$30\mathbf{=}4+5+6+7+8\mathbf{=}6+7+8+9\mathbf{=}9+10+11$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$30\mathbf{=}2+4+6+8+10\mathbf{=}8+10+12\mathbf{=}14+16$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$30\mathbf{=}13+17$ (som van opeenvolgende priemgetallen)

$30=2^1+2^2+2^3+2^4$ (som van opeenvolgende machten van $2$)

$30=(1\ast 2\ast 3)+(2\ast 3\ast 4)$

$30=1^2+2^2+3^2+4^2$ (som van opeenvolgende kwadraten)

$30=((0;1;2;5)(1;2;3;4))➋\to \{\mathrm{\#}2\}$

$30\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+3^3\mathbf{=}$

$1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{=}((0;0;0;0;0;1;1;1;3)(1;1;1;1;1;1;2;2;2))➌\to \{\mathrm{\#}2\}$

$30\mathbf{=}{5}^2+5\mathbf{=}{2}^5-2\mathbf{=}{3}^3+3\mathbf{=}{6}^6-6$

$30=1\ast 1\ast 2\ast 3\ast 5$ (product van de eerste vijf getallen van FIBONACCI)

$30=2\ast 3\ast 5$ en dus een primoriaal. Noteer ook dat $(1/2+1/3+1/5)-(1/2\ast 1/3\ast 1/5)=1$

$30=\sqrt{29\ast 31+1}$

$30\mathbf{=}\frac{5!}{2^2}\mathbf{=}\frac{120}{4}\mathbf{=}\frac{6!}{24}$

$30=(3+0)+(3^3+0^3)$ (Zie (OEIS A065138) en 12.3 )

$30\mathbf{=}33-3$ (identieke cijfers)

$30\mathbf{=}{83}^2-{19}^3$ (enige oplossing met limieten grondtal $9999$ en exponent $19$ )

$30\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$3$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$(-283059965{)}^3+(-2218888517{)}^3+{2220422932}^3\mathbf{=}$

$(-636600549515{)}^3+(-3977505554546{)}^3+{3982933876681}^3\mathbf{=}$

${190809268841284}^3+{656711689254565}^3+(-662037799708799{)}^3\mathbf{=}$

$30\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$(-1{)}^5+(-1{)}^5+2^5+k^5+(-k{)}^5\mathbf{=}$(als niet van deze vorm dan $z>200)$

$(-12{)}^5+{46}^5+(-665{)}^5+(-777{)}^5+{838}^5$

${30}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $900$

${30}^3\mathbf{=}{165}^2-{15}^2\mathbf{=}{179}^2-{71}^2\mathbf{=}{185}^2-{85}^2\mathbf{=}{195}^2-{105}^2\mathbf{=}{255}^2-{195}^2\mathbf{=}{277}^2-{223}^2\mathbf{=}{295}^2-{245}^2\mathbf{=}$

${393}^2-{357}^2\mathbf{=}{465}^2-{435}^2\mathbf{=}{685}^2-{665}^2\mathbf{=}{759}^2-{741}^2\mathbf{=}{1131}^2-{1119}^2\mathbf{=}{1355}^2-{1345}^2\mathbf{=}$

${2253}^2-{2247}^2\mathbf{=}{3377}^2-{3373}^2\mathbf{=}{6751}^2-{6749}^2$

${30}^4={1924}^2-{40}^4-{24}^4$

$$2primes[\begin{array}{cccc}& 7& +& 23\\ & 11& +& 19\\ & 13& +& 17\end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{cccccc}& \mathbf{2}& +& \mathbf{5}& +& \mathbf{23}\\ \\ & \mathbf{2}& +& \mathbf{11}& +& \mathbf{17}\end{array}$$

Men kan op $30$ verschillende wijzen de stippen of cijfers op een dobbelsteen aanbrengen. Bij de
standaard dobbelsteen is de som van twee overstaande zijden steeds gelijk aan $7$.
De standaard dobbelsteen, opengeplooid, ziet er zo uit :
$$\begin{array}{cccc}& & ⚂& \\ ⚅& ⚄& ⚀& ⚁\\ & & ⚃& \end{array}$$

$30$ is een GIUGA-getal. Als men de som van de omgekeerden van de priemfactoren vermindert met het
omgekeerde van het product van de priemfactoren, dan bekomt men $1$. Het voorbeeld zal het duidelijker maken :
De priemfactoren van $30$ zijn $2,3$ en $5$; de omgekeerden zijn dus $1/2,1/3$ en $1/5$.
Het product van de priemfactoren is $2\ast 3\ast 5$ en het omgekeerde is dus $1/(2\ast 3\ast 5)$. Men heeft tenslotte dat

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2\ast 3\ast 5}=1$

Andere getallen van GIUGA met dezelfde eigenschap zijn $858,1722,66198,2214408306,24423128562,$
$432749205173838,14737133470010574,550843391309130318,244197000982499715087866346$ (OEIS A007850)

$Opgave$
Op een dansavond zijn samen $30$ jongens en meisjes aanwezig. De eerste jongen danst met $7$ meisjes,
de tweede met $8$, de derde met $9$, enz. tot de laatste met alle meisjes danst.
Hoeveel jongens en meisjes zijn er aanwezig ?
$Oplossing$
Als de eerste jongen met één meisje, de tweede met twee meisjes, enz. zou dansen, dan
zouden er evenveel jongens als meisjes zijn. Maar de eerste danst met $7$ meisjes, dat is $6$ meer. We moeten
dus het totaal aantal personen $(=30)$ met $6$ verminderen en dan delen door $2$.
Er zijn dus $(30-6)/2=12$ jongens en $12+6=18$ meisjes.
De eerste jongen danst met $7$ meisjes, en vervolgens
$$\begin{array}{ccccccccccccc}\text{Jongen nr.}& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \text{Aantal meisjes}& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16& 17& 18\end{array}$$

$30\approx {\left(\frac{{\ln }_{\pi }(125573+\sqrt{723})}{\pi \sqrt{\pi }}\right)}^{\pi \sqrt{\pi }}\mathbf{=}29,999999996738397577215522050072057721092\dots$

Deze mysterieuze benadering van $30$ geleverd door Vinod Muleva is eigenlijk een totaal willekeurige vondst.

Als extra bonus ontdekte hij ook de eerste $6$ cijfers van Euler's constante in de decimale expansie. Zie (OEIS A001620)

Pari/GP code : (log(125573+sqrt(723))/log(Pi)/(Pi*sqrt(Pi)))^(Pi*sqrt(Pi))

$30!-1$ is een priemgetal, de zevende in zijn soort $(k!-1)$ (OEIS A002982)

Alle getallen van $1$ tot $30$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheid

van producten van machten. Hier een voorbeeld uit de vele combinaties met verdeelsleutels $[6-9]$ en $[7-8]$.

$7$${}^{30}$$=22539340290692258087863249$ is de hoogst gekende macht van $7$ waarbij geen cijfer $1$ voorkomt

in de decimale expansie.

Voor $n=30$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+16)\to \sigma (30)=\sigma (46)=72(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$30$ is de eerste oplossing uit de reeks $30,55,138,174,204,205,264,350,355,460,1276,\dots$

Voor $n=30$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+21)\to \sigma (30)=\sigma (51)=72(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$30$ is de tweede oplossing uit de reeks $20,30,38,44,94,114,1306305,\dots$

Voor $n=30$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+25)\to \sigma (30)=\sigma (55)=72(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$30$ is de eerste oplossing uit de reeks $30,46,94,230,357,3998,5150,6878,\dots$

Zowel dodecaëders ($12$ vijfhoeken) als icosaëders ($20$ driehoeken) hebben $30$ ribben. (Wikipedia)

Som der reciproken van partitiegetallen van $30$ is $1$ op twee wijzen

Eén partitie heeft unieke termen.

$(1)30=2+3+10+15$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$

$(2)30=4+4+4+6+12$ en $1=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$

(OEIS A125726)

$\begin{array}{r}30\mathbf{=}{\left(\frac{107}{57}\right)}^3+{\left(\frac{163}{57}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{289}{93}\right)}^3-{\left(\frac{19}{93}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{4769}{1446}\right)}^3-{\left(\frac{2609}{1446}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

$2$${}^{30}$$+3$ is een priemgetal $(=1073741827)$, de twaalfde in zijn soort $(2^k+3)$ (OEIS A057732)

$30$${}^1$$+30$${}^9$$+30$${}^7$$+30$${}^0$$+30$${}^5$$+30$${}^6$$+30$${}^2$$+30$${}^4$$+30$${}^1$$+30$${}^1$$+30$${}^1$$+30$${}^1$$+30$${}^1$$+30$${}^1$$\mathbf{=}19705624111111$(OEIS A236067)

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{30}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({396}^{30}\right)=396\to$ Unieke oplossing voor $k>1$.

Expressies met tweemaal de cijfers uit het getal $30$
$30\mathbf{=}(3$^^$0)+3\ast 0\mathbf{=}{3}^3+0!+prime(0!)$

De volgende vier termen, die een rekenkundige rij vormen beginnend met $30$ en een verschil van $36$,

$30,66,102,138\to$

hebben allemaal drie verschillende priemfactoren. $(2\ast 3\ast 5),(2\ast 3\ast 11),(2\ast 3\ast 17),(2\ast 3\ast 23)$

$30$ is een getal $n$ zodat de som van de cijfers van $n^2$ een kwadraat vormt ${30}^2=900\to 9+0+0=9=3^2$

$30$ is de som van de cijfers van het $32ste$ fibonaccigetal $F_{32}=2178\underset{―}{30}9$ en $2+1+7+8+3+0+9=30$

$30$ is het aantal partities van $9$

Pari/GP code : numbpart(9)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$30=(1+1+1)\ast (11-1)$
$30=22+2\ast (2+2)$
$30=3+3^3$
$30=4\ast (4+4)-(4+4)/4$
$30=5\ast 5+5$
$30=6\ast 6-6$
$30=77-7\ast 7+(7+7)/7$
$30=8+(88+88)/8$
$30=999/9-9\ast 9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$30=1^{2345}\ast 6+7+8+9$
$30=98+7-6-5-43-21$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$