\(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)als som van opeenvolgende gehele getallen op \(5\) verschillende wijzen : \(\qquad\;\,\)En \(45\) is het kleinste getal met die eigenschap. \begin{cases} 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9\\ 45=5+6+7+8+9+10\\ 45=7+8+9+10+11\\ 45=14+15+16\\ 45=22+23 \end{cases} \(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+7+9+11+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+15+17\) (som van opeenvolgende onpare getallen) \(45=(1+2+3+4+5)*3\) \(45=((0;0;3;6)\,(0;2;4;5)\,(1;2;2;6)\,(2;3;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}\) \(45=(1^2+2^2)*3^2\) \(45=1^3+1^3+2^3+2^3+3^3=(0;0;0;0;1;1;2;2;3)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\) \(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6!/4^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10!/(8!*2!)\) \(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]-6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21^3-96^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{23^2-22^2}\) | 45.1 | |
\(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad\;\,26\) oplossingen bekend \(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes \(45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{1^n+2^5+13^5+16^5+(-17)^5}~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-662)^5+730^5+1165^5+1721^5+(-1769)^5}\) | 45.2 | |
| \(45\) is het enige getal dat gelijk is aan \(5\) maal de som van zijn cijfers. Zie ook bij | 45.3 | |
| Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\) \(45=(10+2)+(10-2)+(10*2)+(10/2)\) Voor een andere vorm van splitsing, zie verderop de puzzel | 45.4 | |
| De som van de cijfers van \(1\) tot en met \(9\) is \(45\). Bovendien is \(987654321-123456789=864197532\) en dit verschil bevat ook de \(9\) verschillende cijfers. | 45.5 | |
| \(45\) kan op slechts één wijze geschreven worden als som van twee priemgetallen :
$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&43\\ \\ \end{matrix} \right. $$ \(45\) kan op \(12\) verschillende wijzen als som van drie priemgetallen worden geschreven.In vet staan de zes gevallen aangegeven, waarbij de drie priemgetallen verschillend zijn : $$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&41\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{29}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{23}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{29}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{23}\\ &7&+&7&+&31\\ &7&+&19&+&19\\ &11&+&11&+&23\\ &11&+&17&+&17\\ &13&+&13&+&19 \end{matrix} \right. $$ | 45.6 | |
\(45^2=2025\) en de twee helften van dit kwadraat opgeteld levert \(20+25=45\) terug. Hetzelfde vinden we bij \(55^2=3025~~\) en \(~~99^2=9801~~\) (zgn. Kaprekargetallen) De volgende YouTube Video's onthullen veel meer eigenschappen in verband met het getal \(2025\) Crazy Facts About the Number 2025 5 facts about 2025 that will surprise you 7 Beautiful Patterns Behind The Unique Mathematical Year 2025! De volgende URL's onthullen ook spectaculaire feiten in verband met het getal \(2025\) Mathematics of 25 and 2025 in Numbers by Inder J. Taneja (part 1) Mathematics of 25 and 2025 in Magic Squares by Inder J. Taneja (part 2) | 45.7 | |
\(45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}91152\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9+11+25)^3\) \(45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^3+30^3+40^3\) \(45^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \begin{cases} 1^4+2^4+12^4+24^4+44^4=\\ 1^4+8^4+24^4+36^4+38^4=\\ 4^4+4^4+26^4+27^4+42^4=\\ 6^4+6^4+18^4+36^4+39^4=\\ 12^4+18^4+24^4+27^4+42^4=\\ 18^4+18^4+27^4+36^4+36^4 \end{cases} \(45^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4100625\) : deze vierdemacht is de opeenvolging van drie kwadraten : \(4=2^2\;;100=10^2\) en \(625=25^2\) | 45.8 | |
\(45\) is één van de \(8\) getallen van \(2\) cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de eenheden : \(45=9*5\). De andere getallen zijn \(12,15,24,25,35,36\) en \(48\). Zie bij Hierbij beperkt men het veelvoud tot een getal van één cijfer. Als men grotere veelvouden toelaat dan zijn meerdere oplossingen mogelijk, bvb. \(4\mathbf{4}=11*\mathbf{4}\;;\) \(6\mathbf{3}=21*\mathbf{3}\;;6\mathbf{5}=13*\mathbf{5}\) enz. | 45.9 | |
\(45^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^6][9^3][27^2]+[6^4][36^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}51^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}53^2-28^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55^2-10^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}75^2-60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99^2-6^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}117^2-108^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~205^2-200^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}339^2-336^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}531^2-6^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}855^2-90^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1013^2-1012^2\) \(45^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}54^2+297^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135^2+270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}309^2-66^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}315^2-90^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}405^2-270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}427^2-302^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}603^2-522^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~645^2-570^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{1035^2-990^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1701^2-1674^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1835^2-1810^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3045^2-3030^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5067^2-5058^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~9115^2-9110^2\) | 45.10 | |
| Voor een bijzondere eigenschap van \(45\), zie bij | 45.11 | |
| Er zijn acht rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan \(45\) één van de zijden is : \((27;36;45),(24;45;51),(28;45;53),(45;60;75),(45;108;117),(45;200;205),(45;336;339),(45;1012;1013)\) | 45.12 | |
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 45.13 | |
|
\begin{align} 5*9&=\mathbf{4}5\\ 55*99&=5\mathbf{44}5\\ 555*999&=55\mathbf{444}5\\ 5555*9999&=555\mathbf{4444}5\\ 55555*99999&=5555\mathbf{44444}5\\ \cdots&=\cdots \end{align} | 45.14 | |
○–○–○ \(45^2=2025~~\) en \(~~20+25=45\)\(45^3=91125~~\) en \(~~9+11+25=45\) \(45^4=4100625~~\) en \(~~4+10+0+6+25=45\) \(\bbox[2px,border:1px solid green]{45^5=184528125~~~\text{en}~~~1+8+4+5+2+8+12+5=45}\) \(\bbox[2px,border:1px solid green]{45^6=8303765625~~~\text{en}~~~8+3+0+3+7+6+5+6+2+5=45}\) \(45^7=373669453125~~\) en \(~~?=45\) \(45^8=16815125390625~~\) en \(~~?=45\) \(45^9=756680642578125~~\) en \(~~?=45\) | 45.15 | |
| MERKWAARDIG
Als men in de uitdrukking \(45^2=2025\) alle cijfers (behalve de exponent) met \(1\) vermeerdert, komt er \(56^2=3136\) | 45.16 | |
| \(45\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(geen\) oplossingen) : \(45\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(4\) oplossingen) : \(176580/3924=274185/6093=341820/7596=402165/8937=45\) | 45.17 | |
| Men moet \(45\) tot minimaal de \(1782\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(45\) \(45\)'s verschijnen. Terloops : \(45\)\(^{1782}\) heeft een lengte van \(2947\) cijfers. \(x=1782\) is de vierde van zes mogelijke oplossingen voor de diofantische vergelijking \(x^2 + 999 = y^3\). (OEIS A016107) De waarde van \(y\) is dan \(147\) en die staan opgesomd in (OEIS A248481). | 45.18 | |
| \(45*987679=44445555\) (resultaat bestaat enkel uit vieren en vijven) | 45.19 | |
De eerste keer dat er \(45\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(81463\) | 45.20 | |
\(6\)\(^{45}\)\(~=~103945637534048876111514866313854976\) is de hoogst gekende macht van \(6\) waarbij geen cijfer \(2\) voorkomt in de decimale expansie. \(4\)\(^{45}\)\(~=~1237940039285380274899124224\) is de hoogst gekende macht van \(4\) waarbij geen cijfer \(6\) voorkomt in de decimale expansie. \(5\)\(^{45}\)\(~=~28421709430404007434844970703125\) is de hoogst gekende macht van \(5\) waarbij geen cijfer \(6\) voorkomt in de decimale expansie. | 45.21 | |
Som der reciproken van partitiegetallen van \(45\) is \(1\) op vier wijzen Twee partities hebben unieke termen. \((1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{45=2+4+9+12+18}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{18}}\) \((2)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{45=2+5+6+12+20}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{20}}\) \((3)~~45=3+6+6+6+12+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{12}}\) \((4)~~45=4+4+6+6+10+15~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}\) | 45.22 | |
Vermenigvuldiging van \(45\) met een pandigitaal getal is een binair uitziend decimaal getal (alleen cijfers \(0\) en \(1\)) | 45.23 | |
Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{45}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we : \(\qquad\qquad~sdc\left(360^{\large{45}}\right)=360\qquad\qquad~sdc\left(503^{\large{45}}\right)=503\qquad\qquad~sdc\left(523^{\large{45}}\right)=523\) | 45.24 | |
Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(45\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\) | 45.25 | |
Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja). | 45.26 | |
Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) : | 45.27 | |
Het omgekeerde van \(2^{45}\) is een priemgetal \(\to{23888027348153}\) Pari/GP code : isprime(fromdigits(Vecrev(digits(2^45))))\(\to1=\) true | 45.28 | |
| Het kleinste getal dat exact \(45\) delers heeft is \(3600=2^4*3^2*5^2\). (OEIS A005179) | 45.29 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(45\) | \(3^2*5\) | \(6\) | \(78\) |
| \(1,3,5,9,15,45\) | |||
| \(101101_2\) | \(55_8\) | \(2\)D\(_{16}\) | |
| \(D(9)=45\) | |||
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 22 april 2025 |