$24=7+8+9$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$24\mathbf{=}3+5+7+9\mathbf{=}11+13$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$24=11+13$ (som van opeenvolgende priemgetallen)

$24=2\ast 3\ast 4$ (product van opeenvolgende getallen)

$24=1+8+15$ (som van willekeurige getallen)

$24=(0;2;2;4)➋\to \{\mathrm{\#}1\}$

$24\mathbf{=}{2}^3+2^3+2^3\mathbf{=}(0;0;0;0;0;0;2;2;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$24\mathbf{=}{3}^3-3\mathbf{=}{5}^2-1\mathbf{=}{2}^2\ast 6\mathbf{=}{2}^3\ast 3$

$24\mathbf{=}1\ast 2\ast 3\ast 4\mathbf{=}4!\mathbf{=}5!/5$

$24=(8-2)\ast (8-4)$

$24\mathbf{=}(2+\sqrt{4})!$

$24=\frac{\sqrt{{24}^2+{24}^3}}{\lceil \sqrt{24}\rceil }$

$24\mathbf{=}[2^4][4^2]+2^3\mathbf{=}{2}^5-2^3\mathbf{=}[2^{10}][4^5][{32}^2]-{10}^3\mathbf{=}{7}^2-5^2$

$24\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$4$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$2^3+2^3+2^3\mathbf{=}$

$8^3+8^3+(-10{)}^3\mathbf{=}$

$(-2901096694{)}^3+(-15550555555{)}^3+{15584139827}^3\mathbf{=}$

$(-945430986906654064{)}^3+(-1139873642227126987018{)}^3+{1139873642443924761440}^3\mathbf{=}$

$24\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$9^5+(-49{)}^5+{102}^5+{124}^5+(-132{)}^5\mathbf{=}(z>200)$

$24$ is gelijk aan $4$ maal de som van zijn cijfers : $24=4\ast (2+4)$.

Andere getallen met deze eigenschap zijn $12,36$ en $48$ ( 12.7 36.6 48.3 )

Zie ook bij 4.4

${24}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $576$.

${24}^3\mathbf{=}{40}^3-{224}^2\mathbf{=}{118}^2-{10}^2\mathbf{=}{120}^2-{24}^2\mathbf{=}{132}^2-{60}^2\mathbf{=}{132}^3-{1512}^2\mathbf{=}{140}^2-{76}^2\mathbf{=}{155}^2-{101}^2\mathbf{=}$

${168}^2-{120}^2\mathbf{=}{210}^2-{174}^2\mathbf{=}{232}^2-{200}^2\mathbf{=}{300}^2-{276}^2\mathbf{=}{393}^2-{375}^2\mathbf{=}{440}^2-{424}^2\mathbf{=}{582}^2-{570}^2\mathbf{=}$

${868}^2-{860}^2\mathbf{=}{1155}^2-{1149}^2\mathbf{=}{1730}^2-{1726}^2\mathbf{=}{3457}^2-{3455}^2$

$$2oddprimes[\begin{array}{cccc}& 5& +& 19\\ & 7& +& 17\\ & 11& +& 13\end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{ccccccc}& & \mathbf{2}& +& \mathbf{3}& +& \mathbf{19}\\ & & \mathbf{2}& +& \mathbf{5}& +& \mathbf{17}\\ & 2& +& 11& +& 11\end{array}$$

${24}^3\mathbf{=}{12}^3+{16}^3+{20}^3\mathbf{=}{5}^3+{14}^3+{16}^3+{19}^3\mathbf{=}{18}^3+{20}^3-2^3\mathbf{=}{8}^4+{11}^4-{17}^3$

Merk op dat ${24}^3=138\underset{―}{24}$

Het product van alle echte delers van $24$ is $1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 6\ast 8\ast 12={24}^3$

De volgende producten zijn symmetrisch ten opzichte van het gelijkheidsteken :

$$\begin{array}{rl}24\ast 63& =36\ast 42\to 1512\\ 24\ast 84& =48\ast 42\to 2016\end{array}$$

$24$ is één van de $8$ getallen van $2$ cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de

eenheden : $24=6\ast 4$. De andere getallen zijn $12,15,25,35,36,45$ en $48$.

Zie bij 12.12 15.12 25.17 35.5 36.7 45.9 48.7

$24\to 278\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+9^1+{14}^1& =2^1+7^1+{15}^1\\ & en\\ 1^2+9^2+{14}^2& =2^2+7^2+{15}^2\end{array}$$

$24\to 188\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+5^1+9^1+9^1& =3^1+3^1+7^1+{11}^1\\ & en\\ 1^2+5^2+9^2+9^2& =3^2+3^2+7^2+{11}^2\end{array}$$ $24\to 194\to 1764\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+6^1+6^1+{11}^1& =2^1+3^1+9^1+{10}^1\\ & en\\ 1^2+6^2+6^2+{11}^2& =2^2+3^2+9^2+{10}^2\\ & en\\ 1^3+6^3+6^3+{11}^3& =2^3+3^3+9^3+{10}^3\end{array}$$

$Opgave$
Schrijf $24$ met drie dezelfde cijfers. Graag twee oplossingen.
$Oplossing$
Iedereen vindt gemakkelijk $8+8+8$. Iets minder gemakkelijk is $22+2=24$.
Andere oplossingen zijn $3^3-3;(4+4-4)!;(5-5/5)!;(9/9+\sqrt{9})!$

$Opgave$
Een aantal jaren geleden verpakte een chips-fabrikant in zijn pakken een gadget onder de naam Flippo.
(Het oorspronkelijke spel was ouder en kwam vermoedelijk uit het Verre Oosten). Dat was een rond plastic
schijfje waarop $4$ cijfers stonden. Het was de bedoeling om $24$ te maken met die vier cijfers, gebruik
makend van operatoren $+,–,\ast$ en $/$
$Oplossing$
Enkele voorbeelden met oplossingen :
Met $1,4,5,8:(8-4)\ast (1+5)$
Met $1,3,5,7:(5+7)\ast (3-1)$
Met $1,2,3,9:(9-1-2)\ast 3$
Met $1,7,8,9:(7+8+9)/1$
En een moeilijke : Met $3,3,8,8:8/(3-(8/3))$ wat niets anders is dan $8/(1/3)=8\ast 3$
Men kan het spel eventueel aanpassen door andere bewerkingen toe te laten, zo kan men bvb. met
$3,3,8,8$ ook $24$ maken als volgt : $(8-3)!/(8-3)$ of $(3+3)\ast \sqrt{(8+8)}$
Het spel kan ook online gespeeld worden (zoek op $24$-spel of $24$-game). Oplossingen zijn meestal ook
op het internet beschikbaar. Zie ook het hoofdstuk Vier Vieren uit “Puzzelen met Getallen”.

Als som met de vier operatoren $+-\ast /$
$24=(6+1)+(6-1)+(6\ast 1)+(6/1)$

${24}^2={21}^2+{12}^2-(2+1{)}^2$ (vorm met de cijfers $1$ en $2$)

Er zijn $3$ getallen van vierentwintig cijfers die gelijk zijn aan de som van de $vierentwintigste$ macht van hun cijfers :

$174088005938065293023722=$

$1$${}^{24}$$+7$${}^{24}$$+4$${}^{24}$$+0$${}^{24}$$+8$${}^{24}$$+8$${}^{24}$$+0$${}^{24}$$+0$${}^{24}$$+5$${}^{24}$$+9$${}^{24}$$+3$${}^{24}$$+8$${}^{24}$$+0$${}^{24}$$+6$${}^{24}$$+5$${}^{24}$$+2$${}^{24}$$+9$${}^{24}$$+3$${}^{24}$$+$

$0$${}^{24}$$+2$${}^{24}$$+3$${}^{24}$$+7$${}^{24}$$+2$${}^{24}$$+2$${}^{24}$

De overige twee getallen zijn

$188451485447897896036875,239313664430041569350093$

(OEIS A005188)

Alle getallen van $1$ tot $24$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden

van producten van machten. Hier alvast enkele voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels $[4-8]$,

$[5-7]$ en $[6-6]$. $$\begin{array}{rl}{9}^{21}\ast {12}^{13}\ast {16}^{23}\ast {20}^{11}& \mathbf{=}{2}^{22}\ast 3^{19}\ast 4^{14}\ast 5^{10}\ast 6^{18}\ast 8^7\ast {15}^1\ast {24}^{17}\\ 3^6\ast 8^{16}\ast {10}^{19}\ast {14}^{24}\ast {15}^{22}& \mathbf{=}{2}^9\ast 4^1\ast 5^{18}\ast 7^{13}\ast {12}^{17}\ast {20}^{23}\ast {21}^{11}\\ 2^1\ast 3^{11}\ast 8^{17}\ast {10}^{23}\ast {12}^8\ast {15}^{22}& \mathbf{=}{4}^{14}\ast 5^{24}\ast 6^{13}\ast 9^{19}\ast {16}^7\ast {20}^{21}\end{array}$$

$5$${}^{24}$$=59604644775390625$ is de hoogst gekende macht van $5$ waarbij geen cijfer $8$ voorkomt

in de decimale expansie.

Verbind alle hoekpunten van een reguliere zeshoek (hexagon) diagonaalsgewijs met elkaar.
Het totale aantal regio's dat daardoor ontstaat is exact $24$. (OEIS A007678)
Ziehier een mooi ingekleurde illustratie → (Illustratie)

John Baez uit California geeft een lezing aan de universiteit van Glasgow over het getal $24$, één van zijn favorieten.
(Internet Bron). Hier is een link naar de YouTube Video (John Baez on the number 24)
Wees wel gewaarschuwd dat wat hier uiteengezet wordt ver buiten het domein van de recreatieve wiskunde ligt.

Voor $n=24$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+14)\to \sigma (24)=\sigma (38)=60(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$24$ is de eerste oplossing uit de reeks $24,33,68,78,141,428,486,726,1136,\dots$

Som der reciproken van partitiegetallen van $24$ is $1$ op één wijze

Deze partitie heeft unieke termen.

$(1)24=2+4+6+12$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$

(OEIS A125726)

$2$${}^{24}$$-3$ is een priemgetal $(=16777213)$, de elfde in zijn soort $(2^k-3)$ (OEIS A050414)

$24$${}^5$$+24$${}^3$$+24$${}^9$$+24$${}^8$$+24$${}^2$$+24$${}^9$$+24$${}^3$$+24$${}^1$$+24$${}^5$$+24$${}^2$$+24$${}^4$$+24$${}^7$$+24$${}^2$$\mathbf{=}5398293152472$(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{24}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({252}^{24}\right)=252sdc\left({262}^{24}\right)=262sdc\left({288}^{24}\right)=288$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $24$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$24=(2\ast 4-2)\ast 4$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$24=(1+1)\ast (11+1)$
$24=22+2$
$24=3^3-3$
$24=4+4+4\ast 4$
$24=5\ast 5-5/5$
$24=6+6+6+6$
$24=7+7+(77-7)/7$
$24=8+8+8$
$24=(99+99+9+9)/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$24=1^{23456}\ast 7+8+9$
$24=98+7+6-54-32-1$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$