\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+8+9+10+11+12+13+14\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+10+11+12+13+14+15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}27+28+29\)

\(\qquad\;\,\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+8+10+12+14+16+18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18+20+22+24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26+28+30\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+11+13+15+17+19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}41+43\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(84=41+43\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(84=3+5+8+13+21+34\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+6+10+15+21+28\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\small{D(1)+D(2)+\cdots+D(6)+D(7)}\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(84=((0;2;4;8)\,(1;1;1;9)\,(1;3;5;7)\,(3;5;5;5)\,(4;4;4;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#5\}\)

\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+3^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;1;1;1;3;3;3)\,(0;0;1;1;1;1;2;2;4)\,(1;2;2;2;2;2;2;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\)

\(84=4^1+4^2+4^3\)

\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2-[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}22^2-20^2\)

\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,4\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8241191)^3+(-41531726)^3+41639611^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{22894759^3+40500964^3+(-42805979)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{472613413^3+1567454722^3+(-1581647921)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-39957170247692)^3+(-71562469979021)^3+75494769517177^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

\(84\) is gelijk aan \(7\) maal de som van zijn cijfers : \(84=7*(8+4)\).

Andere getallen met deze eigenschap zijn \(21, 42\) en \(63~~\) ( 21.3 42.5 63.3 )

Zie ook bij 7.8

\(84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+3*5^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^1+4^2+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+4^2+8^2\)

Symmetrische uitdrukking voor \(84\) is \(2^5+3^3+5^2\) (met enkel priemgetallen erin)

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} &5&+&79\\ &11&+&73\\ &13&+&71\\ &17&+&67\\ &23&+&61\\ &31&+&53\\ &37&+&47\\ &41&+&43 \end{matrix} \right. $$

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{79}\\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{71}\\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{53}\\ &2&+&41&+&41 \end{matrix} \right. $$

De gelijkheid van de sommen blijft als men de getallen vervangt door hun kwadraten, hun derdemachten, vierdemachten
of vijfdemachten.

\(84\to1540\to31752\to691684\to15533784\to\) \begin{align} 3^1+8^1+9^1+19^1+20^1+25^1&=4^1+5^1+13^1+15^1+23^1+24^1\\ 3^2+8^2+9^2+19^2+20^2+25^2&=4^2+5^2+13^2+15^2+23^2+24^2\\ 3^3+8^3+9^3+19^3+20^3+25^3&=4^3+5^3+13^3+15^3+23^3+24^3\\ 3^4+8^4+9^4+19^4+20^4+25^4&=4^4+5^4+13^4+15^4+23^4+24^4\\ 3^5+8^5+9^5+19^5+20^5+25^5&=4^5+5^5+13^5+15^5+23^5+24^5\\ \end{align}
\(84\to1708\to38808\to926884\to22777944\to\) \begin{align} 1^1+5^1+10^1+18^1+23^1+27^1&=2^1+3^1+13^1+15^1+25^1+26^1\\ 1^2+5^2+10^2+18^2+23^2+27^2&=2^2+3^2+13^2+15^2+25^2+26^2\\ 1^3+5^3+10^3+18^3+23^3+27^3&=2^3+3^3+13^3+15^3+25^3+26^3\\ 1^4+5^4+10^4+18^4+23^4+27^4&=2^4+3^4+13^4+15^4+25^4+26^4\\ 1^5+5^5+10^5+18^5+23^5+27^5&=2^5+3^5+13^5+15^5+25^5+26^5\\ \end{align}

\(84\) is de oppervlakte van vier driehoeken met gehele getallen als zijden \((7;24;25),(8;29;35),(10;17;21),(13;14;15)\)

(Formule van Heron)

Merk op dat het dubbele van de omtrek (perimeter) van driehoek \((13;14;15)\) gelijk is aan zijn oppervlakte.

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
De Griekse wiskundige DIOPHANTOS werd volgens de legende vrij oud : Zijn jeugd duurde \(1/6\) van zijn leven, \(1/12\) deel was hij adolescent en hij trouwde na nog \(1/7\) deel. \(5\) jaar later werd zijn zoon geboren, die helaas slechts de helft van de leeftijd van zijn vader zou halen. Diophantos stierf \(4\) jaar na de dood van zijn zoon. Hoe oud werd Diophantos ? \(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Als \(x\) het aantal jaren is dat Diophantos leefde, dan is \(x/6+x/12+x/7+5+Z+4=x\) waarin \(Z\) = de leeftijd van de zoon, hetgeen door \(x/2\) kan vervangen worden.
Men vindt na enig rekenwerk dat \(x=84\). Diophantos trouwde toen hij \(33\) jaar was; zijn zoon overleed op \(42\)-jarige leeftijd.

                                         Geboorte
   |         x/6       x/12       x/7     zoon        x/2       Dood>| 
   |__________|__________|_________|________|_ _ _ _ _ _ _ _|________| 
   |          |        Baard    Gehuwd      |       Zoon overlijdt   | 
Geboorte      |          |         |<5 jaar>|               |<4 jaar>| 
   |< Jeugd  >|          |         |        |               |        | 

       x/6        x/12      x/7        5    °zoon     x/2       Dood>| 
   |__________|__________|_________|________|_ _ _ _ _ _ _ _|________| 
   | 14 jaar  |  7 jaar  | 12 jaar | 5 jaar |      42 jaar >| 4 jaar | 
                                   |
                   Huwelijk (33 j)>|

\(84^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}85^2-13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}91^2-35^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}105^2-63^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}116^2-80^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}140^2-112^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}159^2-135^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}205^2-187^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~259^2-245^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}300^2-288^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}445^2-437^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}591^2-585^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}884^2-880^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1765^2-1763^2 \)

\(84^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28^4-28^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}770^2-14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}775^2-89^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}777^2-105^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}784^2-28^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}798^2-210^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}840^2-336^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~902^2-470^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}952^2-560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}973^2-595^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1050^2-714^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1155^2-861^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1173^2-885^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~1302^2-1050^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1323^2-105^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1435^2-1211^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1480^2-1264^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1610^2-1414^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1848^2-1680^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~2130^2-1986^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2415^2-2289^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2702^2-2590^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2798^2-2690^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3073^2-2975^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3135^2-3039^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~\bbox[2px,border:1px brown dashed]{3570^2-3486^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4152^2-4080^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5320^2-5264^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5515^2-5461^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6198^2-6150^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7077^2-7035^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~8250^2-8214^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9277^2-9245^2\)

Als som met de operatoren \(+-*\;/\)
\(84=(21+1)+(21-1)+(21*1)+(21/1)\)

\(84=\Large{{{1*2}\over{2}}+{{2*3}\over{2}}+{{3*4}\over{2}}+{{4*5}\over{2}}+{{5*6}\over{2}}+{{6*7}\over{2}}+{{7*8}\over{2}}}\)
(dit is een andere vorm van de som van de eerste zeven driehoeksgetallen : \(1+3+6+10+15+21+28\))

\(3\)\(^{84}\)\(~=~11972515182562019788602740026717047105681\) is de hoogst gekende macht van \(3\) waarbij geen cijfer \(3\)

voorkomt in de decimale expansie. (OEIS A131629)

\(4\)\(^{84}\)\(~=~374144419156711147060143317175368453031918731001856\) is de hoogst gekende macht van \(4\) waarbij geen

cijfer \(2\) voorkomt in de decimale expansie.

\(1+2+3+\cdots+82+83+{\color{blue}{84}}\mathbf{\color{green}{\;=\;}}85+86+87+\cdots+117+118+119\mathbf{\color{green}{\;=\;}}3570\)

(OEIS A053141) Zie ook bij 14.16

\(78^2+79^2+80^2+81^2+82^2+83^2+{\color{blue}{84}}^2\mathbf{\color{green}{\;=\;}}85^2+86^2+87^2+88^2+89^2+90^2\mathbf{\color{green}{\;=\;}}45955\)

\(\begin{align}84\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{323}{111}}\right)^3+\left({\frac{433}{111}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\(2\)\(^{84}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=19342813113834066795298819)\), de vijftiende in zijn soort \(2^k+3~~\) (OEIS A057732)

Som der reciproken van partitiegetallen van \(84\) is \(1\) op eenenvijftig wijzen.

Twee partities hebben unieke termen.

\((2)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{84=2+4+11+12+22+33}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{11}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{22}}+{\Large\frac{1}{33}}\)

\((6)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{84=2+6+7+9+18+42}~~\) en \(~~{1=\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{42}}\)

(OEIS A125726)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{84}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1188^{\large{84}}\right)=1188~~\to\) Unieke oplossing voor \(k\gt1\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(84\)
\(84=(8\)^^\(4)+8-4!!\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad84=(11-1-1)^{(1+1)}+1+1+1\)
\(\qquad\qquad84=2*(2*22-2)\)
\(\qquad\qquad84=3+3*3^3\)
\(\qquad\qquad84=4+4*(4*4+4)\)
\(\qquad\qquad84=5*5+55+5-5/5\)
\(\qquad\qquad84=66+6+6+6\)
\(\qquad\qquad84=77+7\)
\(\qquad\qquad84=88-8*8/(8+8)\)
\(\qquad\qquad84=9*9+(9+9+9)/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad84=1*2+3+4*5+6*7+8+9\)
\(\qquad\qquad84=9+8+7*6+5*4+3+2*1\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)