\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+5+6+7+8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+7+8+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+10+11\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+4+6+8+10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8+10+12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14+16\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+17\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(30=2^1+2^2+2^3+2^4\) (som van opeenvolgende machten van \(2\))

\(30=(1*2*3)+(2*3*4)\)

\(30=1^2+2^2+3^2+4^2\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(30=((0;1;2;5)\,(1;2;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\;\;\!\qquad1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;0;1;1;1;3)\,(1;1;1;1;1;1;2;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\)

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5-2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^6-6\)

\(30=1*1*2*3*5\) (product van de eerste vijf getallen van FIBONACCI)

\(30=2*3*5\) en \((1/2+1/3+1/5)-(1/2*1/3*1/5)=1\)

\(30={\Large\frac{5!}{2^2}}={\Large\frac{120}{4}}\)

\(30=(3+0)+(3^3+0^3)\) (Zie (OEIS A065138) en 12.3 )

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33-3\) (identieke cijfers)

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}83^2-19^3~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,3\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-283059965)^3+(-2218888517)^3+2220422932^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-636600549515)^3+(-3977505554546)^3+3982933876681^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{190809268841284^3+656711689254565^3+(-662037799708799)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+(-1)^5+2^5+k^5+(-k)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(als niet van deze vorm dan \(z\gt200)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-12)^5+46^5+(-665)^5+(-777)^5+838^5}\)

\(30^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(900\)

\(30^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}165^2-15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}179^2-71^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}185^2-85^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}195^2-105^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}255^2-195^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}277^2-223^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}295^2-245^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\;\,393^2-357^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{465^2-435^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}685^2-665^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}759^2-741^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1131^2-1119^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1355^2-1345^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\;\,2253^2-2247^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3377^2-3373^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6751^2-6749^2\)

\(30^4=1924^2-40^4-24^4\)

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} &7&+&23\\ &11&+&19\\ &13&+&17 \end{matrix} \right. $$

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}\\ \\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{17} \end{matrix} \right. $$

\(30\) is een GIUGA-getal. Als men de som van de omgekeerden van de priemfactoren vermindert met het
omgekeerde van het product van de priemfactoren, dan bekomt men \(1\). Het voorbeeld zal het duidelijker maken :
De priemfactoren van \(30\) zijn \(2,3\) en \(5\); de omgekeerden zijn dus \(1/2,1/3\) en \(1/5\).
Het product van de priemfactoren is \(2*3*5\) en het omgekeerde is dus \(1/(2*3*5)\). Men heeft tenslotte dat

\(\Large{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2\,*\,3\,*\,5}}=\large{1}\)

Andere getallen van GIUGA met dezelfde eigenschap zijn \(858,1722,66198,2214408306,24423128562,\)
\(432749205173838,14737133470010574,550843391309130318,244197000982499715087866346\) (OEIS A007850)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Op een dansavond zijn samen \(30\) jongens en meisjes aanwezig. De eerste jongen danst met \(7\) meisjes,
de tweede met \(8\), de derde met \(9\), enz. tot de laatste met alle meisjes danst.
Hoeveel jongens en meisjes zijn er aanwezig ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Als de eerste jongen met één meisje, de tweede met twee meisjes, enz. zou dansen, dan
zouden er evenveel jongens als meisjes zijn. Maar de eerste danst met \(7\) meisjes, dat is \(6\) meer. We moeten
dus het totaal aantal personen \((= 30)\) met \(6\) verminderen en dan delen door \(2\).
Er zijn dus \((30-6)/2=12\) jongens en \(12+6=18\) meisjes.
De eerste jongen danst met \(7\) meisjes, en vervolgens
\begin{matrix} \text{Jongen nr.}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \text{Aantal meisjes}&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18 \end{matrix}

\(30~~{\color{blue}{\approx}}~~{\Large{\left({\ln_{\lower2pt{\huge\pi}}\,(125573+\sqrt{723})}\over{\pi\sqrt{\pi}}\right)^{\pi\sqrt{\pi}}}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29,999999996738397{\color{tomato}{577215}}522050072057721092\ldots\)

Deze mysterieuze benadering van \(30\) geleverd door Vinod Muleva is eigenlijk een totaal willekeurige vondst.

Als extra bonus ontdekte hij ook de eerste \(6\) cijfers van Euler's constante in de decimale expansie. Zie (OEIS A001620)

Pari/GP code : (log(125573+sqrt(723))/log(Pi)/(Pi*sqrt(Pi)))^(Pi*sqrt(Pi))

\(30!-1\) is een priemgetal, de zevende in zijn soort \((k!-1)~~\) (OEIS A002982)

Alle getallen van \(1\) tot \(30\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheid

van producten van machten. Hier een voorbeeld uit de vele combinaties met verdeelsleutels \([6-9]\) en \([7-8]\).

\(7\)\(^{30}\)\(~=~22539340290692258087863249\) is de hoogst gekende macht van \(7\) waarbij geen cijfer \(1\) voorkomt

in de decimale expansie.

Voor \(n=30~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+16) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(46)=72~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(30\) is de eerste oplossing uit de reeks \(30,55,138,174,204,205,264,350,355,460,1276,\ldots\)

Voor \(n=30~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+21) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(51)=72~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(30\) is de tweede oplossing uit de reeks \(20,30,38,44,94,114,1306305,\ldots\)

Voor \(n=30~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+25) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(55)=72~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(30\) is de eerste oplossing uit de reeks \(30,46,94,230,357,3998,5150,6878,\ldots\)

Zowel dodecaëders (\(12\) vijfhoeken) als icosaëders (\(20\) driehoeken) hebben \(30\) ribben. (Wikipedia)

Som der reciproken van partitiegetallen van \(30\) is \(1\) op twee wijzen

Eén partitie heeft unieke termen.

\((1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{30=2+3+10+15}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}\)

\((2)~~30=4+4+4+6+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}\)

(OEIS A125726)

\(\begin{align}30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{107}{57}}\right)^3+\left({\frac{163}{57}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{289}{93}}\right)^3-\left({\frac{19}{93}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{4769}{1446}}\right)^3-\left({\frac{2609}{1446}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\(2\)\(^{30}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=1073741827)\), de twaalfde in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732)

\(30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{9}\)\(+30\)\(^{7}\)\(+30\)\(^{0}\)\(+30\)\(^{5}\)\(+30\)\(^{6}\)\(+30\)\(^{2}\)\(+30\)\(^{4}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19705624111111~~\)(OEIS A236067)