\(59=29+30\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(59=17+19+23\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(59=((0;1;3;7)\,(0;3;5;5)\,(3;3;4;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#3\}\)

\(59\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;0;2;2;2;2;3)\,(0;0;1;1;1;1;1;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(59=5*9+5+9\) (zie bij )

\(59\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{30^2-29^2}\)

59.1

\(59\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad\;\,\)In dit geval is \(m=6~~(+5)\).

\(59\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-1)^3+(-1)^3+(-4)^3+5^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{8^3+(-10)^3+(-13)^3+14^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-4)^3+(-16)^3+(-37)^3+38^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{35^3+(-40)^3+(-40)^3+44^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-22)^3+(-46)^3+(-46)^3+59^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{53^3+(-55)^3+(-76)^3+77^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{38^3+38^3+83^3+(-88)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{11^3+(-31)^3+(-97)^3+98^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-22)^3+(-85)^3+(-106)^3+122^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{188^3+(-193)^3+(-211)^3+215^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{11^3+(-160)^3+(-238)^3+260^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{65^3+(-181)^3+(-262)^3+287^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-61)^3+98^3+344^3+(-346)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{71^3+203^3+344^3+(-367)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-154)^3+254^3+368^3+(-397)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-22)^3+227^3+374^3+(-400)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{197^3+275^3+371^3+(-430)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{314^3+(-316)^3+(-445)^3+446^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-37)^3+(-214)^3+(-445)^3+461^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{11^3+242^3+476^3+(-496)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{164^3+215^3+479^3+(-499)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-85)^3+(-331)^3+(-445)^3+500^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{227^3+356^3+446^3+(-526)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{242^3+323^3+476^3+(-538)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-34)^3+(-94)^3+(-538)^3+539^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{257^3+383^3+440^3+(-541)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{119^3+(-139)^3+(-577)^3+578^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{140^3+(-412)^3+(-517)^3+590^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-109)^3+(-421)^3+(-526)^3+605^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{251^3+(-463)^3+(-529)^3+614^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-406)^3+491^3+716^3+(-748)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-325)^3+(-517)^3+(-628)^3+749^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{671^3+(-676)^3+(-751)^3+755^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{392^3+491^3+680^3+(-790)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-190)^3+563^3+689^3+(-793)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{2^3+602^3+659^3+(-796)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{188^3+(-634)^3+(-646)^3+803^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-358)^3+(-436)^3+(-730)^3+803^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{77^3+(-619)^3+(-664)^3+809^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-166)^3+(-544)^3+(-796)^3+875^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{113^3+(-439)^3+(-847)^3+884^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{335^3+(-499)^3+(-865)^3+902^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{416^3+(-634)^3+(-877)^3+950^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{35^3+239^3+953^3+(-958)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-10)^3+368^3+980^3+(-997)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{656^3+(-949)^3+(-988)^3+1154^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(59\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

59.2
\(59\) kan niet uitgedrukt worden als som van twee priemgetallen.

\(59\) als som van drie priemgetallen die bovendien allemaal oneven zijn.
Slechts drie van de zestien sommen hebben twee of meer dezelfde priemgetallen :

$$ 3\;odd\;primes \left[ \begin{matrix} &3&+&3&+&53\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{29}\\ &11&+&11&+&37\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{29}\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{29}\\ &13&+&23&+&23\\ &&\mathbf{17}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{23} \end{matrix} \right. $$

59.3
Als men de opeenvolgende priemgetallen met elkaar vermenigvuldigt en er \(1\) bij optelt, krijgt men dit patroon : \begin{align} 2*3+1&=7\text{ priemgetal}\\ 2*3*5+1&=31\text{ priemgetal}\\ 2*3*5*7+1&=211\text{ priemgetal}\\ 2*3*5*7*11+1&=2311\text{ priemgetal}\\ 2*3*5*7*11*13+1&=30031=59*509 \end{align} 59.4
\begin{align} \mathbf{59}^2&=3481\\ 3\mathbf{59}^2&=128881\\ 33\mathbf{59}^2&=11282881\\ 333\mathbf{59}^2&=1112822881\\ 3333\mathbf{59}^2&=111128222881\\ 33333\mathbf{59}^2&=11111282222881\\ \cdots&=\cdots \end{align} 59.5
Er is één rechthoekige driehoek met gehele zijden en één zijde gelijk aan \(59\) : \((59;1740;1741)\) 59.6
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Een man bezit een verzameling munten. Als hij ze per \(2\) groepeert, blijft er \(1\) over; als hij ze per \(3\) groepeert, blijven
er \(2\) over; in groepen van \(4\) blijven er \(3\) over; \(4\) blijven er over in groepen van \(5\) en als hij ze per \(6\) groepeert, blijven
er \(5\) over. Hoeveel munten heeft de man minimaal ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Als de man één muntstuk zou gaan lenen, dan kan hij ze wél degelijk in groepjes van \(2,3,4,5\) of \(6\) leggen. We zoeken
derhalve een veelvoud van die getallen en vinden als kleinste veelvoud \(60\). Als we de geleende munt teruggeven,
heeft de man dus minimaal \(59\) munten (De algemene oplossing luidt dat de man \(59+k*60\) munten heeft, met \(k\) een
geheel getal. De minimale waarde voor \(k=0\)).

59.7
  OPMERKELIJK  

\(59^4+158^4=133^4+134^4=635318657\) is het kleinste getal dat kan worden geschreven als som van twee
vierdemachten op twee verschillende wijzen (Gevonden door EULER in \(1772\)). Het volgende getal is
\(7^4+239^4=157^4+227^4=3262811042\)

59.8
\(59\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) :
\(73986/1254=59\)
\(59\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(6\) oplossingen) :
\(210984/3576=267801/4539=395418/6702=462501/7839=463209/7851=527106/8934=59\) 		59.9
Men moet \(59\) tot minimaal de \(2581\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(59\) \(59\)'s verschijnen.
Noteer, voor wat het waard is, dat de decimale expansie eindigt op \(59\). Terloops : \(59\)\(^{2581}\) heeft een lengte van \(4571\) cijfers. 		59.10

\(59^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1741^2-1740^2\)

\(59^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{1770^2-1711^2}\)

59.11

De eerste keer dat er \(59\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(43331\)
en \(43391\) met aldus een priemkloof van \(60\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

59.12

\(3\)\(^{59}\)\(~=~14130386091738734504764811067\) is de hoogst gekende macht van \(3\) waarbij geen cijfer \(2\) voorkomt

in de decimale expansie. (OEIS A131625)

59.13

Stappenplan met \(59\) creëert tweemaal een pandigitaal getal met cijfers van \(1\) tot \(9\) :

\(298~(+59=)~357~(+59=)~416 = 298357416\)

\(694~(+59=)~753~(+59=)~812 = 694753812\)

59.14

Som der reciproken van partitiegetallen van \(59\) is \(1\) op vijftien wijzen

Eén partitie heeft unieke termen.

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{59=3+4+5+9+18+20}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{20}}\)

\((1)~~59=2+3+18+18+18\)

\((2)~~59=3+3+4+21+28\)

\((3)~~59=2+6+9+12+12+18\)

\((4)~~59=3+4+5+9+18+20\)

\((5)~~59=3+5+5+6+20+20\)

\((6)~~59=4+4+5+6+10+30\)

\((7)~~59=3+6+10+10+10+10+10~~~~\)

\((8)~~59=3+8+8+8+8+12+12\)

\((9)~~59=4+4+9+9+9+12+12\)

\((10)~~59=4+6+6+6+10+12+15\)

\((11)~~59=4+6+6+8+8+9+18\)

\((12)~~59=5+5+6+6+9+10+18\)

\((13)~~59=5+6+6+6+6+15+15\)

\((14)~~59=5+6+6+6+8+8+20\)

\((15)~~59=6+6+6+6+7+7+21\)

(OEIS A125726)

59.15

\(59\)\(^{5}\)\(+59\)\(^{0}\)\(+59\)\(^{6}\)\(+59\)\(^{3}\)\(+59\)\(^{1}\)\(+59\)\(^{0}\)\(+59\)\(^{6}\)\(+59\)\(^{4}\)\(+59\)\(^{1}\)\(+59\)\(^{3}\)\(+59\)\(^{7}\)\(+59\)\(^{5}\)\(+59\)\(^{7}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5063106413757~~\)(OEIS A236067)

59.16

\(59\) als expressie met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende volgorde.
\((1*2*3*4)+5+6+7+8+9\)

59.17
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(59\)\(59\)\(2\)\(60\)
\(1,59\)
Priemgetal\(111011_2\)\(3\)B\(_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 15 november 2024