\(69\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+10+11+12+13+14\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}22+23+24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}34+35\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(69=21+23+25\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(69=((0;1;2;8)\,(0;2;4;7)\,(1;4;4;6)\,(2;2;5;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}\)

\(69\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;1;1;1;1;1;4)\,(0;1;1;2;2;2;2;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(69=5^2+6^2+2^3\)

\(69=6*9+6+9\) (zie bij )

\(69\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2-10^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{35^2-34^2}\)

69.1

\(69\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,10\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2^3+(-4)^3+5^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-19)^3+(-22)^3+26^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{95^3+(-379)^3+377^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{134^3+398^3+(-403)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{261692^3+1209029^3+(-1213102)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1140509^3+18036296^3+(-18037816)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-14350996)^3+(-26392624)^3+27737309^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-4721746702)^3+(-6076741522)^3+6908086685^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-286708251987187)^3+(-535563738419146)^3+561660501527702^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-56066013663034)^3+(-753438438158635)^3+753541910099072^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(69\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{3^5+(-5)^5+42^5+71^5+(-72)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{20^5+(-67)^5+125^5+155^5+(-164)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\to~~\)Noteer dat \(~~20-67+125+155-164=69\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{62^5+147^5+504^5+819^5+(-833)^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{636^5+715^5+(-1001)^5+(-1014)^5+1123^5}\)

69.2
\(69^2={\color{blue}{4761}}~~\) en \(~~69^3={\color{blue}{328509}}~~\) bevatten samen alle cijfers van \(0\) tot \(9\). Dit is uniek voor de combinatie van
een tweede- en derdemacht. Zie ook bij
In deze Youtube Video 69 Is A Nice Number, Mathematically wordt alles nog eens mooi uit de doeken gedaan. 		69.3
\(69\) als som van twee priemgetallen kan enkel als volgt :

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&67\\ \\ \end{matrix} \right. $$

\(69\) als som van drie priemgetallen.
Zeven van de twintig sommen hebben gelijke priemgetallen :

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{61}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{37}&\\ &5&+&5&+&59\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{43}&\\ &7&+&31&+&31\\ &11&+&11&+&47\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{41}&\\ &11&+&29&+&29\\ &13&+&13&+&43\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{17}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{29}\\ &19&+&19&+&31\\ &23&+&23&+&23 \end{matrix} \right. $$

69.4

\(10^{69}+69~~\) en \(~~100^{69}-69~~\) zijn allebei priemgetallen.

De eerste met grondtal \(10\) is de derde in zijn soort (\(10^k+k\)). (OEIS A089379)

De laatste met grondtal \(100\) in de eerste in zijn soort (\(100^k-k\)).

De reeks gaat als volgt \(k=69,143,609,2891,9327,\ldots\)

69.5
Er zijn vier rechthoekige driehoeken met gehele zijden en één zijde \(69\) :
\((69;92;115),(69;260;269),(69;792;795),(69;2380;2381)\) 		69.6
\(69\) is het kleinste getal met verschillende cijfers dat hetzelfde blijft als het op zijn kop wordt gezet. 69.7
Getallen die hetzelfde blijven als ze ondersteboven worden gelezen zijn : \(0,1,8,11,69,88,96,101,111,181,\ldots\)
Zie (OEIS A000787) en ook de opmerking bij i.v.m. cijfers met digitale uitlezing, bvb. op rekenmachines. 		69.8
\(69\) is één van de twee getallen met volgende eigenschap : \(69\) in Romeinse cijfers is \(\text{LXIX}\). Als men nu de letters
\(\text{L,X,I}\) en \(\text{X}\) door hun plaatswaarde in het alfabet vervangt
(dus \(\text{A=1},\text{B=2},\text{C=3},\ldots,\text{I=9},\ldots,\text{L=12},\text{M=13},\text{V=22},\ldots,\text{X=24}\)) dan vindt men de waarde \(69\).
Zie ook bij 		69.9
  MERKWAARDIG  

De som van alle delers van \(69\) is \(1+3+23+69=96\) en dat is niets anders dan \(69\) op zijn kop gezet.

69.10
\(69\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(5\) oplossingen) :
\(158976/2304=317952/4608=328509/4761=510462/7398=650187/9423=69\) 		69.11
\(69_{[16]}=105_{[10]}\) maar met andere talstelsels \(69_{[10]}=105_{[8]}\) creëren we ook een gelijkheid tussen \(69\) en \(105\). 69.12
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
In \(69^{32}\) komt \(69\) vier keer voor → \({\color{blue}{6969}}007045671403{\color{blue}{69}}341357730618339846{\color{blue}{69}}532003071343585548161\)
Maar welke exponent \(m\) moeten we gebruiken zodat \({\color{blue}{69}}\) \(69\) keer voorkomt in de decimale expansie van \(69^{\Large{m}}\) ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Het antwoord is \(69\)\(^{2803}\). Dit getal heeft \(5155\) cijfers. Noteer, voor wat het waard is, dat deze exponent een priemgetal is.
Men kan dit nagaan door deze uitkomst te plakken in een ietwat deftige tekstverwerker en het getal \(69\) te vervangen
door \(69\). De toepassing zal melden hoeveel vervangingen er gebeurd zijn. Dit zou terug ons getal \(69\) moeten zijn.

69.13

\(69^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}115^2-92^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}269^2-260^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}795^2-792^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2381^2-2380^2\)

\(69^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}575^2-46^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}897^2-690^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{2415^2-2346^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6097^2-6070^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7153^2-7130^2\)

69.14
\(69\) is het kleinste getal waarvan het kwadraat (\(4761\)) bestaat uit twee na elkaar geschreven priemgetallen. 69.15

De eerste keer dat er \(69\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(173359\)
en \(173429\) met aldus een priemkloof van \(70\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

69.16

Voor \(n=69~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+8) ~~\to~~ {\large\sigma}(69)={\large\sigma}(77)=96~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(69\) is de tweede oplossing uit (OEIS A015876)

69.17

\(69!\) is de grootste fakulteit dat een standaard wetenschappelijke rekenmachine kan berekenen.
Meer uitleg in deze Youtube Video 69! - Numberphile over deze beperking.

69.18

\(\begin{align}69\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{15409}{3318}}\right)^3-\left({\frac{10441}{3318}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{21298792404615983}{15916085197527900}}\right)^3+\left({\frac{64516212068384017}{15916085197527900}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

69.19

\(69\) is de som van de 'som der delers' van de getallen van \(1\) tot \(9\) :

\((1)+(1+2)+(1+3)+(1+2+4)+(1+5)+(1+2+3+6)+(1+7)+(1+2+4+8)+(1+3+9)\)

(OEIS A024916)

69.20

Som der reciproken van partitiegetallen van \(69\) is \(1\) op negentien wijzen.

Twee partities hebben unieke termen.

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{69=2+3+14+15+35}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{14}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{35}}\)

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{69=2+6+7+12+14+28}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{14}}+{\Large\frac{1}{28}}\)

\((1)~~69=2+3+14+15+35\)

\((2)~~69=2+5+8+15+15+24\)

\((3)~~69=2+6+6+15+20+20\)

\((4)~~69=2+6+7+12+14+28\)

\((5)~~69=2+7+7+8+21+24\)

\((6)~~69=3+4+6+6+20+30\)

\((7)~~69=4+4+6+6+7+42\)

\((8)~~69=3+4+10+10+12+15+15\)

\((9)~~69=3+5+6+10+15+15+15\)

\((10)~~69=3+5+8+8+10+15+20\)

\((11)~~69=3+6+6+9+9+18+18\)

\((12)~~69=3+6+7+7+10+15+21\)

\((13)~~69=3+6+8+8+8+12+24\)

\((14)~~69=4+4+5+12+12+12+20\)

\((15)~~69=5+6+6+6+6+10+30\)

\((16)~~69=5+6+8+8+10+10+10+12~~~~\)

\((17)~~69=6+6+6+9+9+9+12+12\)

\((18)~~69=6+6+8+8+8+8+10+15\)

\((19)~~69=6+7+7+7+8+8+12+14\)

(OEIS A125726)

69.21

\(69\)\(^{7}\)\(+69\)\(^{5}\)\(+69\)\(^{6}\)\(+69\)\(^{0}\)\(+69\)\(^{5}\)\(+69\)\(^{5}\)\(+69\)\(^{0}\)\(+69\)\(^{2}\)\(+69\)\(^{2}\)\(+69\)\(^{2}\)\(+69\)\(^{5}\)\(+69\)\(^{4}\)\(+69\)\(^{1}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7560550222541~~\)(OEIS A236067)

69.22
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(69\)\(3*23\)\(4\)\(96\)
\(1,3,23,69\)
\(1000101_2\)\(105_8\)\(45_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 7 november 2024