\(32=2^5\to\) Machten van \(2\) kunnen nooit geschreven worden als som van opeenvolgende gehele getallen

\(32\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+7+9+11\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15+17\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(32=1+2+3+5+8+13\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

\(32=(0;0;4;4)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\)

\(32\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;0;2;2;2;2)\,(0;0;0;1;1;1;1;1;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(32=1^1+2^2+3^3\)

\(32=2!+3!+4!\)

\(32\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[peachpuff,3px]{[2^4][4^2]+[2^4][4^2]}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^6][4^3][8^2]-2^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]-7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^2-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^5-88^2\)

32.1

\(32\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad\;\,\)In dit geval is \(m=3~~(+5)\).

\(32\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{2^3+2^3+2^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{5^3+5^3+5^3+(-7)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{2^3+8^3+8^3+(-10)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-4)^3+14^3+20^3+(-22)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{14^3+17^3+20^3+(-25)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-7)^3+20^3+20^3+(-25)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-19)^3+29^3+53^3+(-55)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-28)^3+(-46)^3+(-58)^3+68^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-52)^3+65^3+92^3+(-97)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-64)^3+80^3+98^3+(-106)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-58)^3+68^3+140^3+(-142)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{14^3+122^3+164^3+(-184)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-22)^3+68^3+224^3+(-226)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-28)^3+143^3+230^3+(-247)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{5^3+98^3+248^3+(-253)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-118)^3+(-160)^3+(-220)^3+254^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{164^3+164^3+287^3+(-319)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-88)^3+(-175)^3+(-316)^3+335^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-160)^3+170^3+368^3+(-370)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{107^3+(-181)^3+(-391)^3+401^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{65^3+(-94)^3+(-430)^3+431^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{14^3+(-340)^3+(-358)^3+440^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{236^3+329^3+335^3+(-442)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{14^3+362^3+404^3+(-484)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-220)^3+254^3+485^3+(-493)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-268)^3+(-382)^3+(-400)^3+518^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{140^3+164^3+542^3+(-550)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-220)^3+(-409)^3+(-472)^3+569^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-412)^3+428^3+590^3+(-598)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-481)^3+506^3+590^3+(-607)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-172)^3+(-469)^3+(-520)^3+629^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{146^3+476^3+524^3+(-634)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-526)^3+560^3+608^3+(-634)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-103)^3+(-538)^3+(-577)^3+704^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-337)^3+(-340)^3+(-658)^3+713^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-88)^3+434^3+710^3+(-760)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{38^3+152^3+770^3+(-772)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{62^3+(-322)^3+(-823)^3+839^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{146^3+(-175)^3+(-865)^3+866^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-418)^3+452^3+893^3+(-901)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-226)^3+(-541)^3+(-844)^3+917^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-478)^3+(-700)^3+(-730)^3+944^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-427)^3+437^3+965^3+(-967)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-607)^3+(-706)^3+(-769)^3+1010^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-580)^3+722^3+956^3+(-1018)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{482^3+710^3+854^3+(-1030)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-517)^3+(-766)^3+(-808)^3+1037^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{305^3+830^3+872^3+(-1081)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-124)^3+(-733)^3+(-955)^3+1082^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(32\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{2^5+m^5+(-m)^5+n^5+(-n)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(als niet van deze vorm dan \(z\gt200)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{0^n+0^n+2^5+k^5+(-k)^5}~~(n\gt0)~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(als niet van deze vorm dan \(z\gt200)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{76^5+94^5+(-178)^5+(-236)^5+246^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{35^5+(-97)^5+125^5+257^5+(-258)^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-43)^5+(-257)^5+322^5+381^5+(-401)^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-104)^5+(-213)^5+332^5+478^5+(-491)^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-298)^5+(-351)^5+(-474)^5+(-500)^5+575^5}~~\) (Websource)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{32^5+(-254)^5+620^5+824^5+(-860)^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{59^5+(-100)^5+1086^5+1132^5+(-1275)^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-126)^5+(-950)^5+1142^5+1350^5+(-1414)^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{10^5+(-656)^5+776^5+1410^5+(-1418)^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{118^5+1022^5+(-1176)^5+(-1544)^5+1582^5}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-205)^5+831^5+(-1360)^5+(-2051)^5+2097^5}\)

32.2
\(32\) kan op verschillende wijzen geschreven worden als som van machten. Voorbeeld : vertrekkend van
de gelijkheid \(32=1^2+1^2+1^2+1^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2\) kan men hierin \(2^2\) vervangen
door \(4\) maal \(1^2\) ; \(2^2+2^2\) vervangen door \(2^3\) ; \(4*2^2\) vervangen door \(4^2\) ; enz. 		32.3
\(32\) als som van twee priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven) :

$$ 2~odd~primes \left[ \begin{matrix} &3&+&29\\ \\ &13&+&19 \end{matrix} \right. $$

\(32\) als som van drie priemgetallen (die bovendien verschillend zijn) :

$$ 3~dif\!ferent~primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{23}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{19}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{17} \end{matrix} \right. $$

32.4

\(32^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^9][8^3]+[2^9][8^3]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{11}-[2^{10}][4^5][32^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}68^2-60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}96^2-2^{13}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}130^2-126^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}257^2-255^2\)

\(32^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{14}][4^7][128^2]+[2^{14}][4^7][128^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{16}][4^8][16^4][256^2]-[2^{15}][8^5][32^3]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^5-2816^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28^3+104^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~192^2-[2^{12}][4^6][8^4][16^3][64^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}288^2-224^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{528^2-496^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1032^2-1016^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2052^2-2044^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~4098^2-4094^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8193^2-8191^2\)

32.5
Men heeft van het getal \(\Large\pi\) \(32\) decimalen nodig om alle cijfers van \(0\) tot \(9\) ten minste één maal te
hebben (\(\Large\pi\) = \(3,\underline{14}1\underline{5926}5\underline{3}5\underline{8}9\underline{7}932384626433832795\underline{0}\ldots\)). Zie ook bij 		32.6
\(32=2^5\to\) het merkwaardige is dat de som van de cijfers \(\;3+2=5\;\) dit is de exponent van \(2\) in de uitdrukking.
Het volgende soortgelijke geval doet zich voor met \(2^{70}\) (zie bij ) 		32.7
Met de cijfers \(2,3\) en \(4\) kan men op drie wijzen \(32\) bekomen \(=~~4^3/2~~=~~4*2^3~~=~~34-2\) 32.8

\(32^3=\underline{32}768\) en \(3+27-6+8=\underline{32}\)

\(32^4=1048576\to\) in deze uitdrukking komen alle cijfers, behalve \(9\), voor.

32.9
\begin{align} 32^2&=1024\\ 332^2&=110224\\ 3332^2&=11102224\\ 33332^2&=1111022224 \end{align} 32.10
Er zijn vier rechthoekige driehoeken met gehele zijden waarbij één zijde \(32\) is :
\((24;32;40),(32;60;68),(32;126;130),(32;255;257)\) 		32.11
  MERKWAARDIG  

\(32^4=1048576\) en \(49^4=5764801\) zijn twee vierdemachten met dezelfde cijfers.

32.12
\(32\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) :
\(75168/2349=32\)
\(32\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(16\) oplossingen) :
\(153792/4806=169728/5304=169824/5307=170496/5328=172608/5394=172896/5403=\)
\(179328/5604=182304/5697=182496/5703=193728/6054=193824/6057=209184/6537=\)
\(254016/7938=307584/9612=312480/9765=315072/9846=32\) 		32.13
Men moet \(32\) tot minimaal de \(1295\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(32\) \(32\)'s verschijnen.
Terloops : \(32\)\(^{1295}\) heeft een lengte van \(1950\) cijfers.
Met \(32\) maak je \(3+2=\color{blue}{\mathbf{5}}\) en \(3^2=\color{blue}{\mathbf{9}}\). De OEIS heeft een reeks met getallen waarbij die \(5\) en \(9\) naast elkaar staan.
Een term \(k\) kan maar deel uitmaken van deze reeks (OEIS A043254) als er bij het getal \(k-1\) geen \(5\) en \(9\) naast
elkaar staan. Laat het nu toeval zijn dat onze exponent \(12\color{blue}{\mathbf{95}}\) en lengte \(1{\color{blue}{\mathbf{95}}}0\) aan de voorwaarden voldoen. 		32.14
Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(32=(6+3)+(6-3)+(6*3)+(6/3)\)
\(32=(8+1)+(8-1)+(8*1)+(8/1)\) 		32.14
\(32\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) :
\(\qquad1*(34-2)~~=~~1*4*(3!+2)~~=~~1*(\sqrt4)^{2+3}~~=~~32*(\sqrt4-1)~~=~~31+(\sqrt4/2)~~=~~1*2^3+4!~~=\) \(\qquad41-3^2~~\) 		32.15

\(2^{32}-1=4294967295\) is het product van de vijf gekende Fermat priemgetallen \(3*5*17*257*65537~~(2^{2^n}+1)\).

(OEIS A019434) (Fermat-priemgetal)

\(2^{32}+1=4294967297\) is een Fermat getal \((2^{2^n}+1)\) en een semipriemgetal \(641*6700417\)

(OEIS A000215) (Fermatgetal)

32.16

Er is slechts \(1\) getal van tweeëndertig cijfers die gelijk is aan de som van de \(tweeëndertigste\) macht van zijn

cijfers : \(17333509997782249308725103962772=\)

\(1\)\(^{32}\)\(\,+\,7\)\(^{32}\)\(\,+\,3\)\(^{32}\)\(\,+\,3\)\(^{32}\)\(\,+\,3\)\(^{32}\)\(\,+\,5\)\(^{32}\)\(\,+\,0\)\(^{32}\)\(\,+\,9\)\(^{32}\)\(\,+\,9\)\(^{32}\)\(\,+\,9\)\(^{32}\)\(\,+\,7\)\(^{32}\)\(\,+\,7\)\(^{32}\)\(\,+\,8\)\(^{32}\)\(\,+\,2\)\(^{32}\)\(\,+\,2\)\(^{32}\)\(\,+\,4\)\(^{32}\)\(\,+\,9\)\(^{32}\)\(\,+\,3\)\(^{32}\)\(\,+\,\)

\(0\)\(^{32}\)\(\,+\,8\)\(^{32}\)\(\,+\,7\)\(^{32}\)\(\,+\,2\)\(^{32}\)\(\,+\,5\)\(^{32}\)\(\,+\,1\)\(^{32}\)\(\,+\,0\)\(^{32}\)\(\,+\,3\)\(^{32}\)\(\,+\,9\)\(^{32}\)\(\,+\,6\)\(^{32}\)\(\,+\,2\)\(^{32}\)\(\,+\,7\)\(^{32}\)\(\,+\,7\)\(^{32}\)\(\,+\,2\)\(^{32}\)

(OEIS A005188) (Narcissistic Number)

32.17

\(32!-1\) is een priemgetal, de achtste in zijn soort \((k!-1)~~\) (OEIS A002982)

32.18

Som der reciproken van partitiegetallen van \(32\) is \(1\) op één wijze en deze heeft unieke termen

\((1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{32=2+3+9+18}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{18}}\)

(OEIS A125726)

32.19

Alle getallen van \(1\) tot \(32\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheid

van producten van machten. Hier een voorbeeld uit de vele combinaties met verdeelsleutels \([7-9]\) en \([8-8]\). \begin{align} 8^1*10^{26}*27^{11}*15^{23}*16^{28}*24^{31}*5^6&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^{21}*25^{17}*9^{13}*30^7*18^2*32^{19}*12^{29}*4^{22}*20^{14}\\ 2^{13}*5^{11}*7^1*8^{26}*16^{19}*27^{29}*28^{22}*30^9&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^{31}*4^{25}*10^6*18^{15}*20^{14}*21^{23}*24^{12}*32^{17} \end{align}

32.20

\(32\)\(^{2}\)\(+32\)\(^{1}\)\(+32\)\(^{1}\)\(+32\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2112~~\) (OEIS A236067)

32.21
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Een man heeft binnen vier jaar tweemaal de leeftijd die had veertien jaar geleden. Wat is zijn leeftijd ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
leeftijd + \(4\) jaar = \(2\) * (leeftijd \(-\) \(14\) jaar)
Algebraïsch schrijven we dit beknopter :
lt + \(4\) = \(2\) * (lt\(-14\)) \(~~~~\to~~~~\) lt + \(4\) = \(2\) * lt\(-28\) \(~~~~\to~~~~\) \(-\)lt = \(-28-4\) \(~~~~\to~~~~\) lt=\(28+4\) \(~~~~\to~~~~\) \(\bbox[3px,border:1px green solid]{~leeftijd=32~}\)

32.22
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(32\)\(2^5\)\(6\)\(63\)
\(1,2,4,8,16,32\)
\(100000_2\)\(40_8\)\(20_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 20 november 2024