\(64=2^6\to\) Machten van \(2\) kunnen niet geschreven worden als som van opeenvolgende gehele getallen

\(64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+5+7+9+11+13+15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+15+17+19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}31+33\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15+21+28\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28+36\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(5)+D(6)+D(7)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(7)+D(8)\)
\(\qquad\;\,\)Dus \(64\) is op twee wijzen de som van opeenvolgende driehoeksgetallen.

\(64=((0;0;0;8)\,(4;4;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)

\(64=1^2+2^2+(3^2+3^2)+4^2+5^2\)

\(64=1*2*3*4+2*3*4+3*4+4\)

\(64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^6~~\) (het eerste getal met deze eigenschap na het onvermijdelijke getal \(1\))

\(64\to\) kan op verschillende wijzen geschreven worden als som van kwadraten :

\(\qquad\;\,1^2+3^2+3^2+3^2+3^2+3^2+3^2+3^2=\)

\(\qquad\;\,2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2\)

\(\qquad\;\,\)men kan eventueel machten groeperen, bvb. \(\quad2^2+2^2+2^2+2^2=4^2\quad\) of \(\quad2^2+2^2=2^3\)

\(\sqrt{64}=6+\sqrt4\)

\(64=\sqrt{4^6}=(\sqrt4)^6\)

\(64=8^2={\Large\frac{9!\,-\,8!}{7!}}\) (combinatie van opeenvolgende faculteiten)

\(64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{0^3+0^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;0;0;0;0;0;4)\,(0;0;0;0;1;1;2;3;3)\,(0;2;2;2;2;2;2;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\)

\(64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5+2^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7-[2^6][4^3][8^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2-6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17^2-15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^2-[2^9][8^3]\)

64.1

\(64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,\)Er zijn heel veel mogelijke oplossingen voor \(2^6\) ! Cfr. machten \(2^3, 2^4, 3^3, \ldots\)

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4^3+k^3+(-k)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-3)^3+(-5)^3+6^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-17)^3+(-22)^3+25^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{18^3+30^3+(-32)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-24)^3+(-32)^3+36^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{36^3+40^3+(-48)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{30^3+66^3+(-68)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-34)^3+(-80)^3+82^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{67^3+101^3+(-110)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{41^3+151^3+(-152)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{82^3+172^3+(-178)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-57)^3+(-248)^3+249^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{190^3+212^3+(-254)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{166^3+282^3+(-300)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{282^3+337^3+(-393)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{256^3+376^3+(-412)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-303)^3+(-482)^3+519^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-284)^3+(-552)^3+576^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{292^3+576^3+(-600)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{151^3+617^3+(-620)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-540)^3+(-552)^3+688^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{504^3+690^3+(-770)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{571^3+669^3+(-786)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{519^3+814^3+(-879)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{330^3+918^3+(-932)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{540^3+940^3+(-996)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{249^3+1012^3+(-1017)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{345^3+1110^3+(-1121)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-963)^3+(-972)^3+1219^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{479^3+1198^3+(-1223)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-383)^3+(-1438)^3+1447^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1219^3+1224^3+(-1539)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{940^3+1650^3+(-1746)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1329)^3+(-1607)^3+1866^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1418)^3+(-1587)^3+1899^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1336^3+1752^3+(-1980)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1028)^3+(-1894)^3+1990^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1488)^3+(-1704)^3+2020^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1704)^3+(-1944)^3+2308^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{918^3+2586^3+(-2624)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-968)^3+(-2880)^3+2916^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{976^3+2916^3+(-2952)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2198)^3+(-2555)^3+3011^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{311^3+3166^3+(-3167)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1269)^3+(-3155)^3+3222^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2264)^3+(-3292)^3+3616^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1957^3+3603^3+(-3786)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2482^3+3616^3+(-3970)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2742^3+3480^3+(-3974)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-3164)^3+(-3248)^3+4040^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2345)^3+(-3927)^3+4188^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-944)^3+(-4828)^3+4840^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{3222^3+4378^3+(-4896)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1202)^3+(-5662)^3+5680^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-3974)^3+(-5052)^3+5766^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{3538^3+5342^3+(-5816)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4510^3+4754^3+(-5840)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1472^3+6148^3+(-6176)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4581^3+5706^3+(-6557)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4417^3+5852^3+(-6593)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4378^3+5958^3+(-6660)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4132^3+6952^3+(-7408)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4040^3+7588^3+(-7952)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2219)^3+(-7965)^3+8022^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2818^3+8032^3+(-8146)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2815^3+8129^3+(-8240)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4002^3+7932^3+(-8258)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1206^3+8545^3+(-8553)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-2300)^3+(-9168)^3+9216^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2308^3+9216^3+(-9264)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-4635)^3+(-10688)^3+10971^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-3043)^3+(-11006)^3+11083^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-5669)^3+(-10690)^3+11197^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-7752)^3+(-11280)^3+12388^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{10342^3+10490^3+(-13124)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-10704)^3+(-12920)^3+15012^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-3279)^3+(-15462)^3+15511^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8619)^3+(-15629)^3+16458^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{12388^3+14072^3+(-16736)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{13546^3+14326^3+(-17572)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{15012^3+18112^3+(-21048)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{10392^3+20578^3+(-21426)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8755)^3+(-21797)^3+22258^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-4496)^3+(-22440)^3+22500^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4504^3+22500^3+(-22560)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-16594)^3+(-20606)^3+23704^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-8784)^3+(-23936)^3+24324^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{10971^3+25276^3+(-25947)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-7772)^3+(-26808)^3+27024^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{13722^3+26448^3+(-27626)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{12469^3+29283^3+(-30018)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1473)^3+(-32639)^3+32640^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{16332^3+33372^3+(-34628)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-7404)^3+(-34700)^3+34812^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-25850)^3+(-29272)^3+34858^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-17942)^3+(-33795)^3+35403^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-20894)^3+(-34434)^3+36828^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{23424^3+36144^3+(-39164)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-21282)^3+(-37616)^3+39762^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{15948^3+38940^3+(-39812)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-17406)^3+(-39612)^3+40702^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{14730^3+41766^3+(-42368)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-20894)^3+(-44085)^3+45597^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-28962)^3+(-42152)^3+46290^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-7772)^3+(-46584)^3+46656^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{7780^3+46656^3+(-46728)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{24190^3+44536^3+(-46798)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-35600)^3+(-40194)^3+47922^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{18589^3+48744^3+(-49629)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-30704)^3+(-47612)^3+51536^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,(z\gt50000)\)

\(\qquad\;\,\)Vertegenwoordigt n het product van een kubusgetal \(k^3\) en een getal \(m\), dan erft dit getal \(n\) alle oplossingen

\(\qquad\;\,\)van het getal \(m\) op de volgende manier:

\(\qquad\;\, m=x^3+y^3+z^3~~\to~~ n=k^3m=k^3(x^3+y^3+z^3)~~\to~~n=k^3m=(kx)^3+(ky)^3+(kz)^3\)

\(64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{0^n+2^5+2^5+k^5+(-k)^5}~~(n\gt0)~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{16^5+22^5+29^5+35^5+(-38)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\to~~\)Noteer dat \(~~16+22+29+35-38=64\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{19^5+(-101)^5+149^5+253^5+(-256)^5}\to~~\)Noteer dat\(~~19-101+149+253-256\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}64\)

64.2
\(64\) als som van twee oneven priemgetallen :

$$ 2~primes~all~odd \left[ \begin{matrix} &3&+&61\\ &5&+&59\\ &11&+&53\\ &17&+&47\\ &23&+&41 \end{matrix} \right. $$

\(64\) als som van drie priemgetallen waarvan twee met verschillende priemgetallen :

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{43}\\ &2&+&31&+&31 \end{matrix} \right. $$

64.3
\(\require{cancel}{\Large{{\frac{\cancel{\color{red}{6}}\!4}{\;1\!\cancel{\color{red}{6}}}}}}=64/16=4/1\;(=4)~~\) door schrappen van de gemeenschappelijke \(6\) in teller en noemer. Deze, in het algemeen
niet correcte manier om breuken te vereenvoudigen, levert hier bij uitzondering wel een juist resultaat.
Dit “truukje” gaat ook op voor : \({\Large{\frac{65}{26}}}=5/2\enspace;\enspace{\Large{\frac{95}{19}}}=5/1\enspace\) en \(\enspace{\Large{\frac{98}{49}}}=8/4\enspace\) en hun reciproken. 		64.4
\(64*926=59264\) vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal zitten vervat in het product als substrings :
\(592{\color{blue}{64}}\) en \(5{\color{blue}{926}}4\) 		64.5
Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(64=(7+7)+(7-7)+(7*7)+(7/7)\)
\(64=(12+3)+(12-3)+(12*3)+(12/3)\)
\(64=(16+1)+(16-1)+(16*1)+(16/1)\) 		64.6
\(64\) geschreven met de cijfers van \(0\) tot \(9\) : \(\qquad64=3+{\Large{56\over2}}+{\Large{80\over4}}+\Large{91\over7}\) 64.7
\(64\to1364\to32704\) \begin{align} 3^1+15^1+17^1+29^1&=5^1+9^1+23^1+27^1\\ 3^2+15^2+17^2+29^2&=5^2+9^2+23^2+27^2\\ 3^3+15^3+17^3+29^3&=5^3+9^3+23^3+27^3 \end{align} 64.8
\(64^5=1073741824\enspace\) en \(\enspace10+7+3+7+4+1+8+24=\underline{64}\)
\(64^6=68719476736\enspace\) en \(\enspace6+8+7+1+9+4+7+6+7+3+6=\underline{64}\) 		64.9
\(64^7=4398046511104\enspace\) en \(\enspace4+3+9+8+0+4+6+5+1+1+1+0+4={\mathbf{46}}\)
\({\mathbf{46}}^6=9474296896\enspace\) en \(\enspace9+4+7+4+2+9+6+8+9+6=\underline{64}\) 		64.10
\(64^8=281474976710656\enspace\) en \(\enspace2+8+1+4+7+4+9+7+6+7+1+0+6+5+6={\mathbf{73}}\)
\({\mathbf{73}}^8=806460091894081\enspace\) en \(\enspace8+0+6+4+6+0+0+9+1+8+9+4+0+8+1=\underline{64}\) 		64.11
Er zijn vijf rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde \(64\) is:
\((48;64;80),(64;120;136),(64;252;260),(64;510;514),(64;1023;1025)\) 		64.12
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Het verhaal gaat dat de uitvinder van het schaakspel bij de sjah ontboden werd om een beloning te krijgen
voor zijn uitvinding. De sjah wou hem om het even wat toestaan en de man zei simpelweg : Hoogheid, geef
mij één graankorrel voor het eerste vakje van het schaakbord en telkens het dubbele voor de volgende vakjes,
dus \(2\) korrels voor vakje \(2\), \(4\) korrels voor vakje \(3\), \(8\) voor vakje \(4\) enzovoort tot het \(64\)ste vakje.
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
De sjah dacht er van af te komen met een paar zakken graan, tot zijn vizier de rekening maakte
en tot de vaststelling kwam dat het om een gigantische hoeveelheid graan ging, meer dan op de ganse aarde
beschikbaar is. Inderdaad, op het \(64\)ste vakje komen \(2\)\(^{63}\) korrels, hetzij \(9223372036854775808\) stuks. Op alle
\(64\) vakjes samen komen er \(2\)\(^{64}\)\(-1=18446744073709551615\) graankorrels, dat zijn er ruim \(18\) triljoen.
De sjah kon natuurlijk niet voldoen aan het verzoek van de uitvinder. Waarschijnlijk (want het is een sprookje)
heeft de man in ruil de hand van de dochter van de sjah gekregen en leefden beiden nog lang en gelukkig \(\ldots\)

64.13
  EEN WEETJE  

\(64=2*2*2*2*2*2\) en dus is \(64\) het kleinste getal met zes priemfactoren. Het
volgende getal is \(96=2*2*2*2*2*3\). Het getal \(128=2*2*2*2*2*2*2\) is het kleinste
getal met zeven priemfactoren. Verder omvat dit lijstje \(144\;(=2^4*3^2)\) en met zeven priemfactoren is
\(192\;(=2^6*3)\) het volgende in de rij.

64.14
  EIGENAARDIG  

Het klopt dat ZERO = \(64\).
Vervang de letters in ZERO door hun plaats in het alfabet \((A=1,\;\ldots,\;Z=26)\) en tel op.
Er komt dan dat ZERO = \(26+5+18+15=64\)

64.15
\(64\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(geen\) oplossingen) :
\(64\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) :
\(372096/5814=64\) 		64.16
Men moet \(64\) tot minimaal de \(2719\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(64\) \(64\)'s verschijnen.
Noteer, voor wat het waard is, dat \(2719\) een priemgetal is. Terloops : \(64\)\(^{2719}\) heeft een lengte van \(4912\) cijfers. 		64.17

\(64^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{11}+2^{11}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{13}-[2^{12}][4^6][8^4][16^3][64^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}80^2-48^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}136^2-120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}192^2-[2^{15}][8^5][32^3]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}260^2-252^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~514^2-510^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1025^2-1023^2\)

\(64^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{17}+2^{17}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{19}-[2^{18}][4^9][8^6](64^3][512^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}640^2-384^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1088^2-960^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1536^2-[8^7][128^3]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~\bbox[2px,border:1px brown dashed]{2080^2-2016^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4112^2-4080^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8200^2-8184^2\)

64.18
\(64\) is het kleinste getal met exact \(7\) delers die bovendien niets anders zijn dan machten van \(2\) : \(2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,2^6\) 64.19

\(6\)\(^{64}\)\(~=~63340286662973277706162286946811886609896461828096\) is de hoogst gekende macht van \(6\) waarbij geen

cijfer \(5\) voorkomt in de decimale expansie.

64.20

\(64!!-1~~\)is een priemgetal van \(46\) cijfers lang (\(1130138339\ldots9359999999\)). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit)

Pari/GP code : isprime(prod(i=1,64/2,2*i)-1)  → 1 (true)

64.21

\({\color{blue}{64}}+65+66+67+68+69+70+71+72=73+74+75+76+77+78+79+80={\color{tomato}{612}}\)

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals \(k=64=8^2\). De linkersom heeft \(\sqrt{k}+1\) termen en de rechtersom \(\sqrt{k}\).

(OEIS A059270)

64.22

Som der reciproken van partitiegetallen van \(64\) is \(1\) op tweeëentwintig wijzen

Vier partities hebben unieke termen.

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{64=2+4+8+10+40}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{40}}\)

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{64=2+5+10+12+15+20}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{20}}\)

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{64=3+4+5+8+20+24}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{24}}\)

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{64=3+4+5+10+12+30}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{30}}\)

\((1)~~64=2+4+8+10+40\)

\((2)~~64=3+3+4+18+36\)

\((3)~~64=2+5+9+15+15+18\)

\((4)~~64=2+5+10+12+15+20\)

\((5)~~64=2+6+7+14+14+21\)

\((6)~~64=2+6+8+12+12+24\)

\((7)~~64=2+7+7+9+18+21\)

\((8)~~64=3+4+5+8+20+24\)

\((9)~~64=3+4+5+10+12+30\)

\((10)~~64=3+5+5+6+15+30\)

\((11)~~64=3+6+6+10+12+12+15\)

\((12)~~64=3+6+8+8+9+12+18\)

\((13)~~64=4+4+6+10+10+15+15\)

\((14)~~64=4+4+7+7+14+14+14\)

\((15)~~64=4+4+8+8+8+16+16\)

\((16)~~64=4+4+8+8+10+10+20\)

\((17)~~64=4+5+5+8+10+16+16\)

\((18)~~64=4+5+5+10+10+10+20~~~~\)

\((19)~~64=4+5+7+7+7+14+20\)

\((20)~~64=4+6+6+8+8+8+24\)

\((21)~~64=5+5+6+6+8+10+24\)

\((22)~~64=8+8+8+8+8+8+8+8\)

(OEIS A125726)

64.23

\(64\)\(^{3}\)\(+64\)\(^{6}\)\(+64\)\(^{6}\)\(+64\)\(^{0}\)\(+64\)\(^{9}\)\(+64\)\(^{4}\)\(+64\)\(^{7}\)\(+64\)\(^{8}\)\(+64\)\(^{7}\)\(+64\)\(^{7}\)\(+64\)\(^{8}\)\(+64\)\(^{9}\)\(+64\)\(^{4}\)\(+64\)\(^{5}\)\(+64\)\(^{5}\)\(+64\)\(^{3}\)\(+64\)\(^{7}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}36609478778945537~~\)
(OEIS A236067)

64.24
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(64\)\(2^6\)\(7\)\(127\)
\(1,2,4,8,16,32,64\)
\(1000000_2\)\(100_8\)\(40_{16}\)
  \(64=8^2=4^3=2^6\)

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 7 november 2024