\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende gehele getallen op drie verschillende wijzen :

\begin{cases} 66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(11)\\ 66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15+16+17+18\\ 66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21+22+23 \end{cases}

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+8+10+12+14+16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20+22+24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32+34\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;1;8)\,(0;1;4;7)\,(0;4;5;5)\,(1;2;5;6)\,(2;2;3;7)\,(3;4;4;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#6\}\)

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^0+5^1+4^2+3^3+2^4+1^5\) (opeenvolgende exponenten)

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^6+1^6+2^6\)

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{1^3+1^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;0;0;1;1;4)\,(0;0;1;1;1;1;2;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^3+2^1~~\) (cijfers van \(1\) tot \(4\))

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}eulerphi(67,134)\)

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(~x^m+y^n~\) heeft geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

66.1

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,4\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1^3+1^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-88787)^3+(-1619036)^3+1619125^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{23216104^3+28686505^3+(-33055847)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-3565583621)^3+(-4891598060)^3+5455570303^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px red dashed]{0^n+1^m+1^m+2^5+2^5}~~(n\gt0)~~(n=5,m=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

66.2

\(66^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^9][8^3]+62^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11^3+55^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}78^2-12^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}110^2-88^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}130^2-112^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}309^2-45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}366^2-360^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~1090^2-1088^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1518^2-132^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4290^2-264^3\)

\(66^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}539^2-55^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}561^2-165^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}715^2-473^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}825^2-627^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1155^2-1023^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1385^2-1277^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~\bbox[2px,border:1px brown dashed]{2211^2-2145^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2689^2-2635^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3289^2-3245^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4011^2-3975^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6545^2-6523^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7995^2-7977^2\)

66.3
\(66\) kan niet geschreven worden als verschil van twee machten \(x^m\) en \(y^n\) waarbij \(x~\&~y\gt1\) en \(m~\&~n\gt1\).
Vermoedelijk volledige lijst betreffende het verschil van twee machten → (OEIS A074981) 		66.4

\(66^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2+36^2+54^2\)

\(66^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4356\) bevat de cijfers van \(3\) tot en met \(6\)

\(66^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}31^3+33^3+35^3+37^3+39^3+41^3\) (derdemachten van opeenvolgende onpare getallen)

\(66^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}287496~~\) en \(~~28+74+96\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}198\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66*3\)

66.5
\(66\) is het \(11\)de driehoeksgetal : \(D(11) = 66\). Bovendien is \(D(66)=2211\) (twee maal dezelfde cijfers). 66.6

(multigrades) \(66\to1818\to942\to\) \begin{align} 8^1+23^1+35^1&=9^1+21^1+36^1\\ en\;&ook\\ 8^2+23^2+35^2&=9^2+21^2+36^2\\ maar\;boven&dien\;is\;ook\\ D(8)+D(23)+D(35)&=D(9)+D(21)+D(36) \end{align} Het kan nog sterker : waarbij de gelijkheid blijft als men alle exponenten van de grondtallen vervangt door
resp. \(1,2,3,4\;\&\;5\).

(multigrades) \(66\to1090\to19998\to385234\to7632966\to\) \begin{align} 5^1+6^1+16^1+17^1+22^1&=1^1+2^1+10^1+12^1+20^1+21^1\\ 5^2+6^2+16^2+17^2+22^2&=1^2+2^2+10^2+12^2+20^2+21^2\\ 5^3+6^3+16^3+17^3+22^3&=1^3+2^3+10^3+12^3+20^3+21^3\\ 5^4+6^4+16^4+17^4+22^4&=1^4+2^4+10^4+12^4+20^4+21^4\\ 5^5+6^5+16^5+17^5+22^5&=1^5+2^5+10^5+12^5+20^5+21^5 \end{align}

66.7
Er zijn vier rechthoekige driehoeken met gehele zijden en één der zijden \(66\) :
\((66;88;110),(66;112;130),(66;360;366),(66;1088;1090)\) 		66.8

\begin{align} 66*99&=6534\\ 666*999&=665334\\ 6666*9999&=66653334\\ 66666*99999&=6666533334\\ \cdots&=\cdots \end{align}

66.9

\begin{align} 66*67&=4422\\ 666*667&=444222\\ 6666*6667&=44442222\\ 66666*66667&=4444422222\\ \cdots&=\cdots \end{align}

66.10

\begin{align} 66^2-65^2&=131\\ 666^2-665^2&=1331\\ 6666^2-6665^2&=13331\\ 66666^2-66665^2&=133331\\ \cdots&=\cdots \end{align}

66.11

\begin{align} 66^2&=4356\\ 666^2&=443556\\ 6666^2&=44435556\\ 66666^2&=4444355556\\ \cdots&=\cdots \end{align}

66.12
  EEN WEETJE  

Maakt men de som van alle delers van \(66\) dan vindt men een kwadraat : \(1+2+3+6+11+22+33+66=144=12^2\).
Getallen met deze eigenschap zijn \(1,3,22,66,70,81,94,115,119,170,\ldots\) (OEIS A006532)

66.13
\(66\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) :
\(83754/1269=66\)
\(66\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) :
\(256014/3879=66\) 		66.14
Men moet \(66\) tot minimaal de \(2505\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(66\) \(66\)'s verschijnen.
Terloops : \(66\)\(^{2505}\) heeft een lengte van \(4558\) cijfers.
Om aan het juiste aantal van \(66\) te komen moet je hier wel rekening houden met overlappingen. Zo hebben we
\(61\) maal \(66\) (incl. \(66|6\)) en \(5\) maal \(6|66\) wat ons totaal op \(66\) brengt (dit fenomeen doet zich enkel voor met repdigits).
Kan jij de eerste oplossing vinden zonder overlappingen (aangrenzend zoals \(66|66\) zijn niet OK wegens \(6|66|6\) ) ?
Echter de kans om geen \(666\) tegen te komen in deze steeds grotere machten is bijzonder, bijzonder, bijzonder klein... 		66.15
\(66\) als som van twee priemgetallen die allemaal oneven blijken :

$$ 3\;primes \left[ \begin{matrix} &5&+&61\\ &7&+&59\\ &13&+&53\\ &19&+&47\\ &23&+&43\\ &29&+&37 \end{matrix} \right. $$

\(66\) als som van drie priemgetallen die bovendien allemaal verschillend zijn :

$$ 3\;dif\!ferent\;primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{61}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{59}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{53}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{47}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{41}\\ \end{matrix} \right. $$

66.16
\(66\) is – net zoals alle getallen van de vorm \({\small\text{AA}}\) – de som van twee getallen die elkaars omgekeerde zijn :
\(66\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15+51\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24+42\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33+33\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}06+60\) 		66.17

Voor \(n=66~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+4) ~~\to~~ {\large\sigma}(66)={\large\sigma}(70)=144~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(66\) is de tweede oplossing uit (OEIS A015863)

Voor \(n=66~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+28) ~~\to~~ {\large\sigma}(66)={\large\sigma}(94)=144~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(66\) is de eerste oplossing uit de reeks \(66,159,267,282,295,328,357,580,979,1111,\ldots\)

66.18

Som der reciproken van partitiegetallen van \(66\) is \(1\) op achttien wijzen

Drie partities hebben unieke termen.

\(~~(1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{66=2+3+12+21+28}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{21}}+{\Large\frac{1}{28}}\)

\(~~(2)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{66=2+4+6+18+36}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{36}}\)

\(~~(3)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{66=2+5+9+12+18+20}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{20}}\)

\((1)~~66=2+3+12+21+28\)

\((2)~~66=2+4+6+18+36\)

\((3)~~66=2+5+9+12+18+20\)

\((4)~~66=3+3+6+18+18+18\)

\((5)~~66=3+3+10+10+10+30\)

\((6)~~66=3+4+4+15+20+20\)

\((7)~~66=4+4+4+6+24+24\)

\((8)~~66=4+4+4+9+9+36\)

\((9)~~66=3+5+8+8+12+15+15\)

\((10)~~66=3+6+6+9+12+12+18\)

\((11)~~66=3+7+7+8+8+12+21\)

\((12)~~66=4+4+6+8+12+16+16\)

\((13)~~66=4+4+6+9+10+15+18\)

\((14)~~66=4+4+6+10+10+12+20~~~~\)

\((15)~~66=4+5+6+6+10+15+20\)

\((16)~~66=4+6+6+6+8+12+24\)

\((17)~~66=6+6+9+9+9+9+9+9\)

\((18)~~66=6+8+8+8+8+8+8+12\)

(OEIS A125726)

66.19

\(66\) deelt elke expressie \(~~n^{11}-n~~\) met \(n\) een geheel getal.

Bvb. \(n=7~~\) geeft \(~~7^{11}-7~~\) en \(~~1977326736/66=29959496\)

66.20

\(66\)\(^{2}\)\(+66\)\(^{5}\)\(+66\)\(^{2}\)\(+66\)\(^{4}\)\(+66\)\(^{2}\)\(+66\)\(^{3}\)\(+66\)\(^{2}\)\(+66\)\(^{3}\)\(+66\)\(^{0}\)\(+66\)\(^{5}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2524232305~~\) (OEIS A236067)

66.21

 ○–○–○ 

\(66^2=4356~~\) en \(~~4+3!+56=66\)
\(66^3=287496~~\) en \(~~-2+87-4-9-6=66\)
\(66^4=18974736~~\) en \(~~18-9+7+47-3+6=66\)
\(66^5=1252332576~~\) en \(~~1-2-5+2+3+3+2*5*7-6=66\)
\(66^6=82653950016~~\) en \(~~8-2+6+5+39+5+0+0-1+6=66\)
\(66^7=5455160701056~~\) en \(~~5+4+5-5+1+6+0-7+0+1+0+56=66\)
\(66^8=360040606269696~~\) en \(~~3-6+0+0+4+0-6+0-6+2+6+9+6+9*6=66\)
\(66^9=23762680013799936~~\) en \(~~2+3+7-6+2-6+8+0+0+13+7+9+9+9+3+6=66\)
66.22

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{66}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(837^{\large{66}}\right)=837\qquad\qquad~sdc\left(864^{\large{66}}\right)=864\qquad\qquad~sdc\left(927^{\large{66}}\right)=927\)

66.23

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(66\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(66=(6+6)*6-6\)

66.24

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad66=11*(1+1)*(1+1+1)\)
\(\qquad\qquad66=2^{(2+2+2)}+2\)
\(\qquad\qquad66=33+33\)
\(\qquad\qquad66=(4^4+4+4)/4\)
\(\qquad\qquad66=55+55/5\)
\(\qquad\qquad66=66\)
\(\qquad\qquad66=77-77/7\)
\(\qquad\qquad66=8*8+(8+8)/8\)
\(\qquad\qquad66=99*(99+9)/(9*(9+9))\)

66.25

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad66=1*2^3+4+5*6+7+8+9\)
\(\qquad\qquad66=9+8+7+6+(5+4+3)*(2+1)\)

66.26

Het omgekeerde van \(5^{66}\) is een priemgetal \(\to{52656222829317247801006139052450886065172525531}\)

Pari/GP code : isprime(fromdigits(Vecrev(digits(5^66))))\(\to1=\) true

(OEIS A058993)

66.27
Het kleinste getal dat exact \(66\) delers heeft is \(46080=2^{10}*3^2*5\). (OEIS A005179) 66.28
Als we de cijfers uit de decimale expansie van \(2\)\(^{66}\)\(=73786976294838206464\) rangschikken in stijgende orde
dan bekomen we een priemgetal \(2233444666677788899\) met lengte \(19\) zonder de voorloopnullen.
Pari/GP code : isprime(fromdigits(vecsort(digits(2^66))))
66.29

De som van de onderscheiden priemfactoren van \(66\) is een kwadraat \(2+3+11=16=4^2~~\) (OEIS A164722).

66.30

(vijf multigrades) \(66\to66^5\to\)

\begin{aligned} 66^1&=13^1-18^1-44^1+51^1+64^1\\ 66^5&=13^5-18^5-44^5+51^5+64^5\\ \\ 66^1&=-78^1-222^1+378^1+582^1-594^1\\ 66^5&=-78^5-222^5+378^5+582^5-594^5\\ \\ 66^1&=528^1+616^1-1188^1-1364^1+{\color{green}{1474}}^1\\ 66^5&=528^5+616^5-1188^5-1364^5+{\color{green}{1474}}^5\\ \\ 66^1&=-27^1-1169^1+1347^1+{\color{green}{1474}}^1-1559^1\\ 66^5&=-27^5-1169^5+1347^5+{\color{green}{1474}}^5-1559^5\\ \\ 66^1&=-519^1-779^1+1529^1+1682^1-1847^1\\ 66^5&=-519^5-779^5+1529^5+1682^5-1847^5\\ \end{aligned}

66.31

(multigrades) \(66\to1090\to19998\to385234\to7632966\to\) \begin{align} 0^1+5^1+6^1+16^1+17^1+22^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^1+2^1+10^1+12^1+20^1+21^1\\ 0^2+5^2+6^2+16^2+17^2+22^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+10^2+12^2+20^2+21^2\\ 0^3+5^3+6^3+16^3+17^3+22^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+2^3+10^3+12^3+20^3+21^3\\ 0^4+5^4+6^4+16^4+17^4+22^4&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^4+2^4+10^4+12^4+20^4+21^4\\ 0^5+5^5+6^5+16^5+17^5+22^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^5+2^5+10^5+12^5+20^5+21^5\\ \end {align}

De termen van deze pentagrade opgeteld met de termen uit de pentagrade vormen de pentagrade uit .

66.32

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{65}}^2-66*{\color{darkviolet}{8}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

66.33
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭

\(66\)\(2*3*11\)\(8\)\(144=12^2\)
\(1,2,3,6,11,22,33,66\)
\(1000010_2\)\(102_8\)\(42_{16}\)
\(D(11)=66\)  

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 4 maart 2026