$64=2^6\to$ Machten van $2$ kunnen niet geschreven worden als som van opeenvolgende gehele getallen

$64\mathbf{=}1+3+5+7+9+11+13+15\mathbf{=}13+15+17+19\mathbf{=}31+33$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$64\mathbf{=}15+21+28\mathbf{=}28+36\mathbf{=}D(5)+D(6)+D(7)\mathbf{=}D(7)+D(8)$
$$Dus $64$ is op twee wijzen de som van opeenvolgende driehoeksgetallen.

$64=((0;0;0;8)(4;4;4;4))➋\to \{\mathrm{\#}2\}$

$64=1^2+2^2+(3^2+3^2)+4^2+5^2$

$64=1\ast 2\ast 3\ast 4+2\ast 3\ast 4+3\ast 4+4$

$64\mathbf{=}{8}^2\mathbf{=}{4}^3\mathbf{=}{2}^6$ (het eerste getal met deze eigenschap na het onvermijdelijke getal $1$)

$64\to$ kan op verschillende wijzen geschreven worden als som van kwadraten:

$1^2+3^2+3^2+3^2+3^2+3^2+3^2+3^2=$

$2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2$

$$ men kan eventueel machten groeperen, bvb. $2^2+2^2+2^2+2^2=4^2$ of $2^2+2^2=2^3$

$\sqrt{64}=6+\sqrt{4}$

$64=\sqrt{4^6}=(\sqrt{4}{)}^6$

$64\mathbf{=}{8}^2\mathbf{=}\frac{9!-8!}{7!}$ (combinatie van opeenvolgende faculteiten) $\mathbf{=}\frac{12!}{6!\ast 11!!}$

$64\mathbf{=}{0}^3+0^3+4^3\mathbf{=}{1}^3+1^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{=}{2}^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{=}$

$((0;0;0;0;0;0;0;0;4)(0;0;0;0;1;1;2;3;3)(0;2;2;2;2;2;2;2;2))➌\to \{\mathrm{\#}3\}$

$64\mathbf{=}{2}^5+2^5\mathbf{=}{2}^7-[2^6][4^3][8^2]\mathbf{=}{10}^2-6^2\mathbf{=}{17}^2-{15}^2\mathbf{=}{24}^2-[2^9][8^3]$

$64\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$$Er zijn heel veel mogelijke oplossingen voor $2^6$ ! Cfr. machten $2^3,2^4,3^3,\dots$

$$References Sum of Three Cubes

$$Vertegenwoordigt n het product van een kubusgetal $k^3$ en een getal $m$, dan erft dit getal $n$ alle oplossingen

$$van het getal $m$ op de volgende manier:

$m=x^3+y^3+z^3\to n=k^{3}m=k^3(x^3+y^3+z^3)\to n=k^{3}m=(kx{)}^3+(ky{)}^3+(kz{)}^3$

$64\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$0^n+2^5+2^5+k^5+(-k{)}^5(n>0)(n=5)\mathbf{=}$

${16}^5+{22}^5+{29}^5+{35}^5+(-38{)}^5\mathbf{=}(z>200)\to$ Noteer dat $16+22+29+35-38=64$

${19}^5+(-101{)}^5+{149}^5+{253}^5+(-256{)}^5\to$ Noteer dat $19-101+149+253-256\mathbf{=}64$

$$2primesallodd[\begin{array}{cccc}& 3& +& 61\\ & 5& +& 59\\ & 11& +& 53\\ & 17& +& 47\\ & 23& +& 41\end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{ccccccc}& & \mathbf{2}& +& \mathbf{3}& +& \mathbf{59}\\ & & \mathbf{2}& +& \mathbf{19}& +& \mathbf{43}\\ & 2& +& 31& +& 31\end{array}$$

$64\to 1364\to 32704$ $$\begin{array}{rl}{3}^1+{15}^1+{17}^1+{29}^1& =5^1+9^1+{23}^1+{27}^1\\ 3^2+{15}^2+{17}^2+{29}^2& =5^2+9^2+{23}^2+{27}^2\\ 3^3+{15}^3+{17}^3+{29}^3& =5^3+9^3+{23}^3+{27}^3\end{array}$$

 ○–○–○ 

$Opgave$
Het verhaal gaat dat de uitvinder van het schaakspel bij de sjah ontboden werd om een beloning te krijgen
voor zijn uitvinding. De sjah wou hem om het even wat toestaan en de man zei simpelweg : Hoogheid, geef
mij één graankorrel voor het eerste vakje van het schaakbord en telkens het dubbele voor de volgende vakjes,
dus $2$ korrels voor vakje $2$, $4$ korrels voor vakje $3$, $8$ voor vakje $4$ enzovoort tot het $64$ste vakje.
$Oplossing$
De sjah dacht er vanaf te komen met een paar zakken graan, tot zijn vizier de rekening maakte
en tot de vaststelling kwam dat het om een gigantische hoeveelheid graan ging, meer dan op de ganse aarde
beschikbaar is. Inderdaad, op het $64$ste vakje komen $2$${}^{63}$ korrels, hetzij $9223372036854775808$ stuks. Op alle
$64$ vakjes samen komen er $2$${}^{64}$$-1=18446744073709551615$ graankorrels, dat zijn er ruim $18$ triljoen.
De sjah kon natuurlijk niet voldoen aan het verzoek van de uitvinder. Waarschijnlijk (want het is een sprookje)
heeft de man in ruil de hand van de dochter van de sjah gekregen en leefden beiden nog lang en gelukkig$\dots$

$64=2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2$ en dus is $64$ het kleinste getal met zes priemfactoren. Het
volgende getal is $96=2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 3$. Het getal $128=2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2$ is het kleinste
getal met zeven priemfactoren. Verder omvat dit lijstje $144(=2^4\ast 3^2)$ en met zeven priemfactoren is
$192(=2^6\ast 3)$ het volgende in de rij.

Het klopt dat ZERO = $64$.
Vervang de letters in ZERO door hun plaats in het alfabet $(A=1,\dots ,Z=26)$ en tel op.
Er komt dan dat ZERO = $26+5+18+15=64$

${64}^2\mathbf{=}{2}^{11}+2^{11}\mathbf{=}{2}^{13}-[2^{12}][4^6][8^4][{16}^3][{64}^2]\mathbf{=}{80}^2-{48}^2\mathbf{=}{136}^2-{120}^2\mathbf{=}{192}^2-[2^{15}][8^5][{32}^3]\mathbf{=}{260}^2-{252}^2\mathbf{=}$

${514}^2-{510}^2\mathbf{=}{1025}^2-{1023}^2$

${64}^3\mathbf{=}{2}^{17}+2^{17}\mathbf{=}{2}^{19}-[2^{18}][4^9][8^6]({64}^3][{512}^2]\mathbf{=}{640}^2-{384}^2\mathbf{=}{1088}^2-{960}^2\mathbf{=}{1536}^2-[8^7][{128}^3]\mathbf{=}$

${2080}^2-{2016}^2\mathbf{=}{4112}^2-{4080}^2\mathbf{=}{8200}^2-{8184}^2$

$6$${}^{64}$$=63340286662973277706162286946811886609896461828096$ is de hoogst gekende macht van $6$ waarbij geen

cijfer $5$ voorkomt in de decimale expansie.

$64!!-1$ is een priemgetal van $46$ cijfers lang ($1130138339\dots 9359999999$). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit)

Pari/GP code : isprime(prod(i=1,64/2,2*i)-1)  → 1 (true)

$64+65+66+67+68+69+70+71+72=73+74+75+76+77+78+79+80=612$

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals $k=64=8^2$. De linkersom heeft $\sqrt{k}+1$ termen en de rechtersom $\sqrt{k}$.

(OEIS A059270)

Som der reciproken van partitiegetallen van $64$ is $1$ op tweeëentwintig wijzen

Vier partities hebben unieke termen.

$(1)64=2+4+8+10+40$en$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{40}$

$(4)64=2+5+10+12+15+20$en$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}$

$(8)64=3+4+5+8+20+24$en$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{20}+\frac{1}{24}$

$(9)64=3+4+5+10+12+30$en$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}$

(OEISA125726)

$64$${}^3$$+64$${}^6$$+64$${}^6$$+64$${}^0$$+64$${}^9$$+64$${}^4$$+64$${}^7$$+64$${}^8$$+64$${}^7$$+64$${}^7$$+64$${}^8$$+64$${}^9$$+64$${}^4$$+64$${}^5$$+64$${}^5$$+64$${}^3$$+64$${}^7$$\mathbf{=}36609478778945537$
(OEISA236067)