Allemaal Getallen Index 0030

$30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+5+6+7+8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+7+8+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+10+11$ (som van opeenvolgende gehele getallen) $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+4+6+8+10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8+10+12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14+16$ (som van opeenvolgende pare getallen) $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+17$ (som van opeenvolgende priemgetallen) $30=2^1+2^2+2^3+2^4$ (som van opeenvolgende machten van $2$) $30=(123)+(234)$ $30=1^2+2^2+3^2+4^2$ (som van opeenvolgende kwadraten) $30=((0;1;2;5)\,(1;2;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}$ $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\;\;\!\qquad1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;0;1;1;1;3)\,(1;1;1;1;1;1;2;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}$ $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5-2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^6-6$ $30=11235$ (product van de eerste vijf getallen van FIBONACCI) $30=235$ en dus een primoriaal. Noteer ook dat $(1/2+1/3+1/5)-(1/21/31/5)=1$ $30=\sqrt{29*31+1}$ $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{5!}{2^2}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{120}{4}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{6!}{24}}$ $30=(3+0)+(3^3+0^3)$ (Zie (OEIS A065138) en ) $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33-3$ (identieke cijfers) $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}83^2-19^3~~$ (enige oplossing met limieten grondtal $9999$ en exponent $19$ )	30.1
$30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van drie derdemachten) $\qquad\;\,3$ oplossingen bekend $\qquad\;\,$References Sum of Three Cubes $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-283059965)^3+(-2218888517)^3+2220422932^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-636600549515)^3+(-3977505554546)^3+3982933876681^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{190809268841284^3+656711689254565^3+(-662037799708799)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van vijf vijfdemachten) $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+(-1)^5+2^5+k^5+(-k)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(als niet van deze vorm dan $z\gt200)$ $\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-12)^5+46^5+(-665)^5+(-777)^5+838^5}$	30.2
$30$ is $10$ maal de som van zijn cijfers (zie bij )	30.3
Priemviertallen zijn getallen van de vorm $p,\;p+2,\;p+6,\;p+8$ waarbij deze vier getallen allemaal priemgetallen zijn. Het kleinste priemviertal is $(5,7,11,13)$. Voor alle andere priemviertallen geldt dat ze van deze vorm zijn : $30n+11~~$;$~~30n+13~~$;$~~30n+17~~$;$~~30n+19~~$ (bvb : $101,103,107,109$)	30.4
$n^5-n$ is steeds een veelvoud van $30$; bvb. voor $n=12$ is $12^5-12=248832-12=30*8294$	30.5
$30^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $900$ $30^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}165^2-15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}179^2-71^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}185^2-85^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}195^2-105^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}255^2-195^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}277^2-223^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}295^2-245^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad\;\;\,393^2-357^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{465^2-435^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}685^2-665^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}759^2-741^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1131^2-1119^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1355^2-1345^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$ $\qquad\;\;\,2253^2-2247^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3377^2-3373^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6751^2-6749^2$	30.6
$30^4=1924^2-40^4-24^4$	30.7
$30$ als som van twee priemgetallen : $$ 2~primes \left[ \begin{matrix} &7&+&23\\ &11&+&19\\ &13&+&17 \end{matrix} \right. $$ $30$ als som van drie priemgetallen (die bovendien verschillend zijn) : $$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}\\ \\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{17} \end{matrix} \right. $$	30.8
$30$ is het product van de drie kleinste priemgetallen : $30=235$	30.9
Er zijn twee rechthoekige driehoeken waarvan de numerieke waarde van de omtrek en de oppervlakte dezelfde zijn. Eén van deze driehoeken heeft als zijden $(5;12;13)$ ; de omtrek is $5+12+13=30$ en de oppervlakte $5*12/2$ = eveneens $30$. Voor de andere driehoek zie bij (Formule van Heron)	30.10
Er zijn vijf rechthoekige driehoeken met gehele zijden waarbij $30$ één van de zijden is : $(16;30;34),(18;24;30),(30;40;50),(30;72;78),(30;224;226)$	30.11
Noteer voor elk getal de verzameling van alle getallen die kleiner zijn én die er ook relatief priem mee zijn (dat wil zeggen dat de grootste gemene deler $1$ is). $30$ is het grootste getal waarvoor deze verzameling uitsluitend uit priemgetallen bestaat. In het geval van $30$ zijn de volgende getallen én kleiner, én relatief priem : $7,11,13,17,19,23$ en $29$. De enige andere getallen waarvoor dit geldt (en die kleiner zijn) zijn $3,4,6,8,12,18$ en $24$. Zo heeft men bvb. $12$ (met de priemgetallen $5,7,11$) en $18$ (met de priemgetallen $5,7,11,13,17)$.	30.12
Alle priemgetallen groter dan $5$ kunnen geschreven worden als som van een veelvoud van $30$ en één van de volgende getallen : $1,7,11,13,17,19,23,23,29$ (op het getal $1$ na zijn dit allemaal priemgetallen kleiner dan $30$ en die relatief priem zijn met $30$). Een voorbeeld : priemgetal $2143=71*30+13$.	30.13
Men kan op $30$ verschillende wijzen de stippen of cijfers op een dobbelsteen aanbrengen. Bij de standaard dobbelsteen is de som van twee overstaande zijden steeds gelijk aan $7$. De standaard dobbelsteen, opengeplooid, ziet er zo uit : \begin{matrix} &&{\Huge\color{red}{⚂}}&\\ {\Huge\color{blue}{⚅}}&{\Huge\color{green}{⚄}}&{\Huge\color{blue}{⚀}}&{\Huge\color{green}{⚁}}\\ &&{\Huge\color{red}{⚃}}& \end{matrix}	30.14
WETENSWAARD $30$ is een GIUGA-getal. Als men de som van de omgekeerden van de priemfactoren vermindert met het omgekeerde van het product van de priemfactoren, dan bekomt men $1$. Het voorbeeld zal het duidelijker maken : De priemfactoren van $30$ zijn $2,3$ en $5$; de omgekeerden zijn dus $1/2,1/3$ en $1/5$. Het product van de priemfactoren is $235$ en het omgekeerde is dus $1/(235)$. Men heeft tenslotte dat $\Large{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2\,\,3\,\,5}}=\large{1}$ Andere getallen van GIUGA met dezelfde eigenschap zijn $858,1722,66198,2214408306,24423128562,$ $432749205173838,14737133470010574,550843391309130318,244197000982499715087866346$ (OEIS A007850)	30.15
EEN PUZZEL $\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}$ Op een dansavond zijn samen $30$ jongens en meisjes aanwezig. De eerste jongen danst met $7$ meisjes, de tweede met $8$, de derde met $9$, enz. tot de laatste met alle meisjes danst. Hoeveel jongens en meisjes zijn er aanwezig ? $\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}$ Als de eerste jongen met één meisje, de tweede met twee meisjes, enz. zou dansen, dan zouden er evenveel jongens als meisjes zijn. Maar de eerste danst met $7$ meisjes, dat is $6$ meer. We moeten dus het totaal aantal personen $(= 30)$ met $6$ verminderen en dan delen door $2$. Er zijn dus $(30-6)/2=12$ jongens en $12+6=18$ meisjes. De eerste jongen danst met $7$ meisjes, en vervolgens \begin{matrix} \text{Jongen nr.}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \text{Aantal meisjes}&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18 \end{matrix}	30.16
$30$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $1$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($geen$ oplossingen) : $30$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $0$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($2$ oplossingen) : $174690/5823=174960/5832=30$	30.17
Men moet $30$ tot minimaal de $3857$ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact $30$ $30$'s verschijnen. Hier moet een hogere exponent gebruikt worden als normaal want een veelvoud van $30$ produceert een sliert van nullen achteraan die nooit een grondtal kunnen herbergen. Terloops : $30$$^{3857}$ heeft een lengte van $5698$ cijfers.	30.18
Dezelfde cijfers komen voor in $30*51=1503$ (palindromische expressie)	30.19
$30$ schrijven met behulp van de cijfers $1,2,3$ en $ 4$ : $~~(1+4)*(2+3)~~=~~4!+3+2+1~~=~~31-\sqrt4/2$	30.20
$30~~{\color{blue}{\approx}}~~{\Large{\left({\ln_{\lower2pt{\huge\pi}}\,(125573+\sqrt{723})}\over{\pi\sqrt{\pi}}\right)^{\pi\sqrt{\pi}}}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29,999999996738397{\color{tomato}{577215}}522050072057721092\ldots$ Deze mysterieuze benadering van $30$ geleverd door Vinod Muleva is eigenlijk een totaal willekeurige vondst. Als extra bonus ontdekte hij ook de eerste $6$ cijfers van Euler's constante in de decimale expansie. Zie (OEIS A001620) Pari/GP code : *(log(125573+sqrt(723))/log(Pi)/(Pisqrt(Pi)))^(Pisqrt(Pi))*	30.21
$30!-1$ is een priemgetal, de zevende in zijn soort $(k!-1)~~$ (OEIS A002982)	30.22
Alle getallen van $1$ tot $30$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheid van producten van machten. Hier een voorbeeld uit de vele combinaties met verdeelsleutels $[6-9]$ en $[7-8]$. \begin{align} 7^812^{11}15^{21}16^{26}28^{17}30^{29}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^13^{27}4^{23}5^{18}9^610^{13}14^{25}20^{19}24^{22}\\ 7^19^{22}16^{26}21^{11}24^{10}28^{17}30^{13}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{19}3^{18}4^{23}6^{27}12^{25}14^{29}15^820^5 \end{align}	30.23
$7$$^{30}$$~=~22539340290692258087863249$ is de hoogst gekende macht van $7$ waarbij geen cijfer $1$ voorkomt in de decimale expansie.	30.24
$302$$^{30}$$\,-\,1~~$ is een Woodall priemgetal, de vierde in zijn soort ($k2^k-1$). (OEIS A002234) & (OEIS A003261)	30.25
Voor $n=30~~$ geldt $~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+16) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(46)=72~~~~({\large\sigma}$ of 'sigma' staat voor som der delers) $30$ is de eerste oplossing uit de reeks $30,55,138,174,204,205,264,350,355,460,1276,\ldots$ Voor $n=30~~$ geldt $~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+21) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(51)=72~~~~({\large\sigma}$ of 'sigma' staat voor som der delers) $30$ is de tweede oplossing uit de reeks $20,30,38,44,94,114,1306305,\ldots$ Voor $n=30~~$ geldt $~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+25) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(55)=72~~~~({\large\sigma}$ of 'sigma' staat voor som der delers) $30$ is de eerste oplossing uit de reeks $30,46,94,230,357,3998,5150,6878,\ldots$	30.26
Zowel dodecaëders ($12$ vijfhoeken) als icosaëders ($20$ driehoeken) hebben $30$ ribben. (Wikipedia)	30.27
Som der reciproken van partitiegetallen van $30$ is $1$ op twee wijzen Eén partitie heeft unieke termen. $(1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{30=2+3+10+15}~~$ en $~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}$ $(2)~~30=4+4+4+6+12~~$ en $~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}$ (OEIS A125726)	30.28
$\begin{align}30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{107}{57}}\right)^3+\left({\frac{163}{57}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{289}{93}}\right)^3-\left({\frac{19}{93}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{4769}{1446}}\right)^3-\left({\frac{2609}{1446}}\right)^3\end{align}$ (Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) $(x^3+y^3)/z^3=n~\to~$ [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581) Kleinste positieve oplossingen $~\to~$ [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)	30.29
$2$$^{30}$$\,+\,3$ is een priemgetal $(=1073741827)$, de twaalfde in zijn soort $(2^k+3)~~$ (OEIS A057732)	30.30
$30$$^{1}$$+30$$^{9}$$+30$$^{7}$$+30$$^{0}$$+30$$^{5}$$+30$$^{6}$$+30$$^{2}$$+30$$^{4}$$+30$$^{1}$$+30$$^{1}$$+30$$^{1}$$+30$$^{1}$$+30$$^{1}$$+30$$^{1}$$\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19705624111111~~$(OEIS A236067)	30.31
Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{\large{30}}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we : $\qquad\qquad~sdc\left(396^{\large{30}}\right)=396~~\to$ Unieke oplossing voor $k\gt1$.	30.32
Expressies met tweemaal de cijfers uit het getal $30$ $30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3$^^$0)+3*0\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+0!+prime(0!)$	30.33
De volgende vier termen, die een rekenkundige rij vormen beginnend met $30$ en een verschil van $36$, $30,66,102,138~~\to~~$ hebben allemaal drie verschillende priemfactoren. $(235),(2311),(2317),(2323)$	30.34
$30$ is een getal $n$ zodat de som van de cijfers van $n^2$ een kwadraat vormt $~~30^2=900\to9+0+0=9=3^2$	30.35
$30$ is de som van de cijfers van het $32ste$ fibonaccigetal $F_{32}=2178\underline{30}9~~$ en $~~2+1+7+8+3+0+9=30$	30.36
$30$ is het aantal partities van $9$ Pari/GP code : numbpart(9)	30.37
Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9~~$ (met dank aan Inder. J. Taneja). $\qquad\qquad30=(1+1+1)(11-1)$ $\qquad\qquad30=22+2(2+2)$ $\qquad\qquad30=3+3^3$ $\qquad\qquad30=4(4+4)-(4+4)/4$ $\qquad\qquad30=55+5$ $\qquad\qquad30=66-6$ $\qquad\qquad30=77-77+(7+7)/7$ $\qquad\qquad30=8+(88+88)/8$ $\qquad\qquad30=999/9-9*9$	30.38
Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) : $\qquad\qquad30=1^{2345}*6+7+8+9$ $\qquad\qquad30=98+7-6-5-43-21$	30.39
$30^5=5^5+10^5+11^5+16^5+19^5+29^5~~$ (vijfdemacht gelijk aan de som van zes andere positieve vijfdemachten)	30.40
$1^1 + 2^2 + 3^3 + \cdots + 28^{28} + 29^{29} + 30^{30}~~$ is een priemgetal! $(208492413443704093346554910065262730566475781)$ Pari/GP code : isprime(sum(i=1,30,i^i))	30.41

\(30\)	\(235\)	\(8\)	\(72\)
	\(1,2,3,5,6,10,15,30\)
	\(11110_2\)	\(36_8\)	\(1\)E\(_{16}\)

\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+5+6+7+8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+7+8+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+10+11\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+4+6+8+10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8+10+12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14+16\) (som van opeenvolgende pare getallen) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+17\) (som van opeenvolgende priemgetallen) \(30=2^1+2^2+2^3+2^4\) (som van opeenvolgende machten van \(2\)) \(30=(123)+(234)\) \(30=1^2+2^2+3^2+4^2\) (som van opeenvolgende kwadraten) \(30=((0;1;2;5)\,(1;2;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\;\;\!\qquad1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;0;1;1;1;3)\,(1;1;1;1;1;1;2;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5-2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^6-6\) \(30=11235\) (product van de eerste vijf getallen van FIBONACCI) \(30=235\) en dus een primoriaal. Noteer ook dat \((1/2+1/3+1/5)-(1/21/31/5)=1\) \(30=\sqrt{29*31+1}\) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{5!}{2^2}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{120}{4}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{6!}{24}}\) \(30=(3+0)+(3^3+0^3)\) (Zie (OEIS A065138) en ) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33-3\) (identieke cijfers) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}83^2-19^3~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )	30.1
\(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad\;\,3\) oplossingen bekend \(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-283059965)^3+(-2218888517)^3+2220422932^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-636600549515)^3+(-3977505554546)^3+3982933876681^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{190809268841284^3+656711689254565^3+(-662037799708799)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+(-1)^5+2^5+k^5+(-k)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(als niet van deze vorm dan \(z\gt200)\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-12)^5+46^5+(-665)^5+(-777)^5+838^5}\)	30.2
\(30\) is \(10\) maal de som van zijn cijfers (zie bij )	30.3
Priemviertallen zijn getallen van de vorm \(p,\;p+2,\;p+6,\;p+8\) waarbij deze vier getallen allemaal priemgetallen zijn. Het kleinste priemviertal is \((5,7,11,13)\). Voor alle andere priemviertallen geldt dat ze van deze vorm zijn : \(30n+11~~\);\(~~30n+13~~\);\(~~30n+17~~\);\(~~30n+19~~\) (bvb : \(101,103,107,109\))	30.4
\(n^5-n\) is steeds een veelvoud van \(30\); bvb. voor \(n=12\) is \(12^5-12=248832-12=30*8294\)	30.5
\(30^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(900\) \(30^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}165^2-15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}179^2-71^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}185^2-85^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}195^2-105^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}255^2-195^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}277^2-223^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}295^2-245^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\;\,393^2-357^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{465^2-435^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}685^2-665^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}759^2-741^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1131^2-1119^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1355^2-1345^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\;\,2253^2-2247^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3377^2-3373^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6751^2-6749^2\)	30.6
\(30^4=1924^2-40^4-24^4\)	30.7
\(30\) als som van twee priemgetallen : $$ 2~primes \left[ \begin{matrix} &7&+&23\\ &11&+&19\\ &13&+&17 \end{matrix} \right. $$ \(30\) als som van drie priemgetallen (die bovendien verschillend zijn) : $$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}\\ \\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{17} \end{matrix} \right. $$	30.8
\(30\) is het product van de drie kleinste priemgetallen : \(30=235\)	30.9
Er zijn twee rechthoekige driehoeken waarvan de numerieke waarde van de omtrek en de oppervlakte dezelfde zijn. Eén van deze driehoeken heeft als zijden \((5;12;13)\) ; de omtrek is \(5+12+13=30\) en de oppervlakte \(5*12/2\) = eveneens \(30\). Voor de andere driehoek zie bij (Formule van Heron)	30.10
Er zijn vijf rechthoekige driehoeken met gehele zijden waarbij \(30\) één van de zijden is : \((16;30;34),(18;24;30),(30;40;50),(30;72;78),(30;224;226)\)	30.11
Noteer voor elk getal de verzameling van alle getallen die kleiner zijn én die er ook relatief priem mee zijn (dat wil zeggen dat de grootste gemene deler \(1\) is). \(30\) is het grootste getal waarvoor deze verzameling uitsluitend uit priemgetallen bestaat. In het geval van \(30\) zijn de volgende getallen én kleiner, én relatief priem : \(7,11,13,17,19,23\) en \(29\). De enige andere getallen waarvoor dit geldt (en die kleiner zijn) zijn \(3,4,6,8,12,18\) en \(24\). Zo heeft men bvb. \(12\) (met de priemgetallen \(5,7,11\)) en \(18\) (met de priemgetallen \(5,7,11,13,17)\).	30.12
Alle priemgetallen groter dan \(5\) kunnen geschreven worden als som van een veelvoud van \(30\) en één van de volgende getallen : \(1,7,11,13,17,19,23,23,29\) (op het getal \(1\) na zijn dit allemaal priemgetallen kleiner dan \(30\) en die relatief priem zijn met \(30\)). Een voorbeeld : priemgetal \(2143=71*30+13\).	30.13
Men kan op \(30\) verschillende wijzen de stippen of cijfers op een dobbelsteen aanbrengen. Bij de standaard dobbelsteen is de som van twee overstaande zijden steeds gelijk aan \(7\). De standaard dobbelsteen, opengeplooid, ziet er zo uit : \begin{matrix} &&{\Huge\color{red}{⚂}}&\\ {\Huge\color{blue}{⚅}}&{\Huge\color{green}{⚄}}&{\Huge\color{blue}{⚀}}&{\Huge\color{green}{⚁}}\\ &&{\Huge\color{red}{⚃}}& \end{matrix}	30.14
WETENSWAARD \(30\) is een GIUGA-getal. Als men de som van de omgekeerden van de priemfactoren vermindert met het omgekeerde van het product van de priemfactoren, dan bekomt men \(1\). Het voorbeeld zal het duidelijker maken : De priemfactoren van \(30\) zijn \(2,3\) en \(5\); de omgekeerden zijn dus \(1/2,1/3\) en \(1/5\). Het product van de priemfactoren is \(235\) en het omgekeerde is dus \(1/(235)\). Men heeft tenslotte dat \(\Large{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2\,\,3\,\,5}}=\large{1}\) Andere getallen van GIUGA met dezelfde eigenschap zijn \(858,1722,66198,2214408306,24423128562,\) \(432749205173838,14737133470010574,550843391309130318,244197000982499715087866346\) (OEIS A007850)	30.15
EEN PUZZEL \(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) Op een dansavond zijn samen \(30\) jongens en meisjes aanwezig. De eerste jongen danst met \(7\) meisjes, de tweede met \(8\), de derde met \(9\), enz. tot de laatste met alle meisjes danst. Hoeveel jongens en meisjes zijn er aanwezig ? \(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\) Als de eerste jongen met één meisje, de tweede met twee meisjes, enz. zou dansen, dan zouden er evenveel jongens als meisjes zijn. Maar de eerste danst met \(7\) meisjes, dat is \(6\) meer. We moeten dus het totaal aantal personen \((= 30)\) met \(6\) verminderen en dan delen door \(2\). Er zijn dus \((30-6)/2=12\) jongens en \(12+6=18\) meisjes. De eerste jongen danst met \(7\) meisjes, en vervolgens \begin{matrix} \text{Jongen nr.}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \text{Aantal meisjes}&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18 \end{matrix}	30.16
\(30\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(geen\) oplossingen) : \(30\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(2\) oplossingen) : \(174690/5823=174960/5832=30\)	30.17
Men moet \(30\) tot minimaal de \(3857\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(30\) \(30\)'s verschijnen. Hier moet een hogere exponent gebruikt worden als normaal want een veelvoud van \(30\) produceert een sliert van nullen achteraan die nooit een grondtal kunnen herbergen. Terloops : \(30\)\(^{3857}\) heeft een lengte van \(5698\) cijfers.	30.18
Dezelfde cijfers komen voor in \(30*51=1503\) (palindromische expressie)	30.19
\(30\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \( 4\) : \(~~(1+4)*(2+3)~~=~~4!+3+2+1~~=~~31-\sqrt4/2\)	30.20
\(30~~{\color{blue}{\approx}}~~{\Large{\left({\ln_{\lower2pt{\huge\pi}}\,(125573+\sqrt{723})}\over{\pi\sqrt{\pi}}\right)^{\pi\sqrt{\pi}}}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29,999999996738397{\color{tomato}{577215}}522050072057721092\ldots\) Deze mysterieuze benadering van \(30\) geleverd door Vinod Muleva is eigenlijk een totaal willekeurige vondst. Als extra bonus ontdekte hij ook de eerste \(6\) cijfers van Euler's constante in de decimale expansie. Zie (OEIS A001620) Pari/GP code : *(log(125573+sqrt(723))/log(Pi)/(Pisqrt(Pi)))^(Pisqrt(Pi))*	30.21
\(30!-1\) is een priemgetal, de zevende in zijn soort \((k!-1)~~\) (OEIS A002982)	30.22
Alle getallen van \(1\) tot \(30\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheid van producten van machten. Hier een voorbeeld uit de vele combinaties met verdeelsleutels \([6-9]\) en \([7-8]\). \begin{align} 7^812^{11}15^{21}16^{26}28^{17}30^{29}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^13^{27}4^{23}5^{18}9^610^{13}14^{25}20^{19}24^{22}\\ 7^19^{22}16^{26}21^{11}24^{10}28^{17}30^{13}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{19}3^{18}4^{23}6^{27}12^{25}14^{29}15^820^5 \end{align}	30.23
\(7\)\(^{30}\)\(~=~22539340290692258087863249\) is de hoogst gekende macht van \(7\) waarbij geen cijfer \(1\) voorkomt in de decimale expansie.	30.24
\(302\)\(^{30}\)\(\,-\,1~~\) is een Woodall priemgetal, de vierde in zijn soort (\(k2^k-1\)). (OEIS A002234) & (OEIS A003261)	30.25
Voor \(n=30~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+16) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(46)=72~~~~({\large\sigma}\) of 'sigma' staat voor som der delers) \(30\) is de eerste oplossing uit de reeks \(30,55,138,174,204,205,264,350,355,460,1276,\ldots\) Voor \(n=30~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+21) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(51)=72~~~~({\large\sigma}\) of 'sigma' staat voor som der delers) \(30\) is de tweede oplossing uit de reeks \(20,30,38,44,94,114,1306305,\ldots\) Voor \(n=30~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+25) ~~\to~~ {\large\sigma}(30)={\large\sigma}(55)=72~~~~({\large\sigma}\) of 'sigma' staat voor som der delers) \(30\) is de eerste oplossing uit de reeks \(30,46,94,230,357,3998,5150,6878,\ldots\)	30.26
Zowel dodecaëders (\(12\) vijfhoeken) als icosaëders (\(20\) driehoeken) hebben \(30\) ribben. (Wikipedia)	30.27
Som der reciproken van partitiegetallen van \(30\) is \(1\) op twee wijzen Eén partitie heeft unieke termen. \((1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{30=2+3+10+15}~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{10}}+{\Large\frac{1}{15}}\) \((2)~~30=4+4+4+6+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{12}}\) (OEIS A125726)	30.28
\(\begin{align}30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{107}{57}}\right)^3+\left({\frac{163}{57}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{289}{93}}\right)^3-\left({\frac{19}{93}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{4769}{1446}}\right)^3-\left({\frac{2609}{1446}}\right)^3\end{align}\) (Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) \((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581) Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)	30.29
\(2\)\(^{30}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=1073741827)\), de twaalfde in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732)	30.30
\(30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{9}\)\(+30\)\(^{7}\)\(+30\)\(^{0}\)\(+30\)\(^{5}\)\(+30\)\(^{6}\)\(+30\)\(^{2}\)\(+30\)\(^{4}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(+30\)\(^{1}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19705624111111~~\)(OEIS A236067)	30.31
Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{30}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we : \(\qquad\qquad~sdc\left(396^{\large{30}}\right)=396~~\to\) Unieke oplossing voor \(k\gt1\).	30.32
Expressies met tweemaal de cijfers uit het getal \(30\) \(30\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3\)^^\(0)+3*0\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+0!+prime(0!)\)	30.33
De volgende vier termen, die een rekenkundige rij vormen beginnend met \(30\) en een verschil van \(36\), \(30,66,102,138~~\to~~\) hebben allemaal drie verschillende priemfactoren. \((235),(2311),(2317),(2323)\)	30.34
\(30\) is een getal \(n\) zodat de som van de cijfers van \(n^2\) een kwadraat vormt \(~~30^2=900\to9+0+0=9=3^2\)	30.35
\(30\) is de som van de cijfers van het \(32ste\) fibonaccigetal \(F_{32}=2178\underline{30}9~~\) en \(~~2+1+7+8+3+0+9=30\)	30.36
\(30\) is het aantal partities van \(9\) Pari/GP code : numbpart(9)	30.37
Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja). \(\qquad\qquad30=(1+1+1)(11-1)\) \(\qquad\qquad30=22+2(2+2)\) \(\qquad\qquad30=3+3^3\) \(\qquad\qquad30=4(4+4)-(4+4)/4\) \(\qquad\qquad30=55+5\) \(\qquad\qquad30=66-6\) \(\qquad\qquad30=77-77+(7+7)/7\) \(\qquad\qquad30=8+(88+88)/8\) \(\qquad\qquad30=999/9-9*9\)	30.38
Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) : \(\qquad\qquad30=1^{2345}*6+7+8+9\) \(\qquad\qquad30=98+7-6-5-43-21\)	30.39
\(30^5=5^5+10^5+11^5+16^5+19^5+29^5~~\) (vijfdemacht gelijk aan de som van zes andere positieve vijfdemachten)	30.40
\(1^1 + 2^2 + 3^3 + \cdots + 28^{28} + 29^{29} + 30^{30}~~\) is een priemgetal! \((208492413443704093346554910065262730566475781)\) Pari/GP code : isprime(sum(i=1,30,i^i))	30.41

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR