$26=5+6+7+8$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$26=12+14$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$26=3+5+7+11$ (som van opeenvolgende priemgetallen)

$26=5+8+13$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$26=((0;0;1;5)(0;1;3;4)(2;2;3;3))➋\to \{\mathrm{\#}3\}$

$26\mathbf{=}{1}^3+1^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{=}(0;0;0;0;1;1;2;2;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$26=(2\ast 3)+(4\ast 5)$

$26=2^3+3^2+3^2$

$26\mathbf{=}{5}^2+1\mathbf{=}{3}^3-1$

$26=\frac{\sqrt{{26}^3-{26}^2}}{\lfloor \sqrt{26}\rfloor }$

$26\mathbf{=}{35}^3-{207}^2\mathbf{=}{2537}^2-{23}^5$

$26\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$13$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$26\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$oplossingonbekend\mathbf{=}(z>200)$

 ○–○–○ 

$$2oddprimes[\begin{array}{cccc}& 3& +& 23\\ & 7& +& 19\\ & 13& +& 13\end{array}$$

$$3differentprimes[\begin{array}{cccccc}& \mathbf{2}& +& \mathbf{5}& +& \mathbf{19}\\ & \mathbf{2}& +& \mathbf{7}& +& \mathbf{17}\\ & \mathbf{2}& +& \mathbf{11}& +& \mathbf{13}\end{array}$$

${26}^2=1\ast 2\ast 13\ast 26$

Zie bij 24.11 voor een gelijkaardige merkwaardigheid met het produkt van de delers van beide getallen.

$Opgave$
Zoek het enige getal dat vermeerderd met één gelijk is aan een derdemacht en
verminderd met één gelijk is aan een kwadraat.
$Oplossing$
$26$ want $27=3^3$ en $25=5^2$
$26$ is het enige getal dat direct tussen een kwadraat ($25=5^2$) en een derdemacht ($27=3^3$) ligt.

$$\begin{array}{rl}{26}^2& =6\mathbf{76}(\text{bovendien is 26 het kleinste niet-palindroom met een palindroom kwadraat})\\ {26}^3& =175\mathbf{76}\\ {26}^4& =4569\mathbf{76}\\ {26}^5& =118813\mathbf{76}\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

${26}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $676$

${26}^3\mathbf{=}{26}^2+{130}^2\mathbf{=}{65}^3-{507}^2\mathbf{=}{74}^2+{110}^2\mathbf{=}{78}^3-[{26}^4][{676}^2]\mathbf{=}{168}^2-{22}^3\mathbf{=}{195}^2-{143}^2\mathbf{=}{218}^3-{3216}^2\mathbf{=}$

${351}^2-{325}^2\mathbf{=}{2199}^2-{2195}^2\mathbf{=}{4395}^2-{4393}^2$

Alle getallen van $1$ tot $26$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheid

van producten van machten. Hier een paar voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels $[5-8]$ en $[6-7]$. $$\begin{array}{rl}{3}^{22}\ast {10}^1\ast {12}^{26}\ast {15}^{14}\ast {24}^{23}& \mathbf{=}{2}^{19}\ast 6^{17}\ast 8^5\ast 9^{21}\ast {16}^{11}\ast {18}^{13}\ast {20}^7\ast {25}^4\\ 2^{17}\ast 5^4\ast 8^{18}\ast {15}^{23}\ast {16}^{13}\ast {21}^{22}& \mathbf{=}{6}^9\ast 7^{19}\ast {10}^{26}\ast {12}^{25}\ast {14}^3\ast {20}^1\ast {24}^{11}\end{array}$$

$8$${}^{26}$$=302231454903657293676544$ is de hoogst gekende macht van $8$ waarbij geen cijfer $8$ voorkomt

in de decimale expansie.

Voor $n=26$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+15)\to \sigma (26)=\sigma (41)=42(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$26$ is de eerste oplossing uit de reeks $26,62,20840574,25741470,60765690,\dots$

$26!!-1$is een priemgetal van $14$ cijfers lang ($51011754393599$). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit)

Pari/GP code : isprime(prod(i=1,26/2,2*i)-1)→ 1 (true)

Som der reciproken van partitiegetallen van $26$ is $1$ op één wijze

Dit is evenwel geen partitie met unieke termen.

$(1)26=4+4+6+6+6$ en $1=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

(OEIS A125726)

$\begin{array}{r}26\mathbf{=}{\left(\frac{3}{1}\right)}^3-{\left(\frac{1}{1}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{53}{28}\right)}^3+{\left(\frac{75}{28}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{26}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({306}^{26}\right)=306sdc\left({307}^{26}\right)=307sdc\left({316}^{26}\right)=316$

$sdc\left({324}^{26}\right)=324$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $26$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$26=(6-2)\ast 6+2$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$26=(1+1)\ast (11+1+1)$
$26=22+2+2$
$26=3^3-3/3$
$26=4+44\ast 4/(4+4)$
$26=5\ast 5+5/5$
$26=6\ast 6-(66-6)/6$
$26=7+7+(77+7)/7$
$26=8+8+(88-8)/8$
$26=9+9+9-9/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$26=12-3+4-56+78-9$
$26=98-7-6+5-43-21$

Het omgekeerde van $5^{26}$ is een priemgetal $\to 5265674839116110941$

Pari/GP code : isprime(fromdigits(Vecrev(digits(5^26))))$\to 1=$ true

(OEIS A058993)

Er zijn $26$ vierdemachtswortels en hun vierdemachten met wederzijdse uitsluiting van dezelfde cijfers (Eng. Exclusionary
Biquadrates). Een cijfer uit de decimale expansie van het grondtal komt niet voor in de decimale expansie van de
vierdemacht en vice versa. Bijkomende restrictie is dat in het grondtal een cijfer maar één keer mag voorkomen.
De drie grootste gevallen zijn ${832}^4=479174066176,{843}^4=505022001201$ en ${2673}^4=51050010415041$
Een overzichtelijk OEIS referentietabel is te hier te vinden (Referentie OEIS tabel)

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$