$25\mathbf{=}3+4+5+6+7\mathbf{=}12+13$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$25=1+3+5+7+9$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$25\mathbf{=}10+15\mathbf{=}D(4)+D(5)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$25\mathbf{=}9+16\mathbf{=}{3}^2+4^2$ (som van opeenvolgende kwadraten)

$25=4!+1$ (één van de drie mogelijke oplossingen van het probleem van BROCARD.

$$Zie ook bij 121.3 en 5041.-- en meer info bij 4.22 )

$25\mathbf{=}{1}^2+1^2+1^2+2^2+3^2+3^2$

$25$ → kan op verschillende wijzen geschreven worden als som van kwadraten :

$((0;0;0;5)(0;0;3;4)(1;2;2;4))➋\to \{\mathrm{\#}3\}$

$25=1^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2$

$25\mathbf{=}{1}^3+2^3+2^3+2^3\mathbf{=}(0;0;0;0;0;1;2;2;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$25\mathbf{=}[2^4][4^2]+3^2\mathbf{=}{5}^3-{10}^2\mathbf{=}{13}^2-{12}^2$

$25\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$6$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$(-1{)}^3+(-1{)}^3+3^3\mathbf{=}$

$(-319{)}^3+(-1159{)}^3+{1167}^3\mathbf{=}$

${1839}^3+{2357}^3+(-2683{)}^3\mathbf{=}$

${2561}^3+{15942}^3+(-15964{)}^3\mathbf{=}$

${25548626}^3+{53992049}^3+(-55835280{)}^3\mathbf{=}$

$(-365800836046{)}^3+(-452119209735{)}^3+{520933228346}^3\mathbf{=}$

$25\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

${14}^5+{31}^5+(-57{)}^5+(-60{)}^5+{67}^5\mathbf{=}(z>200)$

$(-270{)}^5+(-274{)}^5+{339}^5+{411}^5+(-421{)}^5$

${335}^5+(-371{)}^5+{1714}^5+{1821}^5+(-2034{)}^5$

$25+1=26$ en $26\ast 2=52$ (d.i. $25$ achterstevoren)

 ○–○–○ 

${25}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $625$

${25}^3\mathbf{=}{5}^7-{250}^2\mathbf{=}{10}^4+{75}^2\mathbf{=}{35}^2+{120}^2\mathbf{=}{44}^2+{117}^2\mathbf{=}{75}^2+[{10}^4][{100}^2]\mathbf{=}{325}^2-{300}^2\mathbf{=}{375}^2-{50}^3\mathbf{=}$

${1565}^2-{1560}^2\mathbf{=}{7813}^2-{7812}^2$

$$differentprimes[\begin{array}{cccc}& \mathbf{2}& +& \mathbf{23}\\ \\ & \mathbf{3}& +& \mathbf{5}& +& \mathbf{17}\\ & \mathbf{5}& +& \mathbf{7}& +& \mathbf{13}\\ \\ & \mathbf{2}& +& \mathbf{3}& +& \mathbf{7}& +& \mathbf{13}& \\ & \mathbf{2}& +& \mathbf{5}& +& \mathbf{7}& +& \mathbf{11}\end{array}$$

$$3primeswithdoubles[\begin{array}{cccccc}& 3& +& 3& +& 19\\ & 3& +& 11& +& 11\\ & 7& +& 7& +& 11\end{array}$$

$25$ is één van de $8$ getallen van $2$ cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de eenheden :

$25=5\ast 5$. De andere getallen zijn $12,15,24,36,36,45$ en $48$.

Zie bij 12.12 15.12 24.19 35.5 36.7 45.9 48.7

$$\begin{array}{rl}{25}^2& =6\underset{―}{25}\\ {25}^3& =156\underset{―}{25}\\ {25}^4& =3906\underset{―}{25}\\ {25}^5& =97656\underset{―}{25}\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}2756\underset{―}{25}& ={525}^2\\ 756\underset{―}{25}& ={275}^2\\ 56\underset{―}{25}& ={75}^2\\ 6\underset{―}{25}& ={25}^2\\ \underset{―}{25}& =5^2\end{array}$$

$25$ is het kleinste FRIEDMAN getal, d.w.z. Een getal dat kan geschreven worden met
bewerkingen met uitsluitend de eigen cijfers. $25=5^2$ en in de uitdrukking van het kwadraat worden de $2$ en de $5$
uit het getal $25$ gebruikt.
Het volgende FRIEDMAN getal is $121={11}^2$ ; $9261={21}^{9-6}$ is het grootste FRIEDMAN getal van vier cijfers.
$25$ is ook een COSTER getal. Hierbij wordt het getal geschreven met bewerkingen waarbij twee maal de
cijfers worden gebruikt : $25=(2\ast 2\ast 5)+5=5\ast 5\ast (2/2)=(2^2\ast 5)+5$

$Opgave$
Iemand fietst van $A$ naar $B$ bergop met een gemiddelde snelheid van $20\text{km/h}$. Vervolgens rijdt hij van $B$ naar $A$,
nu bergaf, met een gemiddelde snelheid van $30\text{km/h}$. Wat is zijn gemiddelde snelheid over het gehele traject
(heen en weer) ?
$Oplossing$
Het antwoord $1/2(20+30)=25$ is voor de hand liggend, maar verkeerd. Immers, er wordt
langere tijd aan $20\text{km/h}$ gereden dan aan $30\text{km/h}$. Onderstel dat de afstand tussen $A$ en $B60\text{km}$ is,
dan is het traject $AB$ aan $20\text{km/h}$ afgelegd in $3$ uur; het traject $BA$ aan $30\text{km/h}$ in $2$ uur. Over het
heen-en-weer traject is dus $5$ uur gereden voor $120\text{km}$; dit is een gemiddelde snelheid van $120/5=24\text{km/h}$

${25}^2\mathbf{=}{9}^2+{12}^2+{20}^2$

${25}^3\mathbf{=}{4}^3+{17}^3+{22}^3\mathbf{=}{1}^3+2^3+4^3+{12}^3+{24}^3$

${25}^6\mathbf{=}{1}^6+2^6+3^6+5^6+6^6+7^6+8^6+9^6+{10}^6+{12}^6+{13}^6+{15}^6+{16}^6+{17}^6+{18}^6+{23}^6\mathbf{=}244140625$

$$(de kleinste zesdemacht die als som van zesdemachten kan worden geschreven)

Als som met de vier operatoren $+-\ast /$
$25=(4+4)+(4-4)+(4\ast 4)+(4/4)$

De eerste keer dat er $25$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $2477$
en $2503$ met aldus een priemkloof van $26.$ (OEIS A000101.pdf)

Er zijn $5$ getallen van vijfentwintig cijfers die gelijk zijn aan de som van de vijfentwintigste macht van hun cijfers :

$1550475334214501539088894=$

$1$${}^{25}$$+5$${}^{25}$$+5$${}^{25}$$+0$${}^{25}$$+4$${}^{25}$$+7$${}^{25}$$+5$${}^{25}$$+3$${}^{25}$$+3$${}^{25}$$+4$${}^{25}$$+2$${}^{25}$$+1$${}^{25}$$+4$${}^{25}$$+5$${}^{25}$$+0$${}^{25}$$+1$${}^{25}$$+5$${}^{25}$$+3$${}^{25}$$+$

$9$${}^{25}$$+0$${}^{25}$$+8$${}^{25}$$+8$${}^{25}$$+8$${}^{25}$$+9$${}^{25}$$+4$${}^{25}$

De overige vier getallen zijn $1553242162893771850669378,3706907995955475988644380,$

$3706907995955475988644381,4422095118095899619457938$

(OEIS A005188)

$8$${}^{25}$$=37778931862957161709568$ is de hoogst gekende macht van $8$ waarbij geen cijfer $4$ voorkomt

in de decimale expansie.

$7$${}^{25}$$=1341068619663964900807$ is de hoogst gekende macht van $7$ waarbij geen cijfer $5$ voorkomt

in de decimale expansie.

$25=5^2=\frac{6!-5!}{4!}$

$25$ en $27$ zijn het enige paar van gehele getallen met verschil van $2$ die ook niet triviale machten van gehele getallen zijn,
namelijk $5^2$ en $3^3$ (een kwadraat en een derdemacht).

$25$${}^{25}$$-2$ is een priemgetal, de vijfde in zijn soort ($k^k-2$). (OEIS A100408)

Som der reciproken van partitiegetallen van $25$ is $1$ op één wijze

Dit is evenwel geen partitie met unieke termen.

$(1)25=5+5+5+5+5$ en $1=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$

(OEIS A125726)

$25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35=165$

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals $k=25=5^2$. De linkersom heeft $\sqrt{k}+1$ termen en de rechtersom $\sqrt{k}$.

(OEIS A059270)

$25$${}^3$$+25$${}^1$$+25$${}^3$$+25$${}^0$$+25$${}^1$$\mathbf{=}31301$ (OEIS A236067)

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{25}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({140}^{25}\right)=140sdc\left({211}^{25}\right)=211sdc\left({221}^{25}\right)=221$

$sdc\left({236}^{25}\right)=236sdc\left({256}^{25}\right)=256sdc\left({257}^{25}\right)=257$

$sdc\left({261}^{25}\right)=261sdc\left({277}^{25}\right)=277sdc\left({295}^{25}\right)=295$

$sdc\left({296}^{25}\right)=296sdc\left({298}^{25}\right)=298sdc\left({299}^{25}\right)=299$

$sdc\left({337}^{25}\right)=337$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $25$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$25=2/2\ast 5\ast 5$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja).
$25\mathbf{=}1+(1+1)\ast (1+11)$
$25\mathbf{=}2+22+2/2$
$25\mathbf{=}{3}^3-3+3/3\mathbf{=}33-3\ast 3+3/3$
$25\mathbf{=}4+4+4\ast 4+4/4$
$25\mathbf{=}5\ast 5$
$25\mathbf{=}6\ast 6-66/6$
$25\mathbf{=}7+7+77/7$
$25\mathbf{=}8+8+8+8/8$
$25\mathbf{=}9+9+9-(9+9)/9$

De volgende URL's onthullen ook spectaculaire feiten in verband met de getallen $25$ en $2025$

Mathematics of 25 and 2025 in Numbers by Inder J. Taneja (part 1)

Mathematics of 25 and 2025 in Magic Squares by Inder J. Taneja (part 2)

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$25=1^{23456}+7+8+9$
$25=9+8+7+65-43-21$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$