathbf{71}\\ & & \mathbf{2}& +& \mathbf{23}& +& \mathbf{59}\\ & & \mathbf{2}& +& \mathbf{29}& +& \mathbf{53}\\ & 2& +& 41& +& 41\end{array}$$

De gelijkheid van de sommen blijft als men de getallen vervangt door hun kwadraten, hun derdemachten, vierdemachten
of vijfdemachten.

$84\to 1540\to 31752\to 691684\to 15533784\to$ $$\begin{array}{rl}{3}^1+8^1+9^1+{19}^1+{20}^1+{25}^1& =4^1+5^1+{13}^1+{15}^1+{23}^1+{24}^1\\ 3^2+8^2+9^2+{19}^2+{20}^2+{25}^2& =4^2+5^2+{13}^2+{15}^2+{23}^2+{24}^2\\ 3^3+8^3+9^3+{19}^3+{20}^3+{25}^3& =4^3+5^3+{13}^3+{15}^3+{23}^3+{24}^3\\ 3^4+8^4+9^4+{19}^4+{20}^4+{25}^4& =4^4+5^4+{13}^4+{15}^4+{23}^4+{24}^4\\ 3^5+8^5+9^5+{19}^5+{20}^5+{25}^5& =4^5+5^5+{13}^5+{15}^5+{23}^5+{24}^5\end{array}$$
$84\to 1708\to 38808\to 926884\to 22777944\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+5^1+{10}^1+{18}^1+{23}^1+{27}^1& =2^1+3^1+{13}^1+{15}^1+{25}^1+{26}^1\\ 1^2+5^2+{10}^2+{18}^2+{23}^2+{27}^2& =2^2+3^2+{13}^2+{15}^2+{25}^2+{26}^2\\ 1^3+5^3+{10}^3+{18}^3+{23}^3+{27}^3& =2^3+3^3+{13}^3+{15}^3+{25}^3+{26}^3\\ 1^4+5^4+{10}^4+{18}^4+{23}^4+{27}^4& =2^4+3^4+{13}^4+{15}^4+{25}^4+{26}^4\\ 1^5+5^5+{10}^5+{18}^5+{23}^5+{27}^5& =2^5+3^5+{13}^5+{15}^5+{25}^5+{26}^5\end{array}$$

$84$ is de oppervlakte van vier driehoeken met gehele getallen als zijden $(7;24;25),(8;29;35),(10;17;21),(13;14;15)$

(Formule van Heron)

Merk op dat het dubbele van de omtrek (perimeter) van driehoek $(13;14;15)$ gelijk is aan zijn oppervlakte.

$Opgave$
De Griekse wiskundige DIOPHANTOS werd volgens de legende vrij oud : Zijn jeugd duurde $1/6$ van zijn leven, $1/12$ deel was hij adolescent en hij trouwde na nog $1/7$ deel. $5$ jaar later werd zijn zoon geboren, die helaas slechts de helft van de leeftijd van zijn vader zou halen. Diophantos stierf $4$ jaar na de dood van zijn zoon. Hoe oud werd Diophantos ? $Oplossing$
Als $x$ het aantal jaren is dat Diophantos leefde, dan is $x/6+x/12+x/7+5+Z+4=x$ waarin $Z$ = de leeftijd van de zoon, hetgeen door $x/2$ kan vervangen worden.
Men vindt na enig rekenwerk dat $x=84$. Diophantos trouwde toen hij $33$ jaar was; zijn zoon overleed op $42$-jarige leeftijd.

                                         Geboorte
   |         x/6       x/12       x/7     zoon        x/2       Dood>| 
   |__________|__________|_________|________|_ _ _ _ _ _ _ _|________| 
   |          |        Baard    Gehuwd      |       Zoon overlijdt   | 
Geboorte      |          |         |<5 jaar>|               |<4 jaar>| 
   |< Jeugd  >|          |         |        |               |        | 

       x/6        x/12      x/7        5    °zoon     x/2       Dood>| 
   |__________|__________|_________|________|_ _ _ _ _ _ _ _|________| 
   | 14 jaar  |  7 jaar  | 12 jaar | 5 jaar |      42 jaar >| 4 jaar | 
                                   |
                   Huwelijk (33 j)>|

${84}^2\mathbf{=}{85}^2-{13}^2\mathbf{=}{91}^2-{35}^2\mathbf{=}{105}^2-{63}^2\mathbf{=}{116}^2-{80}^2\mathbf{=}{140}^2-{112}^2\mathbf{=}{159}^2-{135}^2\mathbf{=}{205}^2-{187}^2\mathbf{=}$

${259}^2-{245}^2\mathbf{=}{300}^2-{288}^2\mathbf{=}{445}^2-{437}^2\mathbf{=}{591}^2-{585}^2\mathbf{=}{884}^2-{880}^2\mathbf{=}{1765}^2-{1763}^2$

${84}^3\mathbf{=}{28}^4-{28}^3\mathbf{=}{770}^2-{14}^2\mathbf{=}{775}^2-{89}^2\mathbf{=}{777}^2-{105}^2\mathbf{=}{784}^2-{28}^3\mathbf{=}{798}^2-{210}^2\mathbf{=}{840}^2-{336}^2\mathbf{=}$

${902}^2-{470}^2\mathbf{=}{952}^2-{560}^2\mathbf{=}{973}^2-{595}^2\mathbf{=}{1050}^2-{714}^2\mathbf{=}{1155}^2-{861}^2\mathbf{=}{1173}^2-{885}^2\mathbf{=}$

${1302}^2-{1050}^2\mathbf{=}{1323}^2-{105}^3\mathbf{=}{1435}^2-{1211}^2\mathbf{=}{1480}^2-{1264}^2\mathbf{=}{1610}^2-{1414}^2\mathbf{=}{1848}^2-{1680}^2\mathbf{=}$

${2130}^2-{1986}^2\mathbf{=}{2415}^2-{2289}^2\mathbf{=}{2702}^2-{2590}^2\mathbf{=}{2798}^2-{2690}^2\mathbf{=}{3073}^2-{2975}^2\mathbf{=}{3135}^2-{3039}^2\mathbf{=}$

${3570}^2-{3486}^2\mathbf{=}{4152}^2-{4080}^2\mathbf{=}{5320}^2-{5264}^2\mathbf{=}{5515}^2-{5461}^2\mathbf{=}{6198}^2-{6150}^2\mathbf{=}{7077}^2-{7035}^2\mathbf{=}$

${8250}^2-{8214}^2\mathbf{=}{9277}^2-{9245}^2$

Als som met de operatoren $+-\ast /$
$84=(21+1)+(21-1)+(21\ast 1)+(21/1)$

$84=\frac{1\ast 2}{2}+\frac{2\ast 3}{2}+\frac{3\ast 4}{2}+\frac{4\ast 5}{2}+\frac{5\ast 6}{2}+\frac{6\ast 7}{2}+\frac{7\ast 8}{2}$
(dit is een andere vorm van de som van de eerste zeven driehoeksgetallen : $1+3+6+10+15+21+28$)

$3$${}^{84}$$=11972515182562019788602740026717047105681$ is de hoogst gekende macht van $3$ waarbij geen cijfer $3$

voorkomt in de decimale expansie. (OEIS A131629)

$4$${}^{84}$$=374144419156711147060143317175368453031918731001856$ is de hoogst gekende macht van $4$ waarbij geen

cijfer $2$ voorkomt in de decimale expansie.

$1+2+3+\cdots +82+83+84\mathbf{=}85+86+87+\cdots +117+118+119\mathbf{=}3570$

(OEIS A053141) Zie ook bij 14.16

${78}^2+{79}^2+{80}^2+{81}^2+{82}^2+{83}^2+{84}^2\mathbf{=}{85}^2+{86}^2+{87}^2+{88}^2+{89}^2+{90}^2\mathbf{=}45955$

$\begin{array}{r}84\mathbf{=}{\left(\frac{323}{111}\right)}^3+{\left(\frac{433}{111}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

$2$${}^{84}$$+3$ is een priemgetal $(=19342813113834066795298819)$, de vijftiende in zijn soort $2^k+3$ (OEIS A057732)

Som der reciproken van partitiegetallen van $84$ is $1$ op eenenvijftig wijzen.

Twee partities hebben unieke termen.

$(2)84=2+4+11+12+22+33$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{22}+\frac{1}{33}$

$(6)84=2+6+7+9+18+42$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}+\frac{1}{42}$

(OEIS A125726)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{84}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({1188}^{84}\right)=1188\to$ Unieke oplossing voor $k>1$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $84$
$84=(8$^^$4)+8-4!!$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$84=(11-1-1{)}^{(1+1)}+1+1+1$
$84=2\ast (2\ast 22-2)$
$84=3+3\ast 3^3$
$84=4+4\ast (4\ast 4+4)$
$84=5\ast 5+55+5-5/5$
$84=66+6+6+6$
$84=77+7$
$84=88-8\ast 8/(8+8)$
$84=9\ast 9+(9+9+9)/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$84=1\ast 2+3+4\ast 5+6\ast 7+8+9$
$84=9+8+7\ast 6+5\ast 4+3+2\ast 1$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$