\(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)als som van opeenvolgende gehele getallen op \(5\) verschillende wijzen :

\(\qquad\;\,\)En \(45\) is het kleinste getal met die eigenschap.

\begin{cases} 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9\\ 45=5+6+7+8+9+10\\ 45=7+8+9+10+11\\ 45=14+15+16\\ 45=22+23 \end{cases}

\(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+7+9+11+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+15+17\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(45=(1+2+3+4+5)*3\)

\(45=((0;0;3;6)\,(0;2;4;5)\,(1;2;2;6)\,(2;3;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}\)

\(45=(1^2+2^2)*3^2\)

\(45=1^3+1^3+2^3+2^3+3^3=(0;0;0;0;1;1;2;2;3)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)

\(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6!/4^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10!/(8!*2!)\)

\(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]-6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21^3-96^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{23^2-22^2}\)

\(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,26\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{1^n+2^5+13^5+16^5+(-17)^5}~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-662)^5+730^5+1165^5+1721^5+(-1769)^5}\)

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&43\\ \\ \end{matrix} \right. $$

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&41\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{29}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{23}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{29}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{23}\\ &7&+&7&+&31\\ &7&+&19&+&19\\ &11&+&11&+&23\\ &11&+&17&+&17\\ &13&+&13&+&19 \end{matrix} \right. $$

\(45^2=2025\) en de twee helften van dit kwadraat opgeteld levert \(20+25=45\) terug. Hetzelfde vinden we

bij \(55^2=3025~~\) en \(~~99^2=9801~~\) (zgn. Kaprekargetallen)

\(45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}91152\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9+11+25)^3\)

\(45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^3+30^3+40^3\)

\(45^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\begin{cases} 1^4+2^4+12^4+24^4+44^4=\\ 1^4+8^4+24^4+36^4+38^4=\\ 4^4+4^4+26^4+27^4+42^4=\\ 6^4+6^4+18^4+36^4+39^4=\\ 12^4+18^4+24^4+27^4+42^4=\\ 18^4+18^4+27^4+36^4+36^4 \end{cases}

\(45^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4100625\) : deze vierdemacht is de opeenvolging van drie kwadraten : \(4=2^2\;;100=10^2\) en \(625=25^2\)

\(45\) is één van de \(8\) getallen van \(2\) cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de eenheden :

\(45=9*5\). De andere getallen zijn \(12,15,24,25,35,36\) en \(48\).

Zie bij 12.12 15.12 24.19 25.17 35.5 36.7 48.7

Hierbij beperkt men het veelvoud tot een getal van één cijfer. Als men grotere veelvouden toelaat dan zijn meerdere

oplossingen mogelijk, bvb. \(4\mathbf{4}=11*\mathbf{4}\;;\) \(6\mathbf{3}=21*\mathbf{3}\;;6\mathbf{5}=13*\mathbf{5}\) enz.

\(45^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^6][9^3][27^2]+[6^4][36^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}51^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}53^2-28^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55^2-10^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}75^2-60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99^2-6^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}117^2-108^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~205^2-200^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}339^2-336^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}531^2-6^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}855^2-90^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1013^2-1012^2\)

\(45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}54^2+297^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135^2+270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}309^2-66^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}315^2-90^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}405^2-270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}427^2-302^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}603^2-522^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~645^2-570^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{1035^2-990^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1701^2-1674^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1835^2-1810^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3045^2-3030^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5067^2-5058^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~9115^2-9110^2\)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Splits \(45\) in \(4\) delen zo dat het eerste deel opgeteld bij een getal \(A\) gelijk is aan het tweede deel verminderd met \(A\),
gelijk is aan het derde deel vermenigvuldigd met het getal \(A\), gelijk is aan het vierde deel gedeeld door het getal \(A\).
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
We splitsen \(45\) als \(8+12+5+20\) waarbij, met \(A=2\) geldt : \(8+2=12-2=5*2=20/2=10\)
De algemene oplossing luidt als volgt : Als er een getal \(N\) is dat kan geschreven worden als \((A+1)^2*L/A\), dan
kan dit getal gesplitst worden op de aangegeven wijze waarbij \(A\) het getal is dat achtereenvolgens wordt opgeteld,
afgetrokken, vermenigvuldigd of deler is en \(L\) het resultaat dat in de vier gevallen hetzelfde is. In het geval van
\(N=45\) ziet men dadelijk dat in de formule \((A+1)^2*L/A\) de enige mogelijkheid is dat \((A+1)^2=9\), waaruit
\(A=2\). De waarde van \(L\) volgt dan uit \(L=N*A/(A+1)^2\), hier dus \(L=45*2/9=10\).

Als men in de uitdrukking \(45^2=2025\) alle cijfers (behalve de exponent) met \(1\) vermeerdert, komt er \(56^2=3136\)

De eerste keer dat er \(45\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(81463\)
en \(81509\) met aldus een priemkloof van \(46\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(6\)\(^{45}\)\(~=~103945637534048876111514866313854976\) is de hoogst gekende macht van \(6\) waarbij geen cijfer \(2\)

voorkomt in de decimale expansie.

\(4\)\(^{45}\)\(~=~1237940039285380274899124224\) is de hoogst gekende macht van \(4\) waarbij geen cijfer \(6\) voorkomt

in de decimale expansie.

\(5\)\(^{45}\)\(~=~28421709430404007434844970703125\) is de hoogst gekende macht van \(5\) waarbij geen cijfer \(6\) voorkomt

in de decimale expansie.

Som der reciproken van partitiegetallen van \(45\) is \(1\) op vier wijzen

Twee partities hebben unieke termen.

\((1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{45=2+4+9+12+18}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{18}}\)

\((2)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{45=2+5+6+12+20}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{20}}\)

\((3)~~45=3+6+6+6+12+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}\)

\((4)~~45=4+4+6+6+10+15~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}\)

(OEIS A125726)

Vermenigvuldiging van \(45\) met een pandigitaal getal is een binair uitziend decimaal getal (alleen cijfers \(0\) en \(1\))
\(\qquad45*2469135780=111111110100\)