$65\mathbf{=}2+3+4+5+6+7+8+9+10+11\mathbf{=}$

$11+12+13+14+15\mathbf{=}32+33$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$65=9+11+13+15+17$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$65\mathbf{=}[2^6][4^3][8^2]+1^2\mathbf{=}[2^4][4^2]+7^2$ ($65$ is het kleinste getal dat op twee wijzen als som van twee verschillende

$$kwadraten kan worden geschreven). Zie ook bij 50.5

$65=((0;0;1;8)(0;0;4;7)(0;2;5;6)(2;3;4;6))➋\to \{\mathrm{\#}4\}$

$65\mathbf{=}{0}^3+1^3+4^3\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{=}{1}^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{=}$

$((0;0;0;0;0;0;0;1;4)(0;0;0;1;1;1;2;3;3)(1;2;2;2;2;2;2;2;2))➌\to \{\mathrm{\#}3\}$

$65=5^1+4^2+3^3+2^4+1^5$

$65=\frac{13\ast 14\ast 15}{13+14+15}$ (OEIS A001082) (OEIS A032766)

$65=\frac{\sqrt{{65}^3-{65}^2}}{\lfloor \sqrt{65}\rfloor }$

$65\mathbf{=}[2^4][4^2]+7^2\mathbf{=}[3^4][9^2]-[2^4][4^2]\mathbf{=}{33}^2-[2^{10}][4^5][{32}^2]\mathbf{=}{53}^2-{14}^3$

$65\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$11$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$65\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$1^n+2^5+2^5+k^5+(-k{)}^5(n=5)\mathbf{=}$

$3^5+(-4{)}^5+7^5+7^5+(-8{)}^5\mathbf{=}(z>200)$

$$3primes[\begin{array}{cccccc}& 2& +& 2& +& 61\\ & 3& +& 3& +& 59\\ & & \mathbf{3}& +& \mathbf{19}& +& \mathbf{43}\\ & 3& +& 31& +& 31\\ & & \mathbf{5}& +& \mathbf{7}& +& \mathbf{53}\\ & & \mathbf{5}& +& \mathbf{13}& +& \mathbf{47}\\ & & \mathbf{5}& +& \mathbf{17}& +& \mathbf{43}\\ & & \mathbf{5}& +& \mathbf{19}& +& \mathbf{41}\\ & & \mathbf{5}& +& \mathbf{23}& +& \mathbf{37}\\ & & \mathbf{5}& +& \mathbf{29}& +& \mathbf{31}\\ & & \mathbf{7}& +& \mathbf{11}& +& \mathbf{47}\\ & & \mathbf{7}& +& \mathbf{17}& +& \mathbf{41}\\ & 7& +& 29& +& 29\\ & 11& +& 11& +& 43\\ & & \mathbf{11}& +& \mathbf{13}& +& \mathbf{41}\\ & & \mathbf{11}& +& \mathbf{17}& +& \mathbf{37}\\ & & \mathbf{11}& +& \mathbf{23}& +& \mathbf{31}\\ & & \mathbf{13}& +& \mathbf{23}& +& \mathbf{29}\\ & 17& +& 17& +& 31\\ & & \mathbf{17}& +& \mathbf{19}& +& \mathbf{29}\\ & 19& +& 23& +& 23\end{array}$$

Eigenschappen van $65$ en zijn omgekeerde $56$ (zie ook bij 56.3 en hieronder bij “Wetenswaard”) :

$65+56=121={11}^2$

$65-56=9=3^2$

${65}^2-{56}^2=1089={33}^2$

Zie ook het getal 621770.-- en (OEIS A035519)

${65}^1\mathbf{=}{1}^2+4^3\mathbf{=}{8}^2+1^3$ (getal dat op twee wijzen de som is van een kwadraat en een derdemacht.

$$Zie ook bij 17.3 en 89.1 )

${65}^3\mathbf{=}(2+3+4+\cdots +10+11{)}^3\mathbf{=}(11+12+13+14+15{)}^3\mathbf{=}(32+33{)}^3$ (opeenvolgende gehele getallen)

${65}^3={90}^2+{91}^2+{92}^2+{93}^2+\cdots +{114}^2+{115}^2(\mathbf{=}274625)$ (som van kwadraten van opeenvolgende getallen)

${65}^4\mathbf{=}{1}^4+8^4+{12}^4+{32}^4+{64}^4\mathbf{=}{2}^4+{39}^4+{44}^4+{46}^4+{52}^4(\mathbf{=}17850625)$

${65}^7\mathbf{=}{1414}^3+{2213459}^2$

Er zijn acht rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde $65$ is :

$(16;63;65),(25;60;65),(33;56;65),(39;52;65),(65;72;97),(65;156;169),(65;420;425),(65;2112;2113)$

Twee ervan met hypotenusa $65$ hebben zijden die relatief priem (of copriem) zijn ten opzichte van elkaar (geen

gemeenschappelijke delers $>1$) en die worden daarom “primitieve Pythagoreïsche driehoeken” genoemd.

$65$ is ook de kleinste hypotenusa van een primitieve Pythagoreïsche driehoek wiens drie zijden allemaal samengestelde

getallen zijn bvb. $(2^4;3\ast 7;5\ast 13)$ of $(3\ast 11;2\ast 7;5\ast 13)$

$$\begin{array}{rl}65\ast 65& =4225\\ 665\ast 665& =442225\\ 6665\ast 6665& =44422225\\ 66665\ast 66665& =4444222225\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

We zagen hierboven het feit dat $65$ en zijn omgekeerde zowel als som als verschil telkens kwadraten zijn.
Het volgende getal met die eigenschap is $621770$ ; we hebben
$621770+077126=698896={836}^2$
$621770-077126=544644={738}^2$
${621770}^2-{077126}^2=380649513024={616968}^2$

${65}^2\mathbf{=}[2^8][4^4][{16}^2]+{63}^2\mathbf{=}[5^4][{25}^2]+{60}^2\mathbf{=}{13}^4-{156}^2\mathbf{=}{29}^3-{142}^2\mathbf{=}{33}^2+{56}^2\mathbf{=}{39}^2+{52}^2\mathbf{=}{65}^3-{520}^2\mathbf{=}$

${97}^2-{72}^2\mathbf{=}{169}^2-{156}^2\mathbf{=}{425}^2-{420}^2\mathbf{=}{2113}^2-{2112}^2$

${65}^3\mathbf{=}{7}^2+{524}^2\mathbf{=}{26}^3+{507}^2\mathbf{=}{65}^2+{520}^2\mathbf{=}[{65}^4][{4225}^2]-{260}^3\mathbf{=}{140}^2+{505}^2\mathbf{=}{191}^2+{488}^2\mathbf{=}{208}^2+{481}^2\mathbf{=}$

${260}^2+{455}^2\mathbf{=}{320}^2+{415}^2\mathbf{=}{364}^2+{377}^2\mathbf{=}{525}^2-{10}^3\mathbf{=}{585}^2-{260}^2\mathbf{=}{671}^2-{56}^3\mathbf{=}{897}^2-{728}^2\mathbf{=}$

${1014}^2-{91}^3\mathbf{=}{1161}^2-{1036}^2\mathbf{=}{1183}^2-{104}^3\mathbf{=}{2145}^2-{2080}^2\mathbf{=}{5505}^2-{5480}^2$

De eerste keer dat er $65$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $162143$
en $162209$ met aldus een priemkloof van $66.$ (OEIS A000101.pdf)

$5$${}^{65}$$=2710505431213761085018632002174854278564453125$ is de hoogst gekende macht van $5$ waarbij geen

cijfer $9$ voorkomt in de decimale expansie.

Voor $n=65$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+18)\to \sigma (65)=\sigma (83)=84(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$65$ is de derde oplossing uit de reeks $40,60,65,235,248,350,395,410,465,546,552,609,649,781,1909,\dots$

$65$ is het eerste samengestelde getal ($5\ast 13$) van de vorm $n^2+1$ met $n$ een even (of paar) getal. Hier is $n=8$.

$\begin{array}{r}65\mathbf{=}{\left(\frac{1}{1}\right)}^3+{\left(\frac{4}{1}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{88}{21}\right)}^3-{\left(\frac{43}{21}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{191}{39}\right)}^3-{\left(\frac{146}{39}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{197}{86}\right)}^3+{\left(\frac{323}{86}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Som der reciproken van partitiegetallen van $65$ is $1$ op negentien wijzen

Eén partitie heeft unieke termen.

$(4)65=2+6+8+10+15+24$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}$

(OEIS A125726)

$65$${}^2$$+65$${}^1$$+65$${}^0$$+65$${}^3$$+65$${}^0$$+65$${}^8$$+65$${}^6$$+65$${}^1$$+65$${}^6$$+65$${}^6$$+65$${}^5$$+65$${}^0$$+65$${}^5$$+65$${}^4$$+65$${}^6$$+65$${}^0$$+65$${}^9$$\mathbf{=}21030861665054609$
(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{65}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({818}^{65}\right)=818sdc\left({856}^{65}\right)=856sdc\left({891}^{65}\right)=891$

$sdc\left({928}^{65}\right)=928$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $65$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$65=(6+6)\ast 5+5$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$65=(1+1{)}^{((1+1)\ast (1+1+1))}+1$
$65=2^{(2+2+2)}+2/2$
$65=(3+3/3{)}^3+3/3$
$65=(4^4+4)/4$
$65=55+5+5$
$65=66-6/6$
$65=77-(77+7)/7$
$65=8\ast 8+8/8$
$65=9\ast 9-9-9+(9+9)/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$65=12+3+4\ast 5+6+7+8+9$
$65=9+8+7+6\ast 5+4+3\ast 2+1$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$