\(70\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+8+9+10+11+12+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12+13+14+15+16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16+17+18+19\)

\(\qquad\;\,\)(som van opeenvolgende gehele getallen)

\(70\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+6+8+10+12+14+16 \mathbf{\color{blue}{\;=\;}} 10+12+14+16+18 \mathbf{\color{blue}{\;=\;}} 34+36\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(70=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6\)

\(70=(1+2+3+4)^2-1^2-2^2-3^2-4^2\)

\(70=5*6*7*8/24~~\) (product van vier opeenvolgende getallen is deelbaar door \(24\)) (OEIS A000332)

\(70=1*2^3+2*3^3+3*4^2\)

\(70\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(4+4)!/(4!*4!)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8!/24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9!/72^2\)

\(70=((0;3;5;6)\,(1;1;2;8)\,(1;2;4;7)\,(2;4;5;5)\,(3;3;4;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#5\}\)

\(70\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;0;0;2;2;3;3)\,(0;0;1;1;1;1;1;1;4)\,(1;1;1;2;2;2;2;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\)

\(70\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}x^m+y^n~~\)(geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

70.1

\(70\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,32\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{11^3+20^3+(-21)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{23^3+63^3+(-64)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-432)^3+(-487)^3+581^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{113^3+693^3+(-694)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{824^3+2325^3+(-2359)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-9451)^3+(-18031)^3+18858^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{75260^3+102711^3+(-114721)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{900896^3+2827923^3+(-2858077)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-549415)^3+(-3317619)^3+3322634^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-7774732)^3+(-16852945^3)+17387367^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{118310609^3+139334349^3+(-163379752)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{172954403^3+252363300^3+(-276965293)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{350926488^3+434071505^3+(-500004403)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-342020749)^3+(-454998333)^3+511982936^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{459573212^3+1633983959^3+(-1646013633)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1343866128^3+1842839285^3+(-2055557143)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-493767577)^3+(-2465766994)^3+2472349383^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-494415589)^3+(-3214821925)^3+3218715204^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1201509606^3+5025848171^3+(-5048634493)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2638136173)^3+(-7372659420)^3+7483578083^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2781681441^3+13432071101^3+(-13471720228)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{5093333021^3+16662417948^3+(-16819569727)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{33843544760^3+100423138011^3+(-101688394021)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{61683198029^3+167470987089^3+(-170215109392)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-118549518573)^3+(-154765042642)^3+175148822075^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1305286502032)^3+(-3744841404825)^3+3796972605167^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8658102976711)^3+(-27003032135643)^3+27296533441352^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{9332305540985^3+35608634532461^3+(-35821030893846)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-9403632092454)^3+(-54285646673731)^3+54379542143465^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-124254723481189)^3+(-687192560234493)^3+688544031266066^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{719546318858327^3+797110201292802^3+(-957926108994841)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-223954055560540)^3+(-1381417714821543)^3+1383376964067653^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(70\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-18)^5+44^5+47^5+70^5+(-73)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\to~~\)Noteer dat\(~~-18+44+47+70-73\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}70\)

70.2
\(70\) is \(10\) maal de som van zijn cijfers (zie bij ) 70.3
\(70\) als som van twee priemgetallen die bovendien allemaal oneven en verschillend zijn :

$$ 2\;odd\;primes \left[ \begin{matrix} &3&+&67\\ &11&+&59\\ &17&+&53\\ &23&+&47\\ &29&+&41 \end{matrix} \right. $$

\(70\) als som van drie priemgetallen die bovendien allemaal verschillend zijn :

$$ 3\;dif\!ferent\;primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{61}\\ \\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{31}&+&\mathbf{37} \end{matrix} \right. $$

70.4
\(\underline{70}^{13}=968890104070000000000000~~\) en \(~~9+6+8+8+9+0+1+0+4+0+7+0+0+\cdots=\mathbf{52}\)
\(\mathbf{52}^{10}=144555105949057024~~\) en \(~~1+4+4+5+5+5+1+0+5+9+4+9+0+5+7+0+2+4=\underline{70}\) 		70.5
\(2\)\(^{70}\)\(=1180591620717411303424\) en de som van al die cijfers \(1+1+8+\cdots+4+2+4=70\) d.i. precies de
exponent van \(2\). Het “kleinere broertje” hiervan is \(2^5=32\) waarbij \(3+2\) = exponent \(5\). Zie bij
Deze OEIS referentie komt het meest in de buurt (OEIS A175169)
Keer de cijfers van \(2\)\(^{70}\) om en je hebt een priemgetal \(4243031147170261950811\). 		70.6
Er zijn vijf rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde \(70\) is :
\((42;56;70),(24;70;74),(70;168;182),(70;240;250),(70;1224;1226)\) 		70.7
  WETENSWAARD  

\(70^2=1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+23^2+24^2=4900~~\) (som van opeenvolgende kwadraten is zelf een kwadraat
en dat is uniek). Dat betekent twee mogelijke schikkingen voor \(4900\) voorwerpen (in puzzels heeft men vaak de
voorkeur voor kanonballen, dus we zullen ons aan die traditie houden). Men kan \(4900\) kanonballen schikken in een
vierkant van \(70\) bij \(70\). Men kan ze ook als een vierzijdige piramide in opeenvolgende lagen van telkens een vierkant
schikken : de onderste laag meet \(24\) bij \(24\); daarop komt een laag van \(23\) bij \(23\), dan een van \(22\) bij \(22\) enz. tot op het
einde één enkele kanonbal de piramide bekroont. Het enige andere getal dat zoals \(70\) tegelijk kwadraat en piramidaal
getal is, is het (triviale) \(1\).

70.8
\(70\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(7\) oplossingen) :
\(167580/2394=184590/2637=316890/4527=369180/5274=379260/5418=\)
\(418320/5976=532980/7614=70\) 		70.9
Men moet \(70\) tot minimaal de \(6471\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(70\) \(70\)'s verschijnen.
Hier moet een hogere exponent gebruikt worden als normaal want een veelvoud van \(70\) produceert een sliert van
nullen achteraan die nooit een grondtal kunnen herbergen. Terloops : \(70\)\(^{6471}\) heeft \(11940\) cijfers. 		70.10
\(70\) kan niet geschreven worden als verschil van twee machten \(x^m\) en \(y^n\) waarbij \(x~\&~y\gt1\) en \(m~\&~n\gt1\).
Vermoedelijk volledige lijst betreffende het verschil van twee machten → (OEIS A074981) 		70.11

\(70^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}42^2+56^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}74^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}119^2-21^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}182^2-168^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}250^2-240^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}470^2-60^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1226^2-1224^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~4930^2-30^5\)

\(70^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}35^4-105^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}588^2-14^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}593^2-93^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}595^2-105^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}665^2-315^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}811^2-561^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}973^2-777^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~1225^2-105^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1295^2-1155^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1765^2-1665^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1799^2-1701^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{2485^2-2415^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3455^2-3405^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~6139^2-6111^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8585^2-8565^2\)

70.12

Voor \(n=70~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+24) ~~\to~~ {\large\sigma}(70)={\large\sigma}(94)=144~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(70\) is de eerste oplossing uit de reeks \(70,143,295,413,435,464,570,574,620,658,690,812,869,979,1107,\ldots\)

70.13

\(70^3=15^3+16^3+17^3+\cdots+32^3+33^3+34^3=343000\)

70.14

\(\begin{align}70\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{17}{13}}\right)^3+\left({\frac{53}{13}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

70.15

Som der reciproken van partitiegetallen van \(70\) is \(1\) op zesentwintig wijzen.

Er zijn geen partities met unieke termen.

\((1)~~70=2+4+16+16+16+16\)

\((2)~~70=2+6+6+14+21+21\)

\((3)~~70=2+6+6+16+16+24\)

\((4)~~70=3+3+8+8+24+24\)

\((5)~~70=3+6+6+6+7+42\)

\((6)~~70=4+4+4+8+10+40\)

\((7)~~70=3+4+9+12+12+12+18\)

\((8)~~70=3+5+6+12+12+12+20\)

\((9)~~70=3+5+8+10+10+10+24\)

\((10)~~70=3+7+7+7+8+14+24\)

\((11)~~70=4+4+5+9+15+15+18\)

\((12)~~70=4+4+5+10+12+15+20\)

\((13)~~70=4+4+6+7+14+14+21\)

\((14)~~70=4+4+6+8+12+12+24\)

\((15)~~70=4+4+7+7+9+18+21\)

\((16)~~70=4+5+5+6+15+15+20\)

\((17)~~70=4+5+5+8+8+20+20\)

\((18)~~70=4+5+6+7+7+20+21\)

\((19)~~70=5+5+5+5+10+20+20\)

\((20)~~70=4+8+8+10+10+10+10+10\)

\((21)~~70=4+9+9+9+9+9+9+12\)

\((22)~~70=5+5+10+10+10+10+10+10\)

\((23)~~70=5+7+7+7+10+10+10+14\)

\((24)~~70=6+6+6+8+8+12+12+12\)

\((25)~~70=6+6+6+9+9+9+10+15\)

\((26)~~70=7+7+7+7+7+7+14+14\)

(OEIS A125726)

70.16

\(70\) is nooit de som van de delers van een getal en \(70\) is het eerste getal met die eigenschap (OEIS A006037).

70.17
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(70\)\(2*5*7\)\(8\)\(144\)
\(1,2,5,7,10,14,35,70\)
\(1000110_2\)\(106_8\)\(46_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 12 augustus 2024