\(41=20+21\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2+5^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16+25\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+5+7+11+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+13+17\) (som van opeenvolgende priemgetallen op twee verschillende wijzen –

\(\qquad\;\,\)het getal \(36\) is het kleinste getal met deze eigenschap. Zie bij )

\(41=((0;0;4;5)\,(0;1;2;6)\,(0;3;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#3\}\)

\(41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+2^2+4^2+4^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+2^2+2^2+2^2+2^2\)

\(41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;1;2;2;2;2;2)\,(0;1;1;1;1;1;1;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(41=1!^2+2!^2+3!^2\)

\(41=\sqrt{5*6*7*8+1}~~\) (product van vier opeenvolgende getallen plus \(1\) is een kwadraat) (OEIS A028387)

\(41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^4][4^2]+5^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2-2^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{21^2-20^2}\)

41.1

\(41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad\;\,\)In dit geval is \(m=4~~(+5)\).

\(41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-4)^3+(-4)^3+(-7)^3+8^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{17^3+17^3+23^3+(-28)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-7)^3+(-46)^3+(-52)^3+62^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{41^3+(-49)^3+(-127)^3+128^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{95^3+(-151)^3+(-151)^3+182^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-28)^3+(-127)^3+(-166)^3+188^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{104^3+116^3+161^3+(-190)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-52)^3+(-148)^3+(-175)^3+206^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-49)^3+(-154)^3+(-175)^3+209^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-58)^3+113^3+224^3+(-232)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-79)^3+(-154)^3+(-208)^3+236^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-7)^3+(-172)^3+(-232)^3+260^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-16)^3+(-175)^3+(-274)^3+296^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{35^3+(-232)^3+(-277)^3+323^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-64)^3+185^3+308^3+(-328)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{35^3+(-274)^3+(-277)^3+347^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{41^3+182^3+374^3+(-388)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{35^3+(-181)^3+(-382)^3+395^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{194^3+329^3+332^3+(-430)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-76)^3+377^3+392^3+(-484)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{203^3+335^3+407^3+(-484)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-187)^3+332^3+455^3+(-499)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-79)^3+(-421)^3+(-523)^3+602^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{377^3+434^3+467^3+(-619)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{209^3+302^3+602^3+(-634)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{56^3+257^3+632^3+(-646)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{479^3+(-553)^3+(-610)^3+659^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{305^3+329^3+650^3+(-697)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{416^3+(-427)^3+(-697)^3+701^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-121)^3+(-427)^3+(-667)^3+722^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-79)^3+(-307)^3+(-709)^3+728^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{311^3+467^3+686^3+(-769)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{170^3+(-316)^3+(-820)^3+833^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{362^3+638^3+665^3+(-844)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-325)^3+455^3+815^3+(-844)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-259)^3+527^3+824^3+(-883)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-7)^3+(-220)^3+(-940)^3+944^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-637)^3+(-658)^3+(-697)^3+959^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{209^3+404^3+968^3+(-994)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(41\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

41.2
De uitdrukking \(x^2-x+41\) levert priemgetallen op voor alle waarden van \(x=1\) tot \(40\). Voor \(41\) krijgt men
\(41^2-41+41=41^2=1681\) en dat is duidelijk een samengesteld getal. Zie ook bij 		41.3
\(41\) is het kleinste priemgetal waarvan de derde macht op twee verschillende wijzen kan geschreven worden
als een som van drie derdemachten : \(41^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}68921\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+17^3+40^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^3+32^3+33^3\). Het volgende priemgetal
met dezelfde eigenschap is \(229\) waarbij \(229^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}76^3+165^3+192^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}102^3+157^3+192^3\) 		41.4
\(41\) is het getal dat te voorschijn komt bij HET PROBLEEM VAN JOSEPHUS (genoemd naar de Joodse schrijver
Flavius Josephus). Het verhaal gaat als volgt : Josephus wordt samen met \(40\) andere soldaten belegerd en er wordt
tot collectieve zelfmoord besloten wegens uitzichtloosheid. De \(41\) soldaten zetten zich genummerd van \(1\) tot \(41\)
in een kring en beginnend van nummer \(1\) pleegt steeds de derde man uit de (resterende) kring zelfmoord. Dus eerst
pleegt nummer \(3\) zelfmoord, dan nummer \(6\), enzovoort. Josephus en een vriend willen echter blijven leven en
besluiten die plaatsen in te nemen zodat zij de uiteindelijke twee overlevenden zullen zijn. Het probleem van
Josephus bestaat er in om de veilige rangnummers te bepalen. In het bovenstaande probleem met \(N = 41\) personen
en \(k = 3\) waarbij elke derde persoon sterft zijn de 'overlevenden' de nummers \(16\) en \(31\). (Wikipedia) 		41.5
\(41\) kan niet uitgedrukt worden als som van twee priemgetallen.

\(41\) is het kleinste getal dat op \(11\) verschillende wijzen als som van drie priemgetallen kan worden voorgesteld.
In vet staan de zes gevallen aangeduid met drie verschillende priemgetallen :

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&37\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{23}\\ &7&+&17&+&17\\ &11&+&11&+&19\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{31}\\ &3&+&19&+&19\\ &5&+&5&+&31\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{29}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{23}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{19}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{17} \end{matrix} \right. $$

41.6

\(41^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]+40^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^5-38^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29^4-840^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}841^2-840^2\)

\(41^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}115^2+236^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}164^2+205^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}411^2-10^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{861^2-820^2}\)

41.7

\(41^2=1681\), d.i. \(16~(=4^2)\) en \(81~(=9^2)\) achter elkaar geschreven

\(41^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+17^3+40^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^3+32^3+33^3\)

41.8
\(2\,*\,41=1^4+3^4\) (\(41\) is het kleinste priemgetal \(P\) waarvoor de betrekking \(2\,*\,P=a^4+b^4\) geldt. Dergelijke getallen
heten “half-quartan” priemgetallen.
De lijst begint als volgt : \(41,313,353,1201,3593,4481,\ldots\) Dit is (OEIS A002646) ) 		41.9
Elk getal dat groter dan \(41\) is, is te schrijven als de som van \(4\) kwadraten, alle verschillend van \(0\). 41.10
Door aan \(41\) telkens een opeenvolgend veelvoud van \(2\) toe te voegen krijgt men een opeenvolging van een rij van priemgetallen die \(40\) getallen lang is : \begin{align} 41+2&=43\\ 43+4&=47\\ 47+6&=53\\ 53+8&=61\\ 61+10&=71\\ \cdots&=\cdots \end{align} De volledige rij ziet er zo uit : \(41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,251,281,313,347,383,421,461,503,547,593,641,691,\)
\(743,797,853,911,971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601\).
Het volgende getal, verkregen uit \(1601+80=1681\) is gelijk aan \(41^2\) zoals we hierboven reeds zagen en komt dus
niet voor in de rij (OEIS A005846). 		41.11
Alle veelvouden van \(41\) die vijf cijfers tellen (bvb. \(41\,*\,2027=83107\)) en waarvan we de cijfers cyclisch verwisselen (de volgorde van de cijfers blijft dezelfde, alleen het eerste cijfer varieert), blijken ook veelvouden van \(41\) te zijn. In het voorbeeld \(83107\) wordt achtereenvolgens \(31078=41\,*\,758;10783=41\,*\,263;07831=41\,*\,191;78310=41\,*\,1910\). 41.12
Er zijn twee rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde \(41\) is : \((9;40;41),(41;840;841)\) 41.13
Als \(D(n)\) het \(n\)-de driehoeksgetal is, dan is \(2\,*\,D(n)+41\) een priemgetal voor \(1{\;\leqslant\;}n{\;\leqslant\;}40\). 41.14
  EEN WEETJE  

Zowel \(~~41!+1~~\) de achtste in zijn soort \((k!+1)~\) (OEIS A002981)   als \(~~41+14!~~\) zijn priemgetallen.

41.15
  MERKWAARDIG  

Het verschil tussen \(41\) en zijn omgekeerde \(14\) is een perfecte derdemacht : \(41-14=27=3^3\). Het getal \(41\) is het kleinste priemgetal waarvoor dit geldt (als men het triviale \(11-11=0^3\) uitsluit).

41.16
De opdracht hier is een kerstboomstructuur te maken van top naar onder beginnend met \(41\) met telkens \(2\) elementen
links en rechts erbij in de volgende rijen. De centrale elementen (om in kerstboomsfeer te blijven : de stam) moeten
steeds een priemgetal zijn. Bovendien wordt elk centraal element gevormd aan de hand van een sequentiële progressie.
Hier is deze progressie ten opzichte van het startpriemgetal \(41:+2;+6;+12;+20;+30;+42;+56;+72;+\ldots\)
Achtereenvolgens is de toename tussen de centrale getallen onderling : \(2;4;6;8;10;12;\ldots\)
Deze toenames gaan goed tot en met het centrale priemgetal \(97\) komende van een toename van \(+16\). De volgende
toename levert dus \(97+18\) en dat is gelijk aan \(115\) wat een samengesteld getal is. De neerwaartse groei van de
kerstboom komt hiermee tot stilstand en we verkrijgen : \begin{matrix} &&&&&&&{\color{blue}{41}}\\ &&&&&&42&{\color{blue}{43}}&44\\ &&&&&45&46&{\color{blue}{47}}&48&49\\ &&&&50&51&52&{\color{blue}{53}}&54&55&56\\ &&&57&58&59&60&{\color{blue}{61}}&62&63&64&65\\ &&66&67&68&69&70&{\color{blue}{71}}&72&73&74&75&76\\ &77&78&79&80&81&82&{\color{blue}{83}}&84&85&86&87&88&89\\ 90&91&92&93&94&95&96&{\color{blue}{97}}&98&99&100&101&103&104&105\\ &&&&&&&{\color{lightblue}{▮\!\!▮}}\\ &&&&&&&{\color{lightblue}{▮\!\!▮}}\\ &&&&&&&{\color{lightblue}{▮\!\!▮}} \end{matrix} Met andere priemgetallen als startpunt krijgt men meestal kortere reeksen van priemgetallen :
Startend met \(3\) vindt men langs de "stam" : \(5; {\color{red}{9}}\to\) niet priem
Startend met \(5\) vindt men : \(7;13;{\color{red}{25}}\to\) niet priem
Startend met \(7\) vindt men : \({\color{red}{9}}\to\) niet priem
Startend met \(13\) vindt men : \({\color{red}{15}}\to\) niet priem
Startend met \(17\) vindt men : \(19; {\color{red}{25}}\to\) niet priem
Met \(11\) startend vindt men : \(13;17;23;31;{\color{blue}{41}};53;67;83;101;{\color{red}{121}}\to\) en dit vormt zelfs een iets langere stam met
priemgetallen dan startend met \({\color{blue}{41}}\). Merk op dat hier ook \({\color{blue}{41}}\) in de rij staat. 		41.17
\(41\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) :
\(~~(3^4+1)/2~~=~~41\,*\,(3-2)~~=~~(43-2)\,*\,1~~=~~3^{1+2}+4\) 		41.18
Men moet \(41\) tot minimaal de \(1837\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(41\) \(41\)'s verschijnen.
Terloops : \(41\)\(^{1837}\) heeft een priemlengte van \(2963\) cijfers. 		41.19
\(41\,*\,35=1435\) (zelfde cijfers aan weerszijden van het gelijkheidsteken) 41.20

De eerste keer dat er \(41\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(16141\)
en \(16183\) met aldus een priemkloof van \(42\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

41.21

\(11\)\(^{41}\)\(~=~4978518112499354698647829163838661251242411\) is de hoogst gekende macht van \(11\) waarbij geen cijfer \(0\)

voorkomt in de decimale expansie. (Zeroless powers) (OEIS A030706)

\(6\)\(^{41}\)\(~=~80204967233062404407033075859456\) is de hoogst gekende macht van \(6\) waarbij geen cijfer \(1\) voorkomt

in de decimale expansie.

41.22

Som der reciproken van partitiegetallen van \(41\) is \(1\) op vijf wijzen

Er zijn geen partities met unieke termen.

\((1)~~41=2+6+6+9+18~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{18}}\)

\((2)~~41=3+3+5+15+15~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{15}}\)

\((3)~~41=3+3+7+7+21~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{21}}\)

\((4)~~41=3+6+8+8+8+8~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{8}}\)

\((5)~~41=4+4+6+9+9+9~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{9}}\)

(OEIS A125726)

41.23

Primoriaal van \(41\) min \(1\) is een priemgetal.

\(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*{\color{blue}{41}}-1=304250263527209\)

(Wikipedia) (OEIS A006794)

41.24

\(41\) is de som van de 'som der delers' van de getallen van \(1\) tot \(7\) :

\((1)+(1+2)+(1+3)+(1+2+4)+(1+5)+(1+2+3+6)+(1+7)\)

(OEIS A024916)

41.25

\(41\)\(^{6}\)\(+41\)\(^{6}\)\(+41\)\(^{2}\)\(+41\)\(^{9}\)\(+41\)\(^{5}\)\(+41\)\(^{3}\)\(+41\)\(^{2}\)\(+41\)\(^{8}\)\(+41\)\(^{3}\)\(+41\)\(^{2}\)\(+41\)\(^{4}\)\(+41\)\(^{9}\)\(+41\)\(^{3}\)\(+41\)\(^{7}\)\(+41\)\(^{5}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}662953283249375~~\)(OEIS A236067)

41.26

\(41\) als expressie met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende volgorde.
\(1-2+3+4+5+6+7+8+9\)

37.37
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(41\)\(41\)\(2\)\(42\)
\(1,41\)
Priemgetal\(101001_2\)\(29_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 15 november 2024