Allemaal Getallen Index 0081

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+6+7+8+9+10+11+12+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+12+12+14+15+16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26+27+28\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40+41$

$\qquad\;\,$(som van opeenvolgende gehele getallen)

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+5+7+9+11+13+15+17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25+27+29$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$81=5+8+13+21+34$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$81=36+45=D(8)+D(9)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$81=((0;0;0;9)\,(0;1;4;8)\,(0;3;6;6)\,(0;4;4;7)\,(2;2;3;8)\,(2;4;5;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#6\}$

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+2^2+6^2+6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^2+4^2+4^2+6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ enz.

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{3^3+3^3+3^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+2^3+2^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,((0;0;0;0;0;0;3;3;3)\,(0;0;0;0;0;1;2;2;4)\,(0;1;1;1;2;2;2;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}$

$\qquad\;\,$Merk op dat $81=1^3+2^3+2^3+4^3=(1+2+2+4)^2$

$81=(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)$ (som van drie groepen van opeenvolgende gehele getallen)

$\qquad\;\,$(dit is een eigenschap voor elke vierdemacht, in dit geval $3^4$ )

$81=(1+2)^3+(3+4)^2+5^1$

$81=1^4+2^4+2^4+2^4+2^4+2^4$

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+16+64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+4^2+8^2$ (som van drie verschillende kwadraten)

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^2$

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5+7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^3-46^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^2-12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^2-3^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{41^2-40^2}$

81.1

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van drie derdemachten)

$\qquad\;\,19$ oplossingen bekend

$\qquad\;\,$References Sum of Three Cubes

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{3^3+3^3+3^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{12^3+12^3+(-15)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{10^3+17^3+(-18)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-310)^3+(-351)^3+418^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1719)^3+(-2368)^3+2638^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{191554^3+198873^3+(-246040)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{127746^3+286361^3+(-294596)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-3325968)^3+(-3978850)^3+4638217^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{149516366^3+308017993^3+(-319340088)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-119545570)^3+(-3107114991)^3+3107173978^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8728408791)^3+(-39476727418)^3+39618451444^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{16774644844^3+167247113913^3+(-167303344870)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{97339729374^3+313613296393^3+(-316708441960)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-169969508298)^3+(-640722794903)^3+644685286580^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2236736622130^3+12695210906636^3+(-12718313108775)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-4510831267751)^3+(-45458902200366)^3+45473702456012^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{251693028346934^3+252628408931184^3+(-317703690271703)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{336265972343570^3+585037446444673^3+(-619943874347646)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{242325179490952^3+778918928828841^3+(-786659644036522)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$81\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van vijf vijfdemachten)

$\qquad\;\,$(fully searched up to $z=1000)$

$\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

81.2

$81^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^6][9^3][27^2]+18^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135^2-108^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}162^2-[3^9][27^3]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}369^2-360^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}405^2-54^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1095^2-1092^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad~~~1377^2-18^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3281^2-3280^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6831^2-360^3$

$81^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^{14}][9^7]-162^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1215^2-972^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1458^2-3^{13}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2187^2-162^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{3321^2-3240^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9855^2-9828^2$

81.3

$\sqrt{81}=8+1=9$ (dit is het enige getal van $2$ cijfers met deze eigenschap – zie voor andere voorbeelden
maar nu met kwadraten bij $45,55$ en $99$; dit zijn Kaprekargetallen – zie Glossarium) (OEIS A006886)

81.4

De twee cijfers van $81$ (en ook $18$) zijn derdemachten : $2^3$ en $1^3$

81.5

$81$ als som van twee priemgetallen kan enkel als volgt :

$$ {\scriptsize{ {\normalsize{2~primes}} \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&79\\ \\ \end{matrix} \right. }} $$

$81$ als som van drie priemgetallen die allemaal oneven blijken.
Acht van de vijfentwintig sommen hebben gelijke priemgetallen :

$$ {\scriptsize{ {\normalsize{3~odd~primes}} \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{73}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{71}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{67}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{61}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{31}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{37}&+&\mathbf{41}\\ &5&+&5&+&71\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{47}\\ &7&+&7&+&67\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{61}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{31}&+&\mathbf{43}\\ &7&+&37&+&37\\ &11&+&11&+&59\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{31}&+&\mathbf{37}\\ &17&+&17&+&47\\ &&\mathbf{17}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{41}\\ &19&+&19&+&43\\ &19&+&31&+&31\\ &23&+&29&+&29 \end{matrix} \right. }} $$

81.6

$81=3*3^3~~$ (het vorige getal met eenzelfde “structuur” $(a*a^a)$ is $8=2*2^2$ )

81.7

De uitdrukking $x^2-81x+1681$ levert priemgetallen voor elke waarde van $x$ van $1$ tot $80$. Voor $x = 81$ komt er de waarde $1681=41^2$, dus geen priemgetal (zie bij ).

81.8

○–○–○

$81^2=6561~~$ en $~~(6+5+6+1)_{reversed}=81$
$81^3=531441~~$ en $~~5+31+44+1=81$
$81^4=43046721~~$ en $~~4+3+0+46+7+21=81$
$81^5=3486784401~~$ en $~~3+4+8+6+7+8+44+0+1=81$
$81^6=282429536481~~$ en $~~2+8+2+4+2+9+5+36+4+8+1=81$
$81^7=22876792454961~~$ en $~~22+8+76-7-9+2-4+5+49-61=81$
$81^8=1853020188851841~~$ en $~~18+5+3+0+2+0+18+8+8+5+1+8+4+1=81$
$\bbox[2px,border:1px solid green]{81^9=150094635296999121~~~\text{en}~~~1+5+0+0+9+4+6+3+5+2+9+6+9+9+9+1+2+1=81}$

81.9

$\underline{81}^{11} = 984770902183611232881~~$ en $~~{\scriptsize{9+8+4+7+7+0+9+0+2+1+8+3+6+1+1+2+3+2+8+8+1}} = \mathbf{90}$
$\mathbf{90}^{18} = 150094635296999121000000000000000000~~$ en $~~{\tiny{1+5+0+0+9+4+6+3+5+2+9+6+9+9+9+1+2+1+0+0+0+0+\ldots}} = \underline{81}$

81.10

$81*2$$^{81}$$\,-\,1~~$ is een Woodall priemgetal, de zesde in zijn soort ($k*2^k-1$). (OEIS A002234) & (OEIS A003261)
$81$ is het kleinste kwadraatgetal met deze eigenschap en het enig gekende geval.

81.11

$81*27=2187$ bevat dezelfde cijfers links en rechts van het gelijkheidsteken.

81.12

$1/81=0,\overline{12345679}\,\overline{12345679}\ldots$ (bemerk dat de $8$ ontbreekt; het getal $12345679$ heet getal van Lewis CARROLL)
Hieruit volgt :

\begin{align} 12345679*9*1&=111111111\\ 12345679*9*2&=222222222\\ 12345679*9*3&=333333333\\ 12345679*9*4&=444444444\\ \cdots&=\cdots \end{align}

De kleinste fractie die een herhalende set oplevert van alle cijfers van $0$ tot $9$ die achter elkaar zijn geplaatst, is echter:
$13717421/1111111111=0.\overline{0123456789}\,\overline{0123456789}\,\overline{0123456789}\,\overline{01234567}\ldots$
Noteer dat $13717421=3607*3803$ wat een brilliant getal is.

81.13

\begin{align} 012345679*19&=234567901\\ 012345679*28&=345679012\\ 012345679*37&=456790123\\ 012345679*46&=567901234\\ 012345679*55&=679012345\\ 012345679*64&=790123456\\ 012345679*73&=901234567 \end{align}

De eerste vermenigvuldiger is $19$, gevolgd door telkens $9$ meer : $28;37;46;55;64;73$.

81.14

Met geschikte vermenigvuldigers bekomt men producten van de vorm $\small{\text{ABCABCABC}}$ : \begin{align} 12345679*3&=037037037\\ 12345679*30&=370370370\\ 12345679*57&=703703703\\ \\ 12345679*6&=074074074\\ 12345679*33&=407407407\\ 12345679*60&=740740740\\ \\ 12345679*12&=148148148\\ 12345679*39&=481481481\\ 12345679*66&=814814814\\ \\ 12345679*15&=185185185\\ 12345679*42&=518518518\\ 12345679*69&=851851851\\ \\ 12345679*21&=259259259\\ 12345679*48&=592592592\\ 12345679*75&=925925925\\ \\ 12345679*24&=296296296\\ 12345679*51&=629629629\\ 12345679*78&=962962962 \end{align} Merk op dat in elke groep het verschil tussen opeenvolgende vermenigvuldigers telkens $27$ is.

81.15

$81$ is een uniek tweecijferig KAPREKAR constante (zie Glossarium en )

De lus verloopt als volgt $\to\underline{81}-18=63\to63-36=27\to72-27=45\to54-45=09\to90-09=\underline{81}$

81.16

Er zijn vier rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde 81 is :
$(81;108;135),(81;360;369),(81;1092;1095),(81;3280;3281)$

81.17

EEN PUZZEL

$\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}$
Toon aan dat $6*6=18$
$\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}$
Keer het blad ondersteboven. Er staat dan : $81=9*9$

81.18

MERKWAARDIG

$81$ is het kleinste kwadraat waarbij de som van alle delers eveneens een kwadraat is :
$1+3+9+27+81=121=11^2$. Het volgende getal met dezelfde eigenschap is $400$ (som van de delers van $400=$
$sigma(400)=961=31^2$ ) (OEIS A008848)

81.19

Men moet $81$ tot minimaal de $2885$ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact $81$ $81$'s verschijnen.
Terloops : $81$$^{2885}$ heeft een lengte van $5506$ cijfers.

81.20

$81$ is het enige getal dat gelijk is aan het kwadraat van de som van zijn cijfers (zie ook ). $81$ is het enige getal
waarvan de som van de cijfers overeenkomt met de vierkantswortel uit het getal : $81=(8+1)^2$. Zie ook

81.21

Als som met de vier operatoren $+-*\;/$
$81=(8+8)+(8-8)+(8*8)+(8/8)$
$81=(18+2)+(18-2)+(18*2)+(18/2)$

81.22

$81=9*9$ en het omgekeerde getal $18=9+9$

81.23

De eerste keer dat er $81$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $265621$
en $265703$ met aldus een priemkloof van $82\,.~~$ (OEIS A000101.pdf)

81.24

$2$$^{81}$$\,+\,81~~$ is een priemgetal, de achtste in zijn soort. (OEIS A052007)

81.25

$81=9^2={\Large\frac{10!\,-\,9!}{8!}}$

81.26

$81=(2$$^{2+1}$$+1)^2~~$ uitdrukking met enkel de cijfers $1$ en $2$ en de operanden. Vijf cijfers waren voldoende in dit geval.

(Ref. Clifford A. Pickover, “Wonders of Numbers”, Chapter 78 'Creator Numbers')

81.27

Pannumerieke uitdrukkingen (zonder de nul) in willekeurige volgorde met de cijfers van $1$ tot $9$. \begin{align} 81&=1+2+43+5+6+7+8+9 \end{align}

81.28

${\color{blue}{81}}+82+83+84+85+86+87+88+89+90\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}91+92+93+94+95+96+97+98+99\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{tomato}{855}}$

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals $k=81=9^2$. De linkersom heeft $\sqrt{k}+1$ termen en de rechtersom $\sqrt{k}$.

(OEIS A059270)

81.29

Som der reciproken van partitiegetallen van $81$ is $1$ op vierenveertig wijzen.

Vijf partities hebben unieke termen.

$~~(1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{81=2+3+12+16+48}~~$ en $~~{1=\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{16}}+{\Large\frac{1}{48}}$

$~~(3)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{81=2+4+10+15+20+30}~~$ en $~~{1=\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{30}}$

$(10)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{81=3+4+5+7+20+42}~~$ en $~~{1=\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{42}}$

$(17)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{81=3+4+7+10+14+15+28}~~$ en $~~{1=\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{14}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{28}}$

$(18)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{81=3+5+6+9+10+18+30}~~$ en $~~{1=\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{30}}$

(OEIS A125726)

81.30

$81$$^{7}$$~\&~81=22876792454961~\&~81~~$ en $~~(2+2+8+7+6+7+9+2+4+5+4+9+6+1)~\&~(8+1)=81$

81.31

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{\large{81}}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$\qquad\qquad~sdc\left(1062^{\large{81}}\right)=1062\qquad\qquad~sdc\left(1196^{\large{81}}\right)=1196$

81.32

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $81$ enkel met operatoren $+,-,*,/,()$
$81=(1+8)*(8+1)$

81.33

$81$ is een deler van $2$$^{81}$$+1$, de vijfde in zijn soort $k~$|$~(2^k+1$). (OEIS A006521)

81.34

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9~~$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$\qquad\qquad81=(11-1-1)^{(1+1)}$
$\qquad\qquad81=(2+2/2)^{(2+2)}$
$\qquad\qquad81=3*3^3$
$\qquad\qquad81=(4-4/4)^4$
$\qquad\qquad81=5*5+55+5/5$
$\qquad\qquad81=6-6*6+666/6~~{\small\color{green}{(Origineel~6-6{\color{red}{|}}6+6{\color{red}{*}}66/6~is~onjuist)}}$
$\qquad\qquad81=77/7-7+77$
$\qquad\qquad81=88-8+8/8$
$\qquad\qquad81=9*9$

81.35

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja) :

$\qquad\qquad81=1+2+3+45+6+7+8+9$
$\qquad\qquad81=12+34+5+6+7+8+9$

$\qquad\qquad81=9+8+7+6+5+43+2+1$

81.36

Het kleinste getal dat exact $81$ delers heeft is $44100=2^2*3^2*5^2*7^2$. (OEIS A005179)

81.37

$81$ is het aantal getallen bestaande uit twee cijfers die daarenboven verschillend zijn ($99-10+1-9$).

$\small{10,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,34,35,36,37,38,39,}$
$\small{40,41,42,43,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,67,68,69,}$
$\small{70,71,72,73,74,75,76,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98}$

(OEIS A073531)

81.38

Maakt men de som van de cijfers van ${\color{blue}{81}}$ en van ${\color{blue}{81}}^7=22876792454961$ dan is het totaal
${\color{blue}{8}}+{\color{blue}{1}}~~+~~2+2+8+7+6+7+9+2+4+5+4+9+6+1={\color{blue}{81}}$

81.39

\(81\)	\(3^4\)	\(5\)	\(121=11^2\)
	\(1,3,9,27,81\)
	\(1010001_2\)	\(121_8\)	\(51_{16}\)
			\(81=9^2=3^4\)

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR