Allemaal Getallen Index 0045

$45 =$ als som van opeenvolgende gehele getallen op $5$ verschillende wijzen :

En $45$ is het kleinste getal met die eigenschap.

${\begin{cases} 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 \\ 45 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \\ 45 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 \\ 45 = 14 + 15 + 16 \\ 45 = 22 + 23 \end{cases}$

$45 = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 13 + 15 + 17$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$45 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) * 3$

$45 = ((0; 0; 3; 6) (0; 2; 4; 5) (1; 2; 2; 6) (2; 3; 4; 4)) ➋ \to {# 4}$

$45 = (1^{2} + 2^{2}) * 3^{2}$

$45 = 1^{3} + 1^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 3^{3} = (0; 0; 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3) ➌ \to {# 1}$

$45 = 6! / 4^{2} = 10! / (8! * 2!)$

$45 = 3^{2} + 6^{2} = [3^{4}] [9^{2}] - 6^{2} = 7^{2} - 2^{2} = 21^{3} - 96^{2} = 23^{2} - 22^{2}$

45.1

$45 =$ (som van drie derdemachten)

$26$ oplossingen bekend

References Sum of Three Cubes

$2^{3} + (- 3)^{3} + 4^{3} =$

$256^{3} + 533^{3} + (- 552)^{3} =$

$1709^{3} + 2025^{3} + (- 2369)^{3} =$

$(- 12312)^{3} + (- 13411)^{3} + 16234^{3} =$

$154099^{3} + 258003^{3} + (- 275161)^{3} =$

$273333^{3} + 459446^{3} + (- 489662)^{3} =$

$(- 860158)^{3} + (- 940266)^{3} + 1136437^{3} =$

$1315652^{3} + 1342485^{3} + (- 1674692)^{3} =$

$86081710^{3} + 102227717^{3} + (- 119493282)^{3} =$

$(- 123493474)^{3} + (- 381520352)^{3} + 385785453^{3} =$

$(- 146621723)^{3} + (- 574898442)^{3} + 578060030^{3} =$

$(- 1145479270)^{3} + (- 1895623019)^{3} + 2025889734^{3} =$

$(- 362904919)^{3} + (- 3558232823)^{3} + 3559490691^{3} =$

$2490196381^{3} + 3265611834^{3} + (- 3690580060)^{3} =$

$3178849832^{3} + 11960491516^{3} + (- 12034877739)^{3} =$

$9726334293^{3} + 12079868900^{3} + (- 13895238608)^{3} =$

$(- 10238155084)^{3} + (- 36526273598)^{3} + 36792451581^{3} =$

$(- 108801445500)^{3} + (- 650891037163)^{3} + 651902829148^{3} =$

$(- 340822285446)^{3} + (- 626019815356)^{3} + 658028653213^{3} =$

$1749427939757^{3} + 2373835729374^{3} + (- 2655744666188)^{3} =$

$148889850027^{3} + 4195858382209^{3} + (- 4195920874423)^{3} =$

$26430282071^{3} + 15641865280393^{3} + (- 15641865305547)^{3} =$

$555063360462^{3} + 17258087524486^{3} + (- 17258278913179)^{3} =$

$29192832801309^{3} + 201740576584264^{3} + (- 201944132075062)^{3} =$

$71092899016882^{3} + 362017886690301^{3} + (- 362929486486024)^{3} =$

$56258330079722^{3} + 383311547850666^{3} + (- 383715080171099)^{3} =$

$45 =$ (som van vijf vijfdemachten)

$1^{n} + 2^{5} + 13^{5} + 16^{5} + (- 17)^{5} (n = 5) = (z > 200)$

$(- 662)^{5} + 730^{5} + 1165^{5} + 1721^{5} + (- 1769)^{5}$

45.2

45

is het enige getal dat gelijk is aan

5

maal de som van zijn cijfers. Zie ook bij

45.3

Als som met de vier operatoren

+ - * /

45 = (10 + 2) + (10 - 2) + (10 * 2) + (10 / 2)

Voor een andere vorm van splitsing, zie verderop de puzzel

45.4

De som van de cijfers van

1

tot en met

9

45

.
Bovendien is

987654321 - 123456789 = 864197532

en dit verschil bevat ook de

9

verschillende cijfers.

45.5

45

kan op slechts één wijze geschreven worden als som van twee priemgetallen :

$2 p r i m e s [\begin{matrix} 2 & + & 43 \end{matrix}$

45

kan op

12

verschillende wijzen als som van drie priemgetallen worden geschreven.
In vet staan de zes gevallen aangegeven, waarbij de drie priemgetallen verschillend zijn :

$3 p r i m e s [\begin{matrix} 2 & + & 2 & + & 41 \\ 3 & + & 5 & + & 37 \\ 3 & + & 11 & + & 31 \\ 3 & + & 13 & + & 29 \\ 3 & + & 19 & + & 23 \\ 5 & + & 11 & + & 29 \\ 5 & + & 17 & + & 23 \\ 7 & + & 7 & + & 31 \\ 7 & + & 19 & + & 19 \\ 11 & + & 11 & + & 23 \\ 11 & + & 17 & + & 17 \\ 13 & + & 13 & + & 19 \end{matrix}$

45.6

$45^{2} = 2025$ en de twee helften van dit kwadraat opgeteld levert $20 + 25 = 45$ terug. Hetzelfde vinden we

bij $55^{2} = 3025$ en $99^{2} = 9801$ (zgn. Kaprekargetallen)

De volgende YouTube Video's onthullen veel meer eigenschappen in verband met het getal $2025$

Crazy Facts About the Number 2025

5 facts about 2025 that will surprise you

7 Beautiful Patterns Behind The Unique Mathematical Year 2025!

2025 is a Strange Number

A New Year 2025 Math Fact

De volgende URL's onthullen ook spectaculaire feiten in verband met het getal $2025$

Mathematics of 25 and 2025 in Numbers by Inder J. Taneja (part 1)

Mathematics of 25 and 2025 in Magic Squares by Inder J. Taneja (part 2)

45.7

$45^{3} = 91152 = (9 + 11 + 25)^{3}$

$45^{3} = 5^{3} + 30^{3} + 40^{3}$

$45^{4} =$

${\begin{cases} 1^{4} + 2^{4} + 12^{4} + 24^{4} + 44^{4} = \\ 1^{4} + 8^{4} + 24^{4} + 36^{4} + 38^{4} = \\ 4^{4} + 4^{4} + 26^{4} + 27^{4} + 42^{4} = \\ 6^{4} + 6^{4} + 18^{4} + 36^{4} + 39^{4} = \\ 12^{4} + 18^{4} + 24^{4} + 27^{4} + 42^{4} = \\ 18^{4} + 18^{4} + 27^{4} + 36^{4} + 36^{4} \end{cases}$

$45^{4} = 4100625$ : deze vierdemacht is de opeenvolging van drie kwadraten : $4 = 2^{2}; 100 = 10^{2}$ en $625 = 25^{2}$

45.8

$45$ is één van de $8$ getallen van $2$ cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de eenheden :

$45 = 9 * 5$ . De andere getallen zijn $12, 15, 24, 25, 35, 36$ en $48$ .

Zie bij

Hierbij beperkt men het veelvoud tot een getal van één cijfer. Als men grotere veelvouden toelaat dan zijn meerdere

oplossingen mogelijk, bvb. $44 = 11 * 4;$ $63 = 21 * 3; 65 = 13 * 5$ enz.

45.9

$45^{2} = [3^{6}] [9^{3}] [27^{2}] + [6^{4}] [36^{2}] = 51^{2} - 24^{2} = 53^{2} - 28^{2} = 55^{2} - 10^{3} = 75^{2} - 60^{2} = 99^{2} - 6^{5} = 117^{2} - 108^{2} =$

$205^{2} - 200^{2} = 339^{2} - 336^{2} = 531^{2} - 6^{7} = 855^{2} - 90^{3} = 1013^{2} - 1012^{2}$

$45^{3} = 54^{2} + 297^{2} = 135^{2} + 270^{2} = 309^{2} - 66^{2} = 315^{2} - 90^{2} = 405^{2} - 270^{2} = 427^{2} - 302^{2} = 603^{2} - 522^{2} =$

$645^{2} - 570^{2} = 1035^{2} - 990^{2} = 1701^{2} - 1674^{2} = 1835^{2} - 1810^{2} = 3045^{2} - 3030^{2} = 5067^{2} - 5058^{2} =$

$9115^{2} - 9110^{2}$

45.10

Voor een bijzondere eigenschap van

45

, zie bij

45.11

Er zijn acht rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan

45

één van de zijden is :

(27; 36; 45), (24; 45; 51), (28; 45; 53), (45; 60; 75), (45; 108; 117), (45; 200; 205), (45; 336; 339), (45; 1012; 1013)

45.12

EEN PUZZEL

$O p g a v e$
Splits $45$ in $4$ delen zo dat het eerste deel opgeteld bij een getal $A$ gelijk is aan het tweede deel verminderd met $A$ ,
gelijk is aan het derde deel vermenigvuldigd met het getal $A$ , gelijk is aan het vierde deel gedeeld door het getal $A$ .
$O p l o s s i n g$
We splitsen $45$ als $8 + 12 + 5 + 20$ waarbij, met $A = 2$ geldt : $8 + 2 = 12 - 2 = 5 * 2 = 20 / 2 = 10$
De algemene oplossing luidt als volgt : Als er een getal $N$ is dat kan geschreven worden als $(A + 1)^{2} * L / A$ , dan
kan dit getal gesplitst worden op de aangegeven wijze waarbij $A$ het getal is dat achtereenvolgens wordt opgeteld,
afgetrokken, vermenigvuldigd of deler is en $L$ het resultaat dat in de vier gevallen hetzelfde is. In het geval van
$N = 45$ ziet men dadelijk dat in de formule $(A + 1)^{2} * L / A$ de enige mogelijkheid is dat $(A + 1)^{2} = 9$ , waaruit
$A = 2$ . De waarde van $L$ volgt dan uit $L = N * A / (A + 1)^{2}$ , hier dus $L = 45 * 2 / 9 = 10$ .

45.13

$\begin{aligned} 5 * 9 & = 45 \\ 55 * 99 & = 5445 \\ 555 * 999 & = 554445 \\ 5555 * 9999 & = 55544445 \\ 55555 * 99999 & = 5555444445 \\ \dots & = \dots \end{aligned}$

45.14

○–○–○

45^{2} = 2025

20 + 25 = 45

45^{3} = 91125

9 + 11 + 25 = 45

45^{4} = 4100625

4 + 10 + 0 + 6 + 25 = 45

45^{5} = 184528125 en 1 + 8 + 4 + 5 + 2 + 8 + 12 + 5 = 45

45^{6} = 8303765625 en 8 + 3 + 0 + 3 + 7 + 6 + 5 + 6 + 2 + 5 = 45

45^{7} = 373669453125

? = 45

45^{8} = 16815125390625

? = 45

45^{9} = 756680642578125

? = 45

45.15

MERKWAARDIG

Als men in de uitdrukking $45^{2} = 2025$ alle cijfers (behalve de exponent) met $1$ vermeerdert, komt er $56^{2} = 3136$

45.16

45

als resultaat met breuken waarin de cijfers van

1

tot

9

exact één keer voorkomen : (

g e e n

oplossingen) :

45

als resultaat met breuken waarin de cijfers van

0

tot

9

exact één keer voorkomen : (

4

oplossingen) :

176580 / 3924 = 274185 / 6093 = 341820 / 7596 = 402165 / 8937 = 45

45.17

Men moet

45

tot minimaal de

1782

ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact

45

45

's verschijnen.
Terloops :

45

^{1782}

heeft een lengte van

2947

cijfers.

x = 1782

is de vierde van zes mogelijke oplossingen voor de diofantische vergelijking

x^{2} + 999 = y^{3}

. (OEIS A016107)
De waarde van

y

is dan

147

en die staan opgesomd in (OEIS A248481).

45.18

45 * 987679 = 44445555

(resultaat bestaat enkel uit vieren en vijven)

45.19

De eerste keer dat er $45$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $81463$
en $81509$ met aldus een priemkloof van $46 .$ (OEIS A000101.pdf)

45.20

$6$ $^{45}$ $= 103945637534048876111514866313854976$ is de hoogst gekende macht van $6$ waarbij geen cijfer $2$

voorkomt in de decimale expansie.

$4$ $^{45}$ $= 1237940039285380274899124224$ is de hoogst gekende macht van $4$ waarbij geen cijfer $6$ voorkomt

in de decimale expansie.

$5$ $^{45}$ $= 28421709430404007434844970703125$ is de hoogst gekende macht van $5$ waarbij geen cijfer $6$ voorkomt

in de decimale expansie.

45.21

Som der reciproken van partitiegetallen van $45$ is $1$ op vier wijzen

Twee partities hebben unieke termen.

$(1) 45 = 2 + 4 + 9 + 12 + 18$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18}$

$(2) 45 = 2 + 5 + 6 + 12 + 20$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20}$

$(3) 45 = 3 + 6 + 6 + 6 + 12 + 12$ en $1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}$

$(4) 45 = 4 + 4 + 6 + 6 + 10 + 15$ en $1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

(OEIS A125726)

45.22

Vermenigvuldiging van $45$ met een pandigitaal getal is een binair uitziend decimaal getal (alleen cijfers $0$ en $1$ )
$45 * 2469135780 = 111111110100$

45.23

Som Der Cijfers ( $s d c$ ) van $k^{45}$ is gelijk aan het grondtal $k$ . De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$s d c (360^{45}) = 360 s d c (503^{45}) = 503 s d c (523^{45}) = 523$

45.24

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $45$ enkel met operatoren $+, -, *, /, ()$
$45 = (4 + 4) * 5 + 5$

45.25

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$45 = (1 + 1) * (11 + 11) + 1$
$45 = 2 * 22 + 2 / 2$
$45 = 3 + 3 * 3 + 33$
$45 = 44 + 4 / 4$
$45 = 55 - 5 - 5$
$45 = 666 / 6 - 66$
$45 = 7 * 7 + 7 - 77 / 7$
$45 = 8 * 8 - 8 - 88 / 8$
$45 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9$

45.26

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$
$45 = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$

45.27

$45$	$3^{2} * 5$	$6$	$78$
	$1, 3, 5, 9, 15, 45$
	$101101_{2}$	$55_{8}$	$2$ D $_{16}$
	$D (9) = 45$

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR