\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8+9+10+11+12+13+14\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}38+39\)

\(\qquad\;\,\)(som van opeenvolgende gehele getallen)

\(77=5+7+9+11+13+15+17\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(77=2+3+5+7+11+13+17+19\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(77=4^2+5^2+6^2\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(77=((0;2;3;8)\,(0;4;5;6)\,(1;2;6;6)\,(3;4;4;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}\)

\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*4+5*5+6*6\)

\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2+8^2-6^2\)

\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;1;1;1;1;1;2;4)\,(1;1;2;2;2;2;2;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(77=11!/(6!*6!)\)

\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{39^2-38^2}\)

77.1

\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad\;\,\)In dit geval is \(m=8~~(+5)\).

\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{2^3+2^3+(-4)^3+5^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-4)^3+(-10)^3+(-19)^3+20^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{2^3+(-19)^3+(-22)^3+26^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{5^3+23^3+26^3+(-31)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-25)^3+(-31)^3+(-43)^3+50^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-16)^3+(-16)^3+(-52)^3+53^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-1)^3+26^3+53^3+(-55)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{35^3+56^3+65^3+(-79)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{29^3+(-46)^3+(-76)^3+80^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-43)^3+50^3+86^3+(-88)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{26^3+(-40)^3+(-124)^3+125^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{5^3+86^3+116^3+(-130)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-4)^3+104^3+116^3+(-139)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-85)^3+(-97)^3+(-130)^3+155^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{83^3+(-103)^3+(-154)^3+161^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{95^3+95^3+146^3+(-169)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-61)^3+(-88)^3+(-169)^3+179^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{53^3+(-145)^3+(-184)^3+209^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{53^3+(-136)^3+(-214)^3+230^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-40)^3+131^3+221^3+(-235)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{11^3+(-124)^3+(-247)^3+257^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{92^3+125^3+248^3+(-262)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{47^3+68^3+263^3+(-265)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-127)^3+197^3+239^3+(-268)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-118)^3+(-130)^3+(-250)^3+269^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-13)^3+(-139)^3+(-256)^3+269^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{122^3+(-205)^3+(-241)^3+275^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-139)^3+(-208)^3+(-214)^3+278^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{206^3+(-229)^3+(-325)^3+335^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{80^3+281^3+299^3+(-367)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{65^3+257^3+326^3+(-373)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{2^3+95^3+377^3+(-379)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{53^3+236^3+356^3+(-388)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-106)^3+296^3+344^3+(-403)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-187)^3+218^3+395^3+(-403)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{2^3+134^3+398^3+(-403)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-76)^3+(-328)^3+(-331)^3+416^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-52)^3+(-274)^3+(-379)^3+422^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-169)^3+281^3+389^3+(-424)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{59^3+(-91)^3+(-427)^3+428^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{119^3+(-271)^3+(-427)^3+458^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-103)^3+(-241)^3+(-436)^3+461^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{116^3+(-130)^3+(-460)^3+461^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{203^3+338^3+383^3+(-469)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{365^3+(-424)^3+(-424)^3+470^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-232)^3+(-238)^3+(-427)^3+470^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{5^3+110^3+470^3+(-472)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{86^3+302^3+458^3+(-499)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{149^3+(-337)^3+(-463)^3+512^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-202)^3+230^3+509^3+(-514)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-154)^3+245^3+506^3+(-520)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-52)^3+(-88)^3+(-523)^3+524^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{164^3+383^3+485^3+(-559)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-211)^3+311^3+536^3+(-559)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{92^3+(-457)^3+(-457)^3+575^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{278^3+365^3+500^3+(-580)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{224^3+(-442)^3+(-523)^3+602^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-346)^3+(-436)^3+(-475)^3+614^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-163)^3+188^3+620^3+(-622)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{200^3+(-256)^3+(-643)^3+650^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-304)^3+416^3+629^3+(-664)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-253)^3+377^3+641^3+(-670)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-124)^3+(-520)^3+(-547)^3+674^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-130)^3+368^3+656^3+(-691)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-130)^3+(-256)^3+(-691)^3+704^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{197^3+464^3+629^3+(-709)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-292)^3+452^3+668^3+(-715)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{107^3+(-256)^3+(-715)^3+725^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{413^3+416^3+623^3+(-727)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{62^3+143^3+725^3+(-727)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-166)^3+(-451)^3+(-676)^3+740^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-85)^3+(-376)^3+(-709)^3+743^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{41^3+548^3+629^3+(-745)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-208)^3+(-211)^3+(-778)^3+788^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{416^3+437^3+704^3+(-796)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{74^3+(-436)^3+(-778)^3+821^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-403)^3+674^3+686^3+(-826)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-91)^3+374^3+800^3+(-826)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{341^3+611^3+680^3+(-835)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-235)^3+611^3+716^3+(-835)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-25)^3+(-649)^3+(-682)^3+839^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{440^3+494^3+773^3+(-874)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-130)^3+653^3+740^3+(-880)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-559)^3+761^3+779^3+(-904)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{302^3+(-358)^3+(-931)^3+938^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-334)^3+(-520)^3+(-907)^3+974^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{350^3+434^3+986^3+(-1027)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-262)^3+500^3+992^3+(-1027)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-730)^3+782^3+998^3+(-1027)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{317^3+572^3+956^3+(-1030)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{50^3+797^3+890^3+(-1066)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-286)^3+701^3+962^3+(-1066)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{131^3+857^3+953^3+(-1144)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-439)^3+944^3+983^3+(-1195)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,(z\gt200)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{74^5+168^5+144^5+253^5+(-262)^5}\)

77.2

\(77^3=456533~~\) en \(~~-456+533=77\)

\(77^4=35153041~~\) en \(~~-35+153-041=77\)

\(77^5=2706784157~~\) en \(~~-2+706-784+157=77\)

\(77^6=208422380089~~\) en \(~~208-422+380-089=77\)

\(77^7=16048523266853~~\) en \(~~16-048+523-266+853=1078~~\) en \(~~-1+078=77\)

\(77^8=1235736291547681~~\) en \(~~1-235+736-291+547-681=77\)

\(77^9=95151694449171437~~\) en \(~~-95+151-694+449-171+437=77\)

\(77^{10}=7326680472586200649~~\) en \(~~{\small{7+3+2+6+6+8+0+4+7+2+5+8+6+2+0+0+6-4+9}}=77\)

\(77^{11}=564154396389137449973~~\) en \(~~-5+6+41+54+39+63+89+13-74-49-97-3=77\)

77.3

\(77*44=3388\) (dubbele cijfers)

Het \(77\)ste driehoeksgetal \(D(77)=3003\) (dubbele cijfers)

77.4
\(77\) kan niet geschreven worden als soms van twee priemgetallen.

\(77\) als som van drie priemgetallen.
Zeven van de achtentwintig sommen hebben gelijke priemgetallen :

$$ {\scriptsize{ {\normalsize{3\;primes}} \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&73\\ &3&+&3&+&71\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{67}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{61}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{31}&+&\mathbf{43}\\ &3&+&37&+&37\\ &5&+&5&+&67\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{61}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{31}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{41}\\ &17&+&17&+&43\\ &&\mathbf{17}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{17}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{17}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{31}\\ &19&+&29&+&29\\ &23&+&23&+&31 \end{matrix} \right. }} $$

77.5
\(77\) is – net zoals alle getallen van de vorm \(\small{\text{AA}}\) – de som van twee getallen die elkaars omgekeerde zijn :
\(70+07=61+16=52+25=43+34\) 		77.6
\begin{align} 8*8+13&={\mathbf{77}}\\ 88*8+13&={\mathbf{7}}1{\mathbf{7}}\\ 888*8+13&={\mathbf{7}}11{\mathbf{7}}\\ 8888*8+13&={\mathbf{7}}111{\mathbf{7}}\\ \cdots&=\cdots \end{align} 77.7
Een zescijferig getal van de vorm \(\small{\text{ABCABC}}\) is steeds deelbaar door \(77\) (en ook door \(7,11,13\) en hun combinaties
\(7*11=77~~;~~7*13=91~~;~~11*13=143~~;~~7*11*13=1001)\) : bvb. \(269269/77=3497\) 		77.8
Er zijn vier rechthoekige driehoeken met gehele zijden en één zijde gelijk aan \(77\) :
\((36;77;85),(77;264;275),(77;420;427),(77;2964;2965)\) 		77.9
\(77\) is het grootste aantal vakjes dat in een \(9*9\) sudoku kan ingevuld zijn, zonder dat dit een unieke oplossing geeft. 77.10
\(77\) vormt samen met \(78\) een zogenaamd Ruth-Aaron-paar. Zie het volledige verhaal bij en (OEIS A006145) 77.11
  MERKWAARDIG  

Bij het getal \(11\) zagen we een toelichting over multiplicatieve persistentie. Het getal \(77\) is het kleinste getal met
multiplicatieve persistentie \(4\). De reeks loopt als volgt voor \(77\to77,49,36,18,8\). Als men de kleinste getallen
met multiplicatieve persistentie \(1,2,3,4,\ldots\) noteert, dan vindt men de volgende rij : \(0,10,25,39,77,679,6788,\ldots\)
(OEIS A003001). Zie ook bij rubrieken en

77.12
  WETENSWAARD  

\(77=3+4+5+5+60~~\) en \(~~1=1/3+1/4+1/5+1/5+1/60\). Het getal \(77\) is het grootste getal waarbij men
nog dezelfde getallen meermaals moet gebruiken (met name twee maal \(5\)) om \(1\) te bekomen als som van de reciproken.
Voor elk getal groter dan \(77\) is het mogelijk om dat getal op te splitsen in een reeks van gehele maar verschillende
getallen, zodanig dat de som der reciproken van al deze partitiegetallen gelijk is aan \(1\); zo heeft men

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{78=2+6+8+10+12+40}~~\) en \(~~1=1/2+1/6+1/8+1/10+1/12+1/40\).

Alhoewel er getallen, kleiner dan \(78\) zijn, waarvoor dit ook geldt, zoals bvb.

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{24=2+4+6+12}~~\) en \(~~1=1/2+1/4+1/6+1/12\)

lukt het bvb. niet voor het getal \(5\).
In totaal zijn er achtentwintig wijzen waarop \(77\) een som gelijk aan \(1\) geeft van de reciproken van partitiegetallen.

\((1)~~77=3+4+5+5+60\)

\((2)~~77=3+4+4+11+22+33\)

\((3)~~77=3+4+4+12+18+36\)

\((4)~~77=2+9+12+12+12+12+18\)

\((5)~~77=2+10+10+10+15+15+15\)

\((6)~~77=3+4+6+16+16+16+16\)

\((7)~~77=3+4+8+8+18+18+18\)

\((8)~~77=3+5+5+10+18+18+18\)

\((9)~~77=3+5+5+12+12+20+20\)

\((10)~~77=3+6+6+6+14+21+21\)

\((11)~~77=3+6+6+6+16+16+24\)

\((12)~~77=4+4+4+15+15+15+20\)

\((13)~~77=4+4+5+8+12+20+24\)

\((14)~~77=4+4+5+10+12+12+30\)

\((15)~~77=4+5+5+6+12+15+30\)

\((16)~~77=4+6+6+6+6+21+28\)

\((17)~~77=5+5+5+5+9+18+30\)

\((18)~~77=5+5+6+6+6+14+35\)

\((19)~~77=3+10+10+10+10+10+12+12~~~~\)

\((20)~~77=4+6+6+10+12+12+12+15\)

\((21)~~77=4+6+8+8+9+12+12+18\)

\((22)~~77=4+6+8+9+9+9+16+16\)

\((23)~~77=4+6+9+9+9+10+10+20\)

\((24)~~77=5+5+6+9+10+12+12+18\)

\((25)~~77=5+6+6+6+12+12+15+15\)

\((26)~~77=5+6+6+8+8+12+12+20\)

\((27)~~77=6+6+6+7+7+12+12+21\)

\((28)~~77=6+6+6+8+9+9+9+24\)

(A theorem on partitions) door R. L. GRAHAM   (OEIS A125726)

77.13
  NOG EEN WEETJE  

\(77\) is palindroom; zo ook \(77*78=6006\) en eveneens \(77*78*79=474474\)

77.14
\(77\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(8\) oplossingen) :
\(156849/2037=320859/4167=406791/5283=438207/5691=489027/6351=524139/6807=\)
\(541926/7038=635019/8247=77\) 		77.15
Men moet \(77\) tot minimaal de \(3416\)de macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(77\) \(77\)'s verschijnen.
Terloops : \(77\)\(^{3416}\) heeft een lengte van \(6445\) cijfers.
Om aan het juiste aantal van \(77\) te komen moet je hier wel rekening houden met overlappingen. Zo hebben we
\(66\) maal \(77\) (incl. \(77|7\)) en \(11\) maal \(7|77\) wat ons totaal op \(77\) brengt (dit fenomeen doet zich enkel voor met repdigits).
Kan jij de eerste oplossing vinden zonder overlappingen (aangrenzend zoals \(77|77\) zijn niet OK wegens \(7|77|7\) ) ?
Echter de kans om geen \(777\) tegen te komen neigt sterk naar \(\large{\infty}\) 		77.16

\(77^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}85^2-[6^4][36^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}275^2-264^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}427^2-420^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2965^2-2964^2\)

\(77^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}693^2-154^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}837^2-494^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1947^2-1826^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{3003^2-2926^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4683^2-4634^2\)

77.17

\(77^2=18^2+19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2+25^2+26^2+27^2+28^2\)

\(77^2=3^2+12^2+76^2\)

77.18

De eerste keer dat er \(77\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(188029\)
en \(188107\) met aldus een priemkloof van \(78\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

77.19

\(77\)\(^{(35203072/133581989)}\)\(~~=3.141592653589\ldots\)

Dat heeft slechts een verschil met \(\Large\pi\) van \(5.26 * 10^{-15}\)

Ook merkwaardig is met de cijfers van de exponent \(\to35-20+30+72-13-35-81+98-9=77\)

en met de cijfers van \(\Large\pi\) \(\to31-41-59+26+53+58+9=77\)

Internet bron (Machten van 77)

77.20

\(77!+1\) is een priemgetal, de tiende in zijn soort \((k!+1)~~\) (OEIS A002981)

77.21
De palindroomgetallen aaneengeschakeld vanaf \(1\) tot en met \(77\) vormen een priemgetal. Dit is de eerste maal dat
dit gebeurt. Het priemgetal is \(123456789112233445566{\color{blue}{77}}\). Zie ook bij
Het derde getal in de reeks is nog onbekend. 		77.22

\(77*10\)\(^{77}\)\(-1~~\) is een veralgemeend Woodall priemgetal, de negende in zijn soort (\(k*10^k-1\)).
(OEIS A059671) & (OEIS A216346)

77.23

\(10\)\(^{77+1}\)\(\,-\,1\) is deelbaar door \(77\). (OEIS A175203)

77.24
\(77^3={\color{blue}{456}}566~~\) de kleinste derdemacht met drie opeenvolgende cijfers in zijn decimale expansie. 77.25
\(77\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{87}{3}}+{\Large\frac{96}{2}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29+48\).
Het grootste getal als som van twee breuken waarbij elke breuk een teller heeft met maximaal twee cijfers die samen met de cijfers van de noemer allemaal verschillend zijn. 		77.26
\(77\) deelt \(10\)\(^{77+1}\)\(\,-\,1\), de zesde in zijn soort \((10^{k+1}-1)~~\) (OEIS A175203) 77.27

\(77\)\(^{1}\)\(+77\)\(^{9}\)\(+77\)\(^{1}\)\(+77\)\(^{5}\)\(+77\)\(^{8}\)\(+77\)\(^{7}\)\(+77\)\(^{6}\)\(+77\)\(^{9}\)\(+77\)\(^{5}\)\(+77\)\(^{7}\)\(+77\)\(^{6}\)\(+77\)\(^{0}\)\(+77\)\(^{4}\)\(+77\)\(^{1}\)\(+77\)\(^{3}\)\(+77\)\(^{5}\)\(+77\)\(^{7}\)\(+77\)\(^{0}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(191587695760413570~~\) (OEIS A236067)

77.28
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(77\)\(7*11\)\(4\)\(96\)
\(1,7,11,77\)
\(1001101_2\)\(115_8\)\(4\)D\(_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 9 november 2024