\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15+16+17\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14+16+18\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+5+7+9+11+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+11+13+15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}23+25\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+11+13+17\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*2!*3!*4\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6!!\) (dubbelfaculteit)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;4;4;4)\,(2;2;2;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;2;2;2;2;2;2)\,(0;1;1;1;1;1;2;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-1\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}eulerphi(65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210)\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4+2^4+2^4\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^2-4^2\) en \(48\) is het enige getal van twee cijfers dat gelijk is aan het verschil van de kwadraten van beide cijfers.

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\Large\frac{\sqrt{48^2\,+\,48^3}}{\lceil\sqrt{48}\,\rceil}~~\)(OEIS A087279)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(0,6)}[7]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18+30\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,0,2)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8+14+26\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,0,6)}[8]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+6+12+24\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5+[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^6][4^3][8^2]-[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2-11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28^3-148^2\)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,12\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(48^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]+2^{11}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^3+24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}50^2-14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}52^2-20^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}60^2-[6^4][36^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}73^2-55^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~80^2-[2^{12}][4^6][8^4][16^3][64^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}102^2-90^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}148^2-140^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}195^2-189^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}290^2-286^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}336^2-{\color{blue}{48}}^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~577^2-575^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1077^2-105^3\)

\(48^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{13}+320^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}336^2-{\color{blue}{48}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}344^2-88^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}364^2-148^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}384^2-192^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}456^2-312^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}496^2-368^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~566^2-458^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}624^2-528^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}804^2-732^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}896^2-832^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1051^2-997^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{1176^2-1128^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~1554^2-1518^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1744^2-1712^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2316^2-2292^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3081^2-3063^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3464^2-3448^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4614^2-4602^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~6916^2-6908^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9219^2-9213^2\)

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} &5&+&43\\ &7&+&41\\ &11&+&37\\ &17&+&31\\ &19&+&29 \end{matrix} \right. $$

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{29}\\ &2&+&23&+&23 \end{matrix} \right. $$

\(48\to\) is één van de \(8\) getallen van \(2\) cijfers dat gelijk is aan een ééncijferveelvoud van het cijfer van de eenheden :

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*8\). De andere getallen zijn \(12,15,24,25,35,36\) en \(45\).

Zie bij 12.12 15.12 24.19 25.17 35.5 36.7 45.9

\(48^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*2*3*4*6*8*12*16*24*48~~\) (product van alle delers van \(48\) – zie voor meer info bij 12.14 )

Pari/GP code :
for(k=1,1000,d=divisors(k);if(ispower(prod(i=1,#d,d[i]))==5,print1(k,", ")))

De reeks begint als volgt : \(48,80,112,162,176,208,272,304,\ldots\) en dat is (OEIS A178739)

stellend dat we \(48\) kunnen schrijven als product van een vierdemacht van een priemgetal met een verschillend
priemgetal namelijk \(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4*3\) of zijn priemfactorisatie. Alle getallen uit deze reeks hebben exact \(10\) delers.

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Men heeft \(60\) vierkante tegels, \(30\) groene en \(30\) gele. Met de gele kan men een rechthoek vormen van \(3*10\) tegels
en de \(30\) groene tegels kunnen rond deze rechthoek gelegd worden als boord van telkens één tegel breed. Men wil
hetzelfde doen maar met minder tegels. Hoe kan dit gebeuren ?

\(48+1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}49\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2\) en de helft \(48/2+1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2\). Als men het getal \(48\) met één vermeerdert, komt er een
kwadraat uit; als men de helft van \(48\) eveneens met één vermeerdert, komt er opnieuw een kwadraat uit. Deze
merkwaardigheid was voor DUDENEY aanleiding voor een puzzel waarbij hij meer van dergelijke getallen vroeg.
De lijst van getallen begint bij \(49\) en gaat als volgt : \(49; 1680; 57120; 1940448; 65918160; \ldots\). (OEIS A008845)
Merkwaardig is dat tussen twee opeenvolgende termen in deze rij, de verhouding naar de constante waarde
\(33,97056\ldots\)  nadert (bvb.\(65918160/1940448\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33,970588\ldots\))

Alle even machten van \(7\), minus \(1\), zijn deelbaar door \(48\).
Bvb. \(7^8-1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5764800\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}48*120100\)

Alle even waarden voor \(n\) in de formule \(n*(n^2+20)\) zijn deelbaar door \(48\).

\(48\) is gelijk aan \(4\) maal de som van zijn cijfers : \(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*(4+8)\).

Andere getallen met deze eigenschap zijn \(12,36\) en \(48~~\) ( 12.7 24.7 36.6 )

(OEIS A005349 - Harshad getallen) Zie ook bij 4.4

\(48\) is het kleinste getal met exact \(10\) verschillende delers (\(1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\)). (OEIS A005179)

In het algemene geval is het getal \(3*2\)\(^a\) het kleinste getal met \(2*(a+1)\) delers. In het voorbeeld met \(48\) is \(a\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4\)

(zie de ontbinding in priemfactoren) en dus \(2*(4+1)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10\) delers.

Voor \(n\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}48~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\large\sigma}(n+27) ~~\to~~ {\large\sigma}(48)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\large\sigma}(75)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}124~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(48\) is de tweede oplossing uit de reeks \(42,48,118,138,1338,3438,8618,\ldots\)

Som der reciproken van partitiegetallen van \(48\) is \(1\) op vier wijzen

Er zijn geen partities met unieke termen.

\((1)~~48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+8+8+10+15~~\) en \(~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}\)

\((2)~~48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+5+5+10+10+15~~\) en \(~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}\)

\((3)~~48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+6+6+6+9+18~~\) en \(~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{18}}\)

\((4)~~48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+4+4+12+12+12~~\) en \(~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}\)

(OEIS A125726)

\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\begin{aligned}\left({\frac{34}{21}}\right)^3+\left({\frac{74}{21}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\color{tomato}{\left({\frac{17*2}{21}}\right)^3+\left({\frac{37*2}{21}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{17}{21}}\right)^3+\left({\frac{37}{21}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\frac{48}{8}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6}\end{aligned}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\begin{align} 49&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2\\ 4{\color{blue}{48}}9&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67^2\\ 44{\color{blue}{48}}89&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}667^2\\ 444{\color{blue}{48}}889&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6667^2\\ 4444{\color{blue}{48}}8889&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66667^2\\ \cdots&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots \end{align}

\(48\) is de oppervlakte van twee driehoeken met gehele getallen als zijden : \((10;10;12)\) en \((10;10;16)\)

(Formule van Heron)

\(48\)\(^{2}\)\(+48\)\(^{5}\)\(+48\)\(^{2}\)\(+48\)\(^{3}\)\(+48\)\(^{6}\)\(+48\)\(^{4}\)\(+48\)\(^{3}\)\(+48\)\(^{5}\)\(+48\)\(^{4}\)\(+48\)\(^{5}\)\(+48\)\(^{6}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25236435456~~\)(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{48}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(370^{\large{48}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}370\qquad\qquad~sdc\left(513^{\large{48}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}513\qquad\qquad~sdc\left(631^{\large{48}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}631\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(667^{\large{48}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}667\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(48\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(8/4+4)*8\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+1)*(1+1)*(11+1)\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*(22+2)\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*3^3-33\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+44\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55-5-(5+5)/5\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*6+6+6\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7*7-7/7\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8*8-8-8\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+9-9*9+999/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2^3+4+5+6+7+8+9\)
\(\qquad\qquad48\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+8+7+6+5+4+3^2*1\)

Het kleinste getal dat exact \(48\) delers heeft is \(2520\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3*3^2*5*7~~\) (OEIS A005179)

(zes multigrades) \(48\to48^5\to\)

\begin{aligned} 48^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^1-56^1+{\color{green}{108}}^1+124^1-134^1\\ 48^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^5-56^5+{\color{green}{108}}^5+124^5-134^5\\ \\ 48^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-70^1-80^1+218^1+254^1-274^1\\ 48^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-70^5-80^5+218^5+254^5-274^5\\ \\ 48^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}126^1+258^1-372^1-408^1+444^1\\ 48^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}126^5+258^5-372^5-408^5+444^5\\ \\ 48^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{green}{108}}^1+424^1-488^1-912^1+916^1\\ 48^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{green}{108}}^5+424^5-488^5-912^5+916^5\\ \\ 48^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-318^1-592^1+998^1+1442^1-1482^1\\ 48^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-318^5-592^5+998^5+1442^5-1482^5\\ \\ 48^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-164^1-1032^1+1400^1+1444^1-1600^1\\ 48^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-164^5-1032^5+1400^5+1444^5-1600^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}48\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{7}}^2-48*{\color{darkviolet}{1}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭