\(51\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+7+8+9+10+11\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16+17+18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25+26\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(51=15+17+19\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(51=11+17+23\) (som van willekeurige priemgetallen)

\(51=2+3+5+41\) (som van priemgetallen uitsluitend opgebouwd met de cijfers van \(1\) tot \(5\))

\(51=((0;1;1;7)\,(0;1;5;5)\,(1;3;4;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#3\}\)

\(51\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;0;0;2;2;2;3)\,(1;1;1;2;2;2;2;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(51\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2-7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{26^2-[5^4][25^2]}\)

\(51\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,9\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(51\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

\(51^2=2601~~\) en \(~~2601=51_{base~520}=\{{\color{tomato}{5*520^1+1*520^0}}\}\)
\(\underline{51}^3=1326\underline{51}=(-13-2+65+1)^3=(-1-3-2+6+51)^3\)
\(51^4=6765201~~\) en \(~~67-6-5-2-0!-prime(1)=\{{\color{tomato}{67-6-5-2-1-2}}\}=51\)
\(51^5=345025251~~\) en \(~~3+45+0+2+5+2-5-1=51\)
\(51^6=17596287801~~\) en \(~~17+5+9-6+2+8+7+8+0+1=51\)
\(51^7=897410677851~~\) en \(~~8+9+7+4+1+0-6+7+7+8+5+1=51\)
\(51^8=45767944570401~~\) en \(~~4+5+7-6+7+9+4+4+5+7+0+4+0+1=51\)
\(51^9=2334165173090451~~\) en \(~~2-3-3+4+16+5+1+7+3+0+9+0+4+5+1=51\)

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&47\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{29}\\ &5&+&5&+&41\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{29}\\ &5&+&23&+&23\\ &7&+&7&+&37\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{31}\\ &11&+&11&+&29\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{23}\\ &13&+&19&+&19\\ &17&+&17&+&17 \end{matrix} \right. $$

Tot het getal \(51\) zijn er welgeteld \(15\) priemgetallen.

In getallenlijsten (zoals in deze webpagina's) komen auteurs wel eens terecht bij een getal waarover ze niets
nuttig/zinnig/spectaculair/interessant (schrappen wat niet past) te zeggen hebben. Het kleinste van de getallen
waarbij geen commentaar te vinden was, wordt dan tot het kleinste niet-interessante getal gepromoveerd, wat
het op zijn beurt natuurlijk interessant maakt, zodat er in principe geen oninteressante getallen zijn. Afgezien
van dit is het merkwaardig (ik schreef bijna : interessant) te zien dat het zogenaamde kleinste oninteressante
getal nogal verschilt volgens auteur. WELLS betitelt \(39\) als het eerste oninteressante getal in de eerste druk
van zijn boek “Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen”. In de tweede druk wordt dat het
getal \(51\). BELLOS vindt dan weer dat \(247\) het kleinste niet-interessante getal is. Men heeft zich beziggehouden
om het kleinste oninteressante getal te bepalen als het kleinste getal dat NIET in één of andere rij van de OEIS
voorkomt. Dat getal evolueerde van \(11630\) (in \(2009\)) over \(12407\) (\(2009-2011\)) en \(13794\) (\(2012\)) tot \(14228\)
(in \(2013\)). Het einde van dit verhaal is nog lang niet in zicht...
(Frequency of appearance in the OEIS database) (The smallest uninteresting numbers)
(Mathrecreation : interesting and uninteresting numbers) (The most boring number in the world is...)

\(51^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^2+45^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}85^2-68^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}85^3-782^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}149^2-140^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}435^2-432^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1301^2-1300^2\)

\(51^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}374^2-85^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}510^2-357^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{1326^2-1275^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2470^2-2443^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3910^2-3893^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7374^2-7365^2\)

De eerste keer dat er \(51\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(19609\)
en \(19661\) met aldus een priemkloof van \(52\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(51\) als expressie met de cijfers van \(0\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde

\(4\)\(^{51}\)\(~=~5070602400912917605986812821504\) is de hoogst gekende macht van \(4\) waarbij geen cijfer \(3\) voorkomt

in de decimale expansie.

\(8\)\(^{51}\)\(~=~11417981541647679048466287755595961091061972992\) is de hoogst gekende macht van \(8\) waarbij geen

cijfer \(3\) voorkomt in de decimale expansie.

Voor \(n=51~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+4) ~~\to~~ {\large\sigma}(51)={\large\sigma}(55)=72~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(51\) is de eerste oplossing uit (OEIS A015863)

Voor \(n=51~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+20) ~~\to~~ {\large\sigma}(51)={\large\sigma}(71)=72~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(51\) is de tweede oplossing uit (OEIS A181647)

\(2\)\(^{51}\)\(~=~2251799813685248~~\) De kleinste macht van \(2\) met alle cijfers van \(1\) tot \(9\) aanwezig in de decimale expansie.

\(51\)\(^{51}\)\(-2\) is een priemgetal, de zevende in zijn soort (\(k^k-2\)). (OEIS A100408)

Som der reciproken van partitiegetallen van \(51\) is \(1\) op vier wijzen

Er zijn geen partities met unieke termen.

\((1)~~51=3+3+5+10+30~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{30}}\)

\((2)~~51=4+4+4+9+12+18~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{18}}\)

\((3)~~51=4+4+5+6+12+20~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{20}}\)

\((4)~~51=6+6+6+6+9+9+9~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{9}}\)

(OEIS A125726)

\(\begin{align}51\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{62641}{197028}}\right)^3+\left({\frac{730511}{197028}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\(2\)\(^{51}\)\(=2251799813685248\)

De som van de pare cijfers is gelijk aan de som van de onpare cijfers namelijk \(40\).

Pari/GP code : (verander \(!=\) naar \(==\) voor het andere pare geval)

s=0; d=digits(2^51); for(i=1,#d,if(denominator(d[i]/2)\({\color{red}{!=}}\)1,s+=d[i])); print(s)

De exponenten van \(2\) waarvoor deze eigenschap opgaat is de sequentie \(13,43,47,51,126,194,386,\ldots\)

Een volgende macht is groter dan \(100000\).