Allemaal Getallen Index 0065

$65\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+4+5+6+7+8+9+10+11\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,11+12+13+14+15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32+33$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$65=9+11+13+15+17$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$65\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{lightgrey}{[2^6][4^3]}}[8^2]+1^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2+7^2~~$ ($65$ is het kleinste getal dat op twee wijzen als som van twee verschillende

$\qquad\;\,$kwadraten kan worden geschreven). Zie ook bij

$65=((0;0;1;8)\,(0;0;4;7)\,(0;2;5;6)\,(2;3;4;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}$

$65\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{0^3+1^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,((0;0;0;0;0;0;0;1;4)\,(0;0;0;1;1;1;2;3;3)\,(1;2;2;2;2;2;2;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}$

$65=5^1+4^2+3^3+2^4+1^5$

$65={\Large\frac{13\;*\;14\;*\;15}{13~+~14~+~15}}$

$65\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^4][4^2]+7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]-[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{33^2-[2^{10}][4^5][32^2]}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}53^2-14^3$

65.1

$65\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van drie derdemachten)

$\qquad\;\,11$ oplossingen bekend

$\qquad\;\,$References Sum of Three Cubes

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{0^3+1^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{85^3+91^3+(-111)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{364^3+730^3+(-759)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-348)^3+(-770)^3+793^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{403^3+903^3+(-929)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-776)^3+(-12480)^3+12481^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{12460^3+24193^3+(-25248)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-28691)^3+(-43629)^3+47425^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8698195239)^3+(-60198125540)^3+60258598894^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-13404010267856)^3+(-19550144424636)^3+21458176760833^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{161093193374841^3+479320488954388^3+(-485310700045562)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$65\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van vijf vijfdemachten)

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{1^n+2^5+2^5+k^5+(-k)^5}~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{3^5+(-4)^5+7^5+7^5+(-8)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)$

65.2

Een $5*5$ magisch vierkant (magisch vierkant van orde $5$) met de getallen van $1$ tot en met $25$ heeft als rij- en kolomsommen $65$. Zie ook bij en
Er zijn $275305224$ verschillende magische vierkanten van orde $5$. Zie ook (OEIS A006052).
Eén ervan is het volgende :

$2$	$23$	$25$	$7$	$8$
$4$	$16$	$9$	$14$	$22$
$21$	$11$	$13$	$15$	$5$
$20$	$12$	$17$	$10$	$6$
$18$	$3$	$1$	$19$	$24$

65.3

$65$ als som van drie priemgetallen.
Zeven van de eenentwintig sommen hebben gelijke priemgetallen : $$ 3\;primes \left[\begin{matrix} &2&+&2&+&61\\ &3&+&3&+&59\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{43}\\ &3&+&31&+&31\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{41}\\ &7&+&29&+&29\\ &11&+&11&+&43\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{29}\\ &17&+&17&+&31\\ &&\mathbf{17}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{29}\\ &19&+&23&+&23 \end{matrix} \right. $$

65.4

Eigenschappen van $65$ en zijn omgekeerde $56$ (zie ook bij en hieronder bij “Wetenswaard”) :

$65+56=121=11^2$

$65-56=9=3^2$

$65^2-56^2=1089=33^2$

Zie ook het getal en (OEIS A035519)

65.5

Zelfde cijfers links en rechts van het gelijkheidsteken : $65*704=45760$

65.6

$\underline{65}^7=4902227890625~~$ en $~~4+9+0+2+2+2+7+8+9+0+6+2+5=\mathbf{56}$
$\mathbf{56}^7=1727094849536~~$ en $~~1+7+2+7+0+9+4+8+4+9+5+3+6=\underline{65}$

65.7

$65^1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^2+1^3$ (getal dat op twee wijzen de som is van een kwadraat en een derdemacht.

$\qquad\;\;\,$Zie ook bij en )

$65^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2+3+4+\cdots+10+11)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(11+12+13+14+15)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(32+33)^3$ (opeenvolgende gehele getallen)

$65^3=90^2+91^2+92^2+93^2+\cdots+114^2+115^2\;(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}274625)$ (som van kwadraten van opeenvolgende getallen)

$65^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^4+8^4+12^4+32^4+64^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4+39^4+44^4+46^4+52^4\;(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17850625)$

$65^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1414^3+2213459^2$

65.8

$\require{cancel}{\Large{{\frac{\cancel{\color{red}{6}}\!5}{\;2\!\cancel{\color{red}{6}}}}}}=65/26=5/2~~$ (ongeoorloofd “vereenvoudigen” door schrapping - zie bij ).

65.9

Er zijn acht rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde $65$ is :

${\color{purple}{(16;63;65)}},(25;60;65),({\color{purple}{33;56;65)}},(39;52;65),(65;72;97),(65;156;169),(65;420;425),(65;2112;2113)$

Twee ervan met hypotenusa $65$ hebben zijden die relatief priem (of copriem) zijn ten opzichte van elkaar (geen

gemeenschappelijke delers $\gt1$) en die worden daarom “primitieve Pythagoreïsche driehoeken” genoemd.

$65$ is ook de kleinste hypotenusa van een primitieve Pythagoreïsche driehoek wiens drie zijden allemaal samengestelde

getallen zijn bvb. $(2^4;3*7;5*13)~$ of $~(3*11;2*7;5*13)$

65.10

\begin{align} 65*65&=4225\\ 665*665&=442225\\ 6665*6665&=44422225\\ 66665*66665&=4444222225\\ \cdots&=\cdots \end{align}

65.11

WETENSWAARD

We zagen hierboven het feit dat $65$ en zijn omgekeerde zowel als som als verschil telkens kwadraten zijn.
Het volgende getal met die eigenschap is $621770$ ; we hebben
$621770+077126=698896=836^2$
$621770-077126=544644=738^2$
$621770^2-077126^2=380649513024=616968^2$

65.12

$65$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $1$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($geen$ oplossingen) :

$65$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $0$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($10$ oplossingen) :
$164970/2538=251940/3876=254670/3918=268905/4137=293670/4518=$ $408135/6279=453180/6972=468195/7203=513240/7896=532740/8196=65$

65.13

Men moet $65$ tot minimaal de $2797$ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact $65$ $65$'s verschijnen.
Noteer, voor wat het waard is, dat $2797$ een priemgetal is. Terloops : $65$$^{2797}$ heeft een lengte van $5071$ cijfers.

65.14

$65^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]+63^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[5^4][25^2]+60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^4-156^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29^3-142^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33^2+56^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}39^2+52^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65^3-520^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad~~~97^2-72^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}169^2-156^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}425^2-420^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2113^2-2112^2$

$65^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2+524^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26^3+507^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65^2+520^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[65^4][4225^2]-260^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}140^2+505^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}191^2+488^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}208^2+481^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad~~~260^2+455^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}320^2+415^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}364^2+377^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}525^2-10^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}585^2-260^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}671^2-56^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}897^2-728^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad~~~1014^2-91^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1161^2-1036^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1183^2-104^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{2145^2-2080^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5505^2-5480^2$

65.15

De eerste keer dat er $65$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $162143$
en $162209$ met aldus een priemkloof van $66\,.~~$ (OEIS A000101.pdf)

65.16

$5$$^{65}$$~=~2710505431213761085018632002174854278564453125$ is de hoogst gekende macht van $5$ waarbij geen

cijfer $9$ voorkomt in de decimale expansie.

65.17

Voor $n=65~~$ geldt $~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+18) ~~\to~~ {\large\sigma}(65)={\large\sigma}(83)=84~~~~({\large\sigma}$ of 'sigma' staat voor som der delers)

$65$ is de derde oplossing uit de reeks $40,60,65,235,248,350,395,410,465,546,552,609,649,781,1909,\ldots$

65.18

$65~$ is het eerste samengestelde getal ($5*13$) van de vorm $n^2+1$ met $n$ een even (of paar) getal. Hier is $n=8$.

65.19

$\begin{align}65\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{1}{1}}\right)^3+\left({\frac{4}{1}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{88}{21}}\right)^3-\left({\frac{43}{21}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{191}{39}}\right)^3-\left({\frac{146}{39}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{197}{86}}\right)^3+\left({\frac{323}{86}}\right)^3\end{align}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n~\to~$ [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $~\to~$ [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)

65.20

Som der reciproken van partitiegetallen van $65$ is $1$ op negentien wijzen

Eén partitie heeft unieke termen.

$\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{65=2+6+8+10+15+24}~~$ en $~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{24}}$

$(1)~~65=2+3+12+24+24$

$(2)~~65=2+3+15+15+30$

$(3)~~65=3+3+5+9+45$

$(4)~~65=2+6+8+10+15+24$

$(5)~~65=3+3+8+9+18+24$

$(6)~~65=3+4+4+18+18+18$

$(7)~~65=3+5+9+9+9+15+15$

$(8)~~65=3+5+9+10+10+10+18~~~~$

$(9)~~65=3+6+6+10+10+15+15$

$(10)~~65=3+6+7+7+14+14+14$

$(11)~~65=3+6+8+8+8+16+16$

$(12)~~65=3+6+8+8+10+10+20$

$(13)~~65=3+7+7+7+9+14+18$

$(14)~~65=3+7+7+9+9+9+21$

$(15)~~65=4+4+6+9+12+12+18$

$(16)~~65=4+5+6+6+12+12+20$

$(17)~~65=5+5+5+5+15+15+15$

$(18)~~65=5+5+5+7+7+15+21$

$(19)~~65=6+8+8+8+8+9+9+9$

(OEIS A125726)

65.21

$65$$^{2}$$+65$$^{1}$$+65$$^{0}$$+65$$^{3}$$+65$$^{0}$$+65$$^{8}$$+65$$^{6}$$+65$$^{1}$$+65$$^{6}$$+65$$^{6}$$+65$$^{5}$$+65$$^{0}$$+65$$^{5}$$+65$$^{4}$$+65$$^{6}$$+65$$^{0}$$+65$$^{9}$$\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21030861665054609~~$
(OEIS A236067)

65.22

Schakelaar
$\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]$
“Allemaal Getallen”

$\Huge\bbox[border:0]{⏮}$

$\Huge\bbox[border:0]{⯬}$

$\Huge\bbox[border:0]{⏴}$

$\Huge\bbox[border:0]{⏵}$

$\Huge\bbox[border:0]{⯮}$

$\Huge\bbox[border:0]{⏭}$

$65$	$5*13$	$4$	$84$
	$1,5,13,65$
	$1000001_2$	$101_8$	$41_{16}$

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 7 november 2024

\(65\)	\(5*13\)	\(4\)	\(84\)
	\(1,5,13,65\)
	\(1000001_2\)	\(101_8\)	\(41_{16}\)

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR