\(56=5+6+7+8+9+10+11\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(56=2+4+6+8+10+12+14\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+13+15+17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}27+29\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(56=3+5+7+11+13+17\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+6+10+15+21\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(1)+D(2)+\cdots+D(5)+D(6)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(56=7*8~~\) (\(4\) opeenvolgende cijfers) – dit patroon doet zich enkel nog voor bij 12.11 – (Fun With Num3ers)

\(56=(13-5)*(13-6)\)

\(56={\Large\frac{12\;*\;13\;*\;14}{12~+~13~+~14}}\)

\(56=4!+4!+4+4\)

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6*7*8)/(1*2*3)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6*7*8)/(1+2+3)\)

\(56=(0;2;4;6)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\)

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^7+7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^2-8\)

\(56=2^2+3^3+5^2\)

\(56=(1^1+1^2+1^3)+(2^1+2^2+2^3)+(3^1+3^2+3^3)\)

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7*2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;0;0;1;1;3;3)\,(0;0;2;2;2;2;2;2;2)\,(1;1;1;1;1;2;2;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\)

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^6][4^3][8^2]-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]-5^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^2-13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^3-76^2\)

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,31\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-5)^5+(-28)^5+30^5+34^5+(-35)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{49^5+(-106)^5+116^5+150^5+(-153)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\to~~\)Noteer dat\(~~49-106+116+150-153\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}56\)

Tussen \(56\) en zijn omgekeerde \(65\) bestaan een paar merkwaardige relaties :

\(65+56=121=11^2\)

\(65-56=9=3^2\)

Getallen waarvan zowel de som als het verschil met het omgekeerde getal een kwadraat vormt, zijn uiterst
zeldzaam. Men noemt dan ook het kleinste van beide getallen met de Engelse term “Rare number” wat men zou
kunnen vertalen als Bijzonder getal, Zeldzaam getal of Schaars getal. Zoals hierboven bevonden is \(56\) een
Schaars getal. Zie ook de getallen 65.5 en 621770.-- maar ook (OEIS A035519)

Er zijn zeven rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde \(56\) is :

\((33;56;65),(42;56;70),(56;90;106),(56;105;119),(56;192;200),(56;390;394),(56;783;785)\)

Merk op dat alle zijden samengestelde gehele getallen zijn.

\(56^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65^2-33^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}70^2-42^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}72^2-2^{11}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}106^2-90^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}119^2-105^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}200^2-192^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}260^3-4192^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~394^2-390^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}785^2-783^2\)

\(56^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28^3+392^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}420^2-28^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}471^2-215^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}504^2-280^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}546^2-350^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}671^2-65^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}750^2-622^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~840^2-728^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}945^2-847^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1404^2-1340^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{1596^2-1540^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2760^2-2728^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3150^2-3122^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~4704^2-280^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5496^2-5480^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6279^2-6265^2\)

$$ 2~odd~primes \left[ \begin{matrix} &3&+&53\\ &13&+&43\\ &19&+&37 \end{matrix} \right. $$

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{47}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{43}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{41}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{37}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{31} \end{matrix} \right. $$

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(56=(14+1)+(14-1)+(14*1)+(14/1)\)

Een mooi patroon : \begin{align} 56&=(111+1)/(1+1)\\ 56&=(222+2)/(2+2)\\ 56&=(333+3)/(3+3)\\ 56&=(444+4)/(4+4)\\ 56&=(555+5)/(5+5)\\ 56&=(666+6)/(6+6)\\ 56&=(777+7)/(7+7)\\ 56&=(888+8)/(8+8)\\ 56&=(999+9)/(9+9) \end{align}

\(3\)\(^{56}\)\(~=~523347633027360537213511521\) is de hoogst gekende macht van \(3\) waarbij geen cijfer \(9\) voorkomt

in de decimale expansie. (OEIS A131613)

\(6\)\(^{56}\)\(~=~37711171281396032013366321198900157303750656\) is de hoogst gekende macht van \(6\) waarbij

geen cijfer \(4\) voorkomt in de decimale expansie.

\(8\)\(^{56}\)\(~=~374144419156711147060143317175368453031918731001856\) is de hoogst gekende macht van \(8\) waarbij

geen cijfer \(2\) voorkomt in de decimale expansie.

\(56\) is de som van de 'som der delers (sigma)' van de eerste \(8\) getallen.

\(56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\large\sigma}(1)+{\large\sigma}(2)+{\large\sigma}(3)+{\large\sigma}(4)+{\large\sigma}(5)+{\large\sigma}(6)+{\large\sigma}(7)+{\large\sigma}(8)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+4+7+6+12+8+15\)

Som der reciproken van partitiegetallen van \(56\) is \(1\) op acht wijzen

Er zijn geen partities met unieke termen.

\((1)~~56=2+6+12+12+12+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}\)

\((2)~~56=2+9+9+9+9+18~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{18}}\)

\((3)~~56=3+3+10+10+15+15~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{15}}\)

\((4)~~56=3+4+5+12+12+20~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{20}}\)

\((5)~~56=4+4+4+8+12+24~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{24}}\)

\((6)~~56=5+5+5+5+6+30~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{30}}\)

\((7)~~56=4+6+6+8+8+12+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}\)

\((8)~~56=5+5+6+6+10+12+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}\)

(OEIS A125726)

\(\begin{align}56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{4}{1}}\right)^3-\left({\frac{2}{1}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\color{tomato}{\left({\frac{2*2}{1}}\right)^3-\left({\frac{1*2}{1}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{2}{1}}\right)^3-\left({\frac{1}{1}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\frac{56}{8}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7}\end{align}\)

\(\begin{align}56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{8}{3}}\right)^3+\left({\frac{10}{3}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\color{tomato}{\left({\frac{4*2}{3}}\right)^3+\left({\frac{5*2}{3}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{4}{3}}\right)^3+\left({\frac{5}{3}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\frac{56}{8}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7}\end{align}\)

\(\begin{align}56\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{73}{19}}\right)^3-\left({\frac{17}{19}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\color{tomato}{\left({\frac{73*2}{38}}\right)^3-\left({\frac{17*2}{38}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{73}{38}}\right)^3-\left({\frac{17}{38}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\frac{56}{8}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7}\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\(56\) is de som van de 'som der delers' van de getallen van \(1\) tot \(8\) :

\((1)+(1+2)+(1+3)+(1+2+4)+(1+5)+(1+2+3+6)+(1+7)+(1+2+4+8)\)

(OEIS A024916)

\(56\)\(^{1}\)\(+56\)\(^{0}\)\(+56\)\(^{9}\)\(+56\)\(^{3}\)\(+56\)\(^{0}\)\(+56\)\(^{7}\)\(+56\)\(^{8}\)\(+56\)\(^{5}\)\(+56\)\(^{5}\)\(+56\)\(^{2}\)\(+56\)\(^{5}\)\(+56\)\(^{4}\)\(+56\)\(^{9}\)\(+56\)\(^{4}\)\(+56\)\(^{5}\)\(+56\)\(^{2}\)\(+56\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10930785525494522~~\)
(OEIS A236067)