\(31=15+16\) (som van opeenvolgende gehele getallen)
\(31=7+11+13\) (som van opeenvolgende priemgetallen)
\(31=2+3+5+8+13\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)
\(31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+10+15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(3)+D(4)+D(5)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)
\(31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2+4+8+16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^0+2^1+2^2+2^3+2^4\) (som van opeenvolgende machten van \(2\))
\(31=((1;1;2;5)\,(2;3;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)
\(31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;1;1;1;1;3)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)
\(31=(6!+4!)/4!\)
\(31=5^0+5^1+5^2\)
\(31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5-1\)
\(31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{[2^8][4^4][16^2]-15^2}\)
\(31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)
\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes
\(\qquad\;\,\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.
\(\qquad\;\,\)In dit geval is \(m=3~~(+4)\).
\(31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)
\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)
\(31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{0^n+(-1)^5+2^5+k^5+(-k)^5}~~(n\gt0)~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{10^5+(-20)^5+(-20)^5+(-33)^5+34^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-20)^5+29^5+(-40)^5+(-53)^5+55^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{512^5+543^5+612^5+634^5+(-770)^5}\)
\(31=16^2-15^2\to\) Een dergelijke betrekking (verschil van twee opeenvolgende kwadraten) geldt voor elk oneven getal.
\(\qquad\;\,\)Noem bvb. de opeenvolgende kwadraten \(\text{N}^2\) en \((\text{N}+1)^2\). Dan is \((\text{N}+1)^2-\text{N}^2=2\text{N}+1\) en dat is een
\(\qquad\;\,\)oneven getal. In het voorbeeld is \(2\text{N}+1=31\), dus \(\text{N}=15\) en \(\text{N}+1=16\).
\(\qquad\;\,\)Alles wordt ook nog eens extra belicht via een gearceerd bruin kadertje. Zie ook bij en
\(31^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(961\)
\(31^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}155^3-1922^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{496^2-465^2}\)
\(\underline{31}^5=28629151\) en \(2+8+6+2+9+1+5+1=\mathbf{3{\raise0.5pt{4}}}\)
\(\mathbf{3{\raise0.5pt{4}}}^5=45435424\) en \(4+5+4+3+5+4+2+4=\underline{31}\)
\(\underline{31}^7=27512614111\) en \(2+7+5+1+2+6+1+4+1+1+1=\underline{31}\)
$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&29\\ \\ \end{matrix} \right. $$
\(31\) als som van drie priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven).In vet staan vier gevallen aangegeven, waarbij de priemgetallen verschillend zijn : :
$$ 3~odd~primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{17}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{19}\\ &5&+&13&+&13\\ &7&+&7&+&17\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{13} \end{matrix} \right. $$
\(31^2*325=312325\) (zelfde cijfers)
twee verschillende getallen, namelijk \(16\) en \(25\) (toevallig ook kwadraten). Er geldt immers \(31=1+2+4+8+16\)
(delers van \(16\)) \(=1+5+25\) (delers van \(25\)).
\(N=A*B\) waarbij \(A\) en \(B\) priemgetallen zijn; bvb. \(91=7*13\)). Vanaf \(34\) zijn de semi-priemgetallen
in de meerderheid.
De \(11\) priemgetallen \(\lt34\) zijn : \(2;3;5;7;11;13;17;19;23;29\) en \({\color{blue}{31}}\)
De \(11\) semi-priemgetallen \(\lt34\) zijn : \(4;6;9;10;14;15;21;22;25;26\) en \(33\)
De algemeen gebruikte benadering met \(22/7=3,142857\ldots\) is dus minder nauwkeurig dan \(\root{\raise3pt{\large3}}\of{31}\)
\begin{align} &31=priem\\ &331=priem\\ &3331=priem\\ &33331=priem\\ &333331=priem\\ &3333331=priem\\ &33333331=priem\\ \text{Jammer genoeg stopt het hierna want}~~&333333331 = 17 * 19607843 \end{align}
\(~~43-12~~=~~34-2-1~~=~~32+1-\sqrt4~~=~~4!+1+(3*2)~~=~~31+2-\sqrt4~~=~~3^{1+2}+4\)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Schrijf het getal \(31\) met \(5\) drieën.
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
\(3/3+3+3^3\) en ook \(33-3+3/3\)
volgende vermenigvuldiging \(032258*2=064516\), d.w. z. het tweede stukje in de decimale ontwikkeling :
\(0,032258064516129032258064516129\ldots\) Verdubbeling geeft telkens het volgende stuk : \(064516*2=129032\);
\(129032*2=258064\). Tenslotte is \(258064*2+1=516129\), het laatste stuk.
\(31\) kan worden geschreven als som van opeenvolgende machten van een bepaald getal,
en wel op twee verschillende wijzen :
\(31~~=~~5^0+5^1+5^2~~=~~2^0+2^1+2^2+2^3+2^4\)
Er is slechts één ander getal bekend met dezelfde eigenschap :
\(8191~~=~~90^0+90^1+90^2~~=~~2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}+2^{11}+2^{12}\)
Beide getallen zijn bovendien MERSENNE-priemgetallen : \(31=2^5-1\) en \(8191=2^{13}-1\)
In deze Youtube Video 31 and Mersenne Primes - Numberphile wordt een verband uitgelegd door
James Grime tussen de Mersenne priemgetallen en de perfecte getallen.
Er zijn \(31\) getallen die niet kunnen geschreven worden als de som van VERSCHILLENDE kwadraten. Hier zijn ze :
\(2;3;6;7;8;11;12;15;18;19;22;23;24;27;28;31;32;33;43;44;47;48;60;67;72;76;92;96;108;112\) en \(128\).
Bijvoorbeeld : \(44=4+4+36\) maar \(45=9+36\)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
De Franse wiskundige Edouard LUCAS citeert in een van zijn boeken het volgende
(gefantaseerde) verhaal. In de stad Benares staat een tempel waar boeddhistische priesters een
eigenaardig ritueel uitvoeren. Op een altaar staan drie vertikale diamanten naalden. Op de meest linkse
naald liggen \(64\) gouden schijven, waarbij een kleinere schijf rust op een grotere. De priesters verplaatsen
dagelijks onafgebroken de schijven waarbij de beide andere naalden als tussenstations kunnen dienen.
Slechts één regel geldt : een schijf mag nooit op een kleinere schijf gelegd worden. Als alle \(64\) schijven
verplaatst zijn naar een andere naald -zegt de legende- zal de wereld vergaan.
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Laat ons het probleem met bvb. \(5\) schijven bekijken. We nummeren de schijven van \(1\) (kleinste) tot \(5\) (grootste).
De beginstand is centraal bovenaan aangegeven. In de onderste kaders staan de volgnummers van de bewegingen.
Klikken op de startpositie activeert een korte animatie van de bewegingen. Toets \(F5\) zet alles terug in de beginstand.
|
❶ ❷ ❸ ❹ ❺ ➖ |
┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ➖ |
┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ➖ |
| Startpositie | ||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ➖ |
┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ➖ |
❶ ❷ ❸ ❹ ❺ ➖ |
| Endmove 31 | ||
Er zijn in totaal \(31\) bewegingen nodig voor \(5\) schijven, d.w.z. \(2^5-1\) bewegingen.
Voor de schijven in Benares zijn dus \(2^{64}-1\) bewegingen nodig (op voorwaarde dat nergens een fout wordt
gemaakt!). Het juiste getal vindt men bij vermeld, maar als deze legende juist is, is de ondergang van de
wereld nog lang niet voor binnenkort.
Bovenstaand raadsel is bekend als “De Toren van Hanoi” of “De Toren van Brahma” of simpelweg
“De Toren van Lucas”.
Volgende observatie toont aan dat ongenuanceerd veralgemenen tot verkeerde resultaten kan leiden.
Men neme een cirkel en duidt twee punten aan op de omtrek. Er is één verbindingslijn en de cirkel wordt
in twee delen verdeeld.
Neemt men drie punten op de omtrek dan kan men drie verbindinglijnen tekenen en worden maximaal \(4\)
gebieden afgebakend door de verbindingslijnen. Met \(4\) punten vindt men \(6\) verbindingslijnen en maximaal
\(8\) gebieden afgebakend. Met \(5\) punten zijn er \(10\) verbindingslijnen en maximaal \(16\) gebieden.
Men vindt dus voor de gebieden de opeenvolgende rij : \(2,4,8,16\).
Het is verleidelijk om deze rij verder te zetten (klaarblijkelijk staat er \(2^1,2^2,2^3,2^4,\ldots\)) met \(2^5=32\).
Welnu, dat is verkeerd. Het maximum aantal gebieden is namelijk \(31\) (de rij gaat verder met \(57,99,\ldots\))
(OEIS A000127)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Iemand verdeelt een aantal eieren onder \(5\) personen. De eerste krijgt de helft van het totaal
aantal eieren, plus een half ei. De tweede krijgt de helft van hetgeen overblijft, plus een half ei,
enzovoort tot de vijfde de helft van het totaal aantal eieren krijgt, plus een half ei. En dan zijn alle eieren
uitgedeeld, waarbij op te merken valt dat geen enkel ei gebroken diende te worden voor deze verdeling.
Hoeveel eieren waren er oorspronkelijk ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Men vertrekt van \(31\) eieren :
\begin{align}
31-(31/2+\frac{1}{2})&=15\\
15-(15/2+\frac{1}{2})&=7\\
7-(7/2+\frac{1}{2})&=3\\
3-(3/2+\frac{1}{2})&=1\\
1-(1/2+\frac{1}{2})&=0\\
\end{align}
De eerste kreeg dus \(16\) eieren, de tweede \(8\), de derde \(4\), de vierde \(2\) en de vijfde één ei.
Men merkt dat het totaal aantal eieren gegeven wordt door een macht van \(2\), verminderd met \(1\). In het
voorbeeld heeft men \(31=2^5-1\). De exponent (hier \(5\)) geeft aan onder hoeveel personen er wordt
verdeeld. De personen ontvangen \(1,2,4,8,\ldots\) of \(2^0,2^1,2^2,2^3,\ldots\) eieren.
Met bvb. \(8\) personen zou de verdeling over \(2^8-1=255\) eieren gaan waarbij de personen \(1,2,4,8,16,\)
\(32,64,128\) eieren ontvangen. Meer puzzels met eieren vindt men in het hoofdstuk Eieren en nog eens eieren
uit “Puzzelen met Getallen”.
Terloops : \(31\)\(^{1484}\) heeft een lengte van \(2214\) cijfers.
Wanneer we \(1484\) of \(2214\) tot de derdemacht verheffen dan zien we negen verschillende cijfers in de decimale expansie.
\(1484^3=3268147904\to\) enkel het cijfer \(5\) ontbreekt en \(2214^3=10852576344\to\) enkel het cijfer \(9\) ontbreekt.
(OEIS A235811)
\(31\) is het kleinste priemgetal waarvan het omgekeerde \((13)\) een kleiner priemgetal is
\(31^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}41^2+88^2-92^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^2+40^2+88^2-92^2\)
\(31^4=10^4+10^4+10^4+17^4+30^4\)
De eerste keer dat er \(31\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(5591\)
en \(5623\) met aldus een priemkloof van \(32\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)
Er zijn \(3\) getallen van eenendertig cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(eenendertigste\) macht van hun
cijfers : \(1145037275765491025924292050346=\)
\(1\)\(^{31}\)\(\,+\,1\)\(^{31}\)\(\,+\,4\)\(^{31}\)\(\,+\,5\)\(^{31}\)\(\,+\,0\)\(^{31}\)\(\,+\,3\)\(^{31}\)\(\,+\,7\)\(^{31}\)\(\,+\,2\)\(^{31}\)\(\,+\,7\)\(^{31}\)\(\,+\,5\)\(^{31}\)\(\,+\,7\)\(^{31}\)\(\,+\,6\)\(^{31}\)\(\,+\,5\)\(^{31}\)\(\,+\,4\)\(^{31}\)\(\,+\,9\)\(^{31}\)\(\,+\,1\)\(^{31}\)\(\,+\,0\)\(^{31}\)\(\,+\,2\)\(^{31}\)\(\,+\,\)
\(5\)\(^{31}\)\(\,+\,9\)\(^{31}\)\(\,+\,2\)\(^{31}\)\(\,+\,4\)\(^{31}\)\(\,+\,2\)\(^{31}\)\(\,+\,9\)\(^{31}\)\(\,+\,2\)\(^{31}\)\(\,+\,0\)\(^{31}\)\(\,+\,5\)\(^{31}\)\(\,+\,0\)\(^{31}\)\(\,+\,3\)\(^{31}\)\(\,+\,4\)\(^{31}\)\(\,+\,6\)\(^{31}\)
De overige twee getallen zijn \(1927890457142960697580636236639~\) en \(~2309092682616190307509695338915\)
\(8\)\(^{31}\)\(~=~9903520314283042199192993792\) is de hoogst gekende macht van \(8\) waarbij geen cijfer \(6\) voorkomt
in de de-topcimale expansie.
Gegeven dat zes punten op een cirkel verbonden worden door lijnen (diagonalen) dan is het grootste aantal regio's \(31\).
Deze ontdekking is bekend omdat het een patroon doorbreekt waarbij met minder punten het aantal regio's steeds een
macht van \(2\) is.
(Wikipedia) (How many regions can be formed by the chords joining n points on a circle?)
Som der reciproken van partitiegetallen van \(31\) is \(1\) op twee wijzen
Eén partitie heeft unieke termen.
\((1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{31=2+4+5+20}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{20}}\)
\((2)~~31=3+4+6+6+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}\)
\(\begin{align}31\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{137}{42}}\right)^3-\left({\frac{65}{42}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{277028111}{119531076}}\right)^3+\left({\frac{316425265}{119531076}}\right)^3\end{align}\)
(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)
\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581)
Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)
\(31\)\(^{1}\)\(+31\)\(^{7}\)\(+31\)\(^{8}\)\(+31\)\(^{8}\)\(+31\)\(^{3}\)\(+31\)\(^{2}\)\(+31\)\(^{0}\)\(+31\)\(^{0}\)\(+31\)\(^{3}\)\(+31\)\(^{7}\)\(+31\)\(^{3}\)\(+31\)\(^{7}\)\(+31\)\(^{3}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1788320037373~~\)(OEIS A236067)
\(31\) als expressie met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende volgorde.
\(1+2-3-4+5+6+7+8+9\)