Allemaal Getallen Index 0045

$45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$als som van opeenvolgende gehele getallen op $5$ verschillende wijzen :

$\qquad\;\,$En $45$ is het kleinste getal met die eigenschap.

\begin{cases} 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9\\ 45=5+6+7+8+9+10\\ 45=7+8+9+10+11\\ 45=14+15+16\\ 45=22+23 \end{cases}

$45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+7+9+11+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+15+17$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$45=(1+2+3+4+5)*3$

$45=((0;0;3;6)\,(0;2;4;5)\,(1;2;2;6)\,(2;3;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}$

$45=(1^2+2^2)*3^2$

$45=1^3+1^3+2^3+2^3+3^3=(0;0;0;0;1;1;2;2;3)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}$

$45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6!/4^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10!/(8!*2!)$

$45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]-6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21^3-96^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{23^2-22^2}$

45.1

$45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van drie derdemachten)

$\qquad\;\,26$ oplossingen bekend

$\qquad\;\,$References Sum of Three Cubes

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2^3+(-3)^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{256^3+533^3+(-552)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1709^3+2025^3+(-2369)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-12312)^3+(-13411)^3+16234^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{154099^3+258003^3+(-275161)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{273333^3+459446^3+(-489662)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-860158)^3+(-940266)^3+1136437^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1315652^3+1342485^3+(-1674692)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{86081710^3+102227717^3+(-119493282)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-123493474)^3+(-381520352)^3+385785453^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-146621723)^3+(-574898442)^3+578060030^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1145479270)^3+(-1895623019)^3+2025889734^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-362904919)^3+(-3558232823)^3+3559490691^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2490196381^3+3265611834^3+(-3690580060)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{3178849832^3+11960491516^3+(-12034877739)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{9726334293^3+12079868900^3+(-13895238608)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-10238155084)^3+(-36526273598)^3+36792451581^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-108801445500)^3+(-650891037163)^3+651902829148^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-340822285446)^3+(-626019815356)^3+658028653213^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1749427939757^3+2373835729374^3+(-2655744666188)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{148889850027^3+4195858382209^3+(-4195920874423)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{26430282071^3+15641865280393^3+(-15641865305547)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{555063360462^3+17258087524486^3+(-17258278913179)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{29192832801309^3+201740576584264^3+(-201944132075062)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{71092899016882^3+362017886690301^3+(-362929486486024)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{56258330079722^3+383311547850666^3+(-383715080171099)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van vijf vijfdemachten)

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{1^n+2^5+13^5+16^5+(-17)^5}~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-662)^5+730^5+1165^5+1721^5+(-1769)^5}$

45.2

$45$ is het enige getal dat gelijk is aan $5$ maal de som van zijn cijfers. Zie ook bij

45.3

Als som met de vier operatoren $+-*\;/$
$45=(10+2)+(10-2)+(10*2)+(10/2)$
Voor een andere vorm van splitsing, zie verderop de puzzel

45.4

De som van de cijfers van $1$ tot en met $9$ is $45$.
Bovendien is $987654321-123456789=864197532$ en dit verschil bevat ook de $9$ verschillende cijfers.

45.5

$45$ kan op slechts één wijze geschreven worden als som van twee priemgetallen :

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&43\\ \\ \end{matrix} \right. $$

$45$ kan op $12$ verschillende wijzen als som van drie priemgetallen worden geschreven.
In vet staan de zes gevallen aangegeven, waarbij de drie priemgetallen verschillend zijn :

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&41\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{29}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{23}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{29}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{23}\\ &7&+&7&+&31\\ &7&+&19&+&19\\ &11&+&11&+&23\\ &11&+&17&+&17\\ &13&+&13&+&19 \end{matrix} \right. $$

45.6

$45^2=2025$ en de twee helften van dit kwadraat opgeteld levert $20+25=45$ terug. Hetzelfde vinden we

bij $55^2=3025~~$ en $~~99^2=9801~~$ (zgn. Kaprekargetallen)

De volgende YouTube Video's onthullen veel meer eigenschappen in verband met het getal $2025$

Crazy Facts About the Number 2025

5 facts about 2025 that will surprise you

7 Beautiful Patterns Behind The Unique Mathematical Year 2025!

2025 is a Strange Number

A New Year 2025 Math Fact

De volgende URL's onthullen ook spectaculaire feiten in verband met het getal $2025$

Mathematics of 25 and 2025 in Numbers by Inder J. Taneja (part 1)

Mathematics of 25 and 2025 in Magic Squares by Inder J. Taneja (part 2)

45.7

$45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}91152\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9+11+25)^3$

$45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^3+30^3+40^3$

$45^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

\begin{cases} 1^4+2^4+12^4+24^4+44^4=\\ 1^4+8^4+24^4+36^4+38^4=\\ 4^4+4^4+26^4+27^4+42^4=\\ 6^4+6^4+18^4+36^4+39^4=\\ 12^4+18^4+24^4+27^4+42^4=\\ 18^4+18^4+27^4+36^4+36^4 \end{cases}

$45^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4100625$ : deze vierdemacht is de opeenvolging van drie kwadraten : $4=2^2\;;100=10^2$ en $625=25^2$

45.8

$45$ is één van de $8$ getallen van $2$ cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de eenheden :

$45=9*5$. De andere getallen zijn $12,15,24,25,35,36$ en $48$.

Zie bij

Hierbij beperkt men het veelvoud tot een getal van één cijfer. Als men grotere veelvouden toelaat dan zijn meerdere

oplossingen mogelijk, bvb. $4\mathbf{4}=11*\mathbf{4}\;;$ $6\mathbf{3}=21*\mathbf{3}\;;6\mathbf{5}=13*\mathbf{5}$ enz.

45.9

$45^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^6][9^3][27^2]+[6^4][36^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}51^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}53^2-28^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55^2-10^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}75^2-60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99^2-6^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}117^2-108^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad~~~205^2-200^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}339^2-336^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}531^2-6^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}855^2-90^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1013^2-1012^2$

$45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}54^2+297^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135^2+270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}309^2-66^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}315^2-90^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}405^2-270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}427^2-302^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}603^2-522^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad~~~645^2-570^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{1035^2-990^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1701^2-1674^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1835^2-1810^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3045^2-3030^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5067^2-5058^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad~~~9115^2-9110^2$

45.10

Voor een bijzondere eigenschap van $45$, zie bij

45.11

Er zijn acht rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan $45$ één van de zijden is :
$(27;36;45),(24;45;51),(28;45;53),(45;60;75),(45;108;117),(45;200;205),(45;336;339),(45;1012;1013)$

45.12

EEN PUZZEL

$\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}$
Splits $45$ in $4$ delen zo dat het eerste deel opgeteld bij een getal $A$ gelijk is aan het tweede deel verminderd met $A$,
gelijk is aan het derde deel vermenigvuldigd met het getal $A$, gelijk is aan het vierde deel gedeeld door het getal $A$.
$\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}$
We splitsen $45$ als $8+12+5+20$ waarbij, met $A=2$ geldt : $8+2=12-2=5*2=20/2=10$
De algemene oplossing luidt als volgt : Als er een getal $N$ is dat kan geschreven worden als $(A+1)^2*L/A$, dan
kan dit getal gesplitst worden op de aangegeven wijze waarbij $A$ het getal is dat achtereenvolgens wordt opgeteld,
afgetrokken, vermenigvuldigd of deler is en $L$ het resultaat dat in de vier gevallen hetzelfde is. In het geval van
$N=45$ ziet men dadelijk dat in de formule $(A+1)^2*L/A$ de enige mogelijkheid is dat $(A+1)^2=9$, waaruit
$A=2$. De waarde van $L$ volgt dan uit $L=N*A/(A+1)^2$, hier dus $L=45*2/9=10$.

45.13

\begin{align} 5*9&=\mathbf{4}5\\ 55*99&=5\mathbf{44}5\\ 555*999&=55\mathbf{444}5\\ 5555*9999&=555\mathbf{4444}5\\ 55555*99999&=5555\mathbf{44444}5\\ \cdots&=\cdots \end{align}

45.14

○–○–○

$45^2=2025~~$ en $~~20+25=45$
$45^3=91125~~$ en $~~9+11+25=45$
$45^4=4100625~~$ en $~~4+10+0+6+25=45$
$\bbox[2px,border:1px solid green]{45^5=184528125~~~\text{en}~~~1+8+4+5+2+8+12+5=45}$
$\bbox[2px,border:1px solid green]{45^6=8303765625~~~\text{en}~~~8+3+0+3+7+6+5+6+2+5=45}$
$45^7=373669453125~~$ en $~~?=45$
$45^8=16815125390625~~$ en $~~?=45$
$45^9=756680642578125~~$ en $~~?=45$

45.15

MERKWAARDIG

Als men in de uitdrukking $45^2=2025$ alle cijfers (behalve de exponent) met $1$ vermeerdert, komt er $56^2=3136$

45.16

$45$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $1$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($geen$ oplossingen) :

$45$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $0$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($4$ oplossingen) :
$176580/3924=274185/6093=341820/7596=402165/8937=45$

45.17

Men moet $45$ tot minimaal de $1782$ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact $45$ $45$'s verschijnen.
Terloops : $45$$^{1782}$ heeft een lengte van $2947$ cijfers.

$x=1782$ is de vierde van zes mogelijke oplossingen voor de diofantische vergelijking $x^2 + 999 = y^3$. (OEIS A016107)
De waarde van $y$ is dan $147$ en die staan opgesomd in (OEIS A248481).

45.18

$45*987679=44445555$ (resultaat bestaat enkel uit vieren en vijven)

45.19

De eerste keer dat er $45$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $81463$
en $81509$ met aldus een priemkloof van $46\,.~~$ (OEIS A000101.pdf)

45.20

$6$$^{45}$$~=~103945637534048876111514866313854976$ is de hoogst gekende macht van $6$ waarbij geen cijfer $2$

voorkomt in de decimale expansie.

$4$$^{45}$$~=~1237940039285380274899124224$ is de hoogst gekende macht van $4$ waarbij geen cijfer $6$ voorkomt

in de decimale expansie.

$5$$^{45}$$~=~28421709430404007434844970703125$ is de hoogst gekende macht van $5$ waarbij geen cijfer $6$ voorkomt

in de decimale expansie.

45.21

Som der reciproken van partitiegetallen van $45$ is $1$ op vier wijzen

Twee partities hebben unieke termen.

$(1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{45=2+4+9+12+18}~~$ en $~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{18}}$

$(2)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{45=2+5+6+12+20}~~$ en $~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{20}}$

$(3)~~45=3+6+6+6+12+12~~$ en $~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}$

$(4)~~45=4+4+6+6+10+15~~$ en $~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}$

(OEIS A125726)

45.22

Vermenigvuldiging van $45$ met een pandigitaal getal is een binair uitziend decimaal getal (alleen cijfers $0$ en $1$)
$\qquad45*2469135780=111111110100$

45.23

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{\large{45}}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$\qquad\qquad~sdc\left(360^{\large{45}}\right)=360\qquad\qquad~sdc\left(503^{\large{45}}\right)=503\qquad\qquad~sdc\left(523^{\large{45}}\right)=523$

45.24

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $45$ enkel met operatoren $+,-,*,/,()$
$45=(4+4)*5+5$

45.25

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9~~$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$\qquad\qquad45=(1+1)*(11+11)+1$
$\qquad\qquad45=2*22+2/2$
$\qquad\qquad45=3+3*3+33$
$\qquad\qquad45=44+4/4$
$\qquad\qquad45=55-5-5$
$\qquad\qquad45=666/6-66$
$\qquad\qquad45=7*7+7-77/7$
$\qquad\qquad45=8*8-8-88/8$
$\qquad\qquad45=9+9+9+9+9$

45.26

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$\qquad\qquad45=1+2+3+4+5+6+7+8+9$
$\qquad\qquad45=9+8+7+6+5+4+3+2+1$

45.27

\(45\)	\(3^2*5\)	\(6\)	\(78\)
	\(1,3,5,9,15,45\)
	\(101101_2\)	\(55_8\)	\(2\)D\(_{16}\)
	\(D(9)=45\)

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR