Allemaal Getallen Index 0022

$22 = 4 + 5 + 6 + 7$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$22 = 10 + 12$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$22 = 4^{1} + 3^{2} + 2^{3} + 1^{4}$

$22 = ((0; 2; 3; 3) (1; 1; 2; 4)) ➋ \to {# 2}$

$22 = 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 2^{3} + 2^{3}$ ( $8$ derdemachten nodig - zie bij ) $=$

$(0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2) ➌ \to {# 1}$

$22 = (1 + 2 + 3)^{2} - 1^{2} - 2^{2} - 3^{2}$

$22 = (3) + (3 + 4) + (3 + 4 + 5)$

$22 = 7^{2} - 3^{3} = 47^{2} - 3^{7}$

22.1

$22 =$ (som van drie derdemachten)

References Sum of Three Cubes

Getallen van de vorm $9 m + 4$ of $9 m + 5$ kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

In dit geval is $m = 2 (+ 4)$ .

$22 =$ (som van vier derdemachten)

$(z > 1000)$

$1^{3} + (- 11)^{3} + (- 14)^{3} + 16^{3} =$

$(- 14)^{3} + (- 41)^{3} + (- 41)^{3} + 52^{3} =$

$25^{3} + 25^{3} + 49^{3} + (- 53)^{3} =$

$(- 5)^{3} + (- 50)^{3} + (- 56)^{3} + 67^{3} =$

$(- 20)^{3} + (- 56)^{3} + (- 59)^{3} + 73^{3} =$

$1^{3} + 28^{3} + 85^{3} + (- 86)^{3} =$

$1^{3} + 49^{3} + 97^{3} + (- 101)^{3} =$

$16^{3} + (- 71)^{3} + (- 98)^{3} + 109^{3} =$

$37^{3} + (- 92)^{3} + (- 143)^{3} + 154^{3} =$

$28^{3} + (- 104)^{3} + (- 155)^{3} + 169^{3} =$

$(- 17)^{3} + 46^{3} + 175^{3} + (- 176)^{3} =$

$106^{3} + (- 119)^{3} + (- 179)^{3} + 184^{3} =$

$142^{3} + (- 167)^{3} + (- 179)^{3} + 196^{3} =$

$(- 101)^{3} + 172^{3} + 220^{3} + (- 245)^{3} =$

$109^{3} + (- 119)^{3} + (- 254)^{3} + 256^{3} =$

$(- 41)^{3} + (- 98)^{3} + (- 257)^{3} + 262^{3} =$

$(- 71)^{3} + (- 215)^{3} + (- 257)^{3} + 301^{3} =$

$241^{3} + (- 266)^{3} + (- 299)^{3} + 316^{3} =$

$208^{3} + 226^{3} + 247^{3} + (- 329)^{3} =$

$31^{3} + 70^{3} + 352^{3} + (- 353)^{3} =$

$(- 86)^{3} + (- 167)^{3} + (- 395)^{3} + 406^{3} =$

$1^{3} + (- 287)^{3} + (- 401)^{3} + 445^{3} =$

$73^{3} + 226^{3} + 448^{3} + (- 467)^{3} =$

$(- 98)^{3} + 205^{3} + 601^{3} + (- 608)^{3} =$

$(- 98)^{3} + 127^{3} + 607^{3} + (- 608)^{3} =$

$(- 179)^{3} + (- 467)^{3} + (- 497)^{3} + 613^{3} =$

$(- 23)^{3} + (- 230)^{3} + (- 602)^{3} + 613^{3} =$

$(- 44)^{3} + 226^{3} + 613^{3} + (- 623)^{3} =$

$91^{3} + 424^{3} + 556^{3} + (- 629)^{3} =$

$(- 119)^{3} + (- 164)^{3} + (- 635)^{3} + 640^{3} =$

$(- 257)^{3} + (- 449)^{3} + (- 602)^{3} + 688^{3} =$

$(- 263)^{3} + (- 299)^{3} + (- 668)^{3} + 700^{3} =$

$(- 266)^{3} + (- 365)^{3} + (- 668)^{3} + 715^{3} =$

$280^{3} + (- 335)^{3} + (- 683)^{3} + 694^{3} =$

$(- 62)^{3} + 517^{3} + 616^{3} + (- 719)^{3} =$

$145^{3} + (- 437)^{3} + (- 707)^{3} + 757^{3} =$

$139^{3} + (- 545)^{3} + (- 713)^{3} + 805^{3} =$

$64^{3} + (- 413)^{3} + (- 800)^{3} + 835^{3} =$

$16^{3} + (- 308)^{3} + (- 827)^{3} + 841^{3} =$

$(- 65)^{3} + (- 161)^{3} + (- 860)^{3} + 862^{3} =$

$418^{3} + (- 503)^{3} + (- 875)^{3} + 898^{3} =$

$(- 413)^{3} + 526^{3} + 883^{3} + (- 914)^{3} =$

$382^{3} + (- 485)^{3} + (- 908)^{3} + 931^{3} =$

$(- 134)^{3} + 553^{3} + 877^{3} + (- 944)^{3} =$

$(- 41)^{3} + (- 281)^{3} + (- 959)^{3} + 967^{3} =$

$409^{3} + 757^{3} + 760^{3} + (- 980)^{3} =$

$19^{3} + (- 530)^{3} + (- 941)^{3} + 994^{3} =$

$421^{3} + (- 476)^{3} + (- 998)^{3} + 1009^{3} =$

$(- 497)^{3} + (- 521)^{3} + (- 932)^{3} + 1024^{3} =$

$(- 92)^{3} + 673^{3} + 940^{3} + (- 1043)^{3} =$

$(- 281)^{3} + 700^{3} + 967^{3} + (- 1070)^{3} =$

$175^{3} + (- 758)^{3} + (- 929)^{3} + 1072^{3} =$

$(- 476)^{3} + (- 782)^{3} + (- 869)^{3} + 1075^{3} =$

$(z > 1000)$

$22 =$ (som van vijf vijfdemachten)

$4^{5} + (- 28)^{5} + 79^{5} + 118^{5} + (- 121)^{5} = (z > 200)$

22.2

$22^{2} = 484 = 242 + 242 = 121 + 121 + 121 + 121$ (zowel de getallen als het kwadraat zijn palindromen)

$22^{2} = 4^{2} + 12^{2} + 18^{2} = 14^{2} + 18^{2} - 6^{2}$

22.3

22 / 7

is een alom gekende benadering van

π

(op

2

decimalen juist) :

22 / 7 = 3, 1428

terwijl

π = 3, 1415

22.4

22

is – net zoals alle getallen van de vorm

AA

– de som van twee getallen die elkaars omgekeerde zijn :

20 + 02

en triviaal

11 + 11

22.5

De som van de cijfers van

22

is gelijk aan het product van de cijfers. Enkel de getallen die met

1, 2, 3

kunnen samengesteld worden (dus

123; 132; 213; 231; 312

321

) hebben dezelfde eigenschap voor getallen

< 1000

22.6

○–○–○

22^{2} = 484

p r i m e (4) + 8 + p r i m e (4) = 22

22^{3} = 10648

1 + 0 + 6 + p r i m e (4) + 8 = 22

22^{4} = 234256 en 2 + 3 + 4 + 2 + 5 + 6 = 22

22^{5} = 5153632

5 + 15 + 3 - 6 + 3 + 2 = 22

22^{6} = 113379904

11 + 3 - 3 + 7 + 9 - 9 + 0 + 4 = 22

22^{7} = 2494357888

24 - 9 + 4 - 3 + 5 - 7 + 8 - 8 + 8 = 22

22^{8} = 54875873536

5 - 48 + 7 + 5 + 8 + 7 - 3 + 5 + 36 = 22

22^{9} = 1207269217792

12 + 0 + 7 + 2 + 6 - 9 - 2 - 1 + 7 + 7 - 9 + 2 = 22

22.7

$22^{2} = \to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $484$

$22^{3} = 143^{2} - 99^{2} = 168^{2} - 26^{3} = 253^{2} - 231^{2} = 1333^{2} - 1329^{2} = 2663^{2} - 2661^{2}$

22.8

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $22$ enkel met operatoren $+, -, *, /, (),$ ^^
$22 = ((2$ ^^ $2) * 2) / 2$

22.9

22! = 1124000727777607680000

heeft precies

22

cijfers. Enkel bij

23

24

is dit nog het geval (het triviale

1! = 1

uitgesloten)

22.10

Volgende patronen zijn merkwaardig :

$22 \to 142 \to$ $\begin{aligned} 2^{1} + 5^{1} + 7^{1} + 8^{1} & = 3^{1} + 4^{1} + 6^{1} + 9^{1} \\ 2^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 8^{2} & = 3^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 9^{2} \end{aligned}$ $22 \to 150 \to$ $\begin{aligned} 1^{1} + 6^{1} + 7^{1} + 8^{1} & = 3^{1} + 4^{1} + 5^{1} + 10^{1} \\ 1^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} & = 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 10^{2} \end{aligned}$ $22 \to 156 \to$ $\begin{aligned} 1^{1} + 5^{1} + 7^{1} + 9^{1} & = 2^{1} + 4^{1} + 6^{1} + 10^{1} \\ 1^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} & = 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 10^{2} \end{aligned}$ $22 \to 222 \to$ $\begin{aligned} 1^{1} + 10^{1} + 11^{1} & = 2^{1} + 7^{1} + 13^{1} \\ 1^{2} + 10^{2} + 11^{2} & = 2^{2} + 7^{2} + 13^{2} \end{aligned}$ En nog merkwaardiger is :

$22 \to 186 \to 1738 \to$ $\begin{aligned} 4^{1} + 7^{1} + 11^{1} & = 1^{1} + 2^{1} + 9^{1} + 10^{1} \\ e n \\ 4^{2} + 7^{2} + 11^{2} & = 1^{2} + 2^{2} + 9^{2} + 10^{2} \\ m a a r o o k \\ 4^{3} + 7^{3} + 11^{3} & = 1^{3} + 2^{3} + 9^{3} + 10^{3} \end{aligned}$

22.11

22

is het op één na kleinste SMITH-getal (na het getal

4

) :

22 = 2 * 11

2 + 2 = 2 + 1 + 1

(OEIS A006753)

22.12

22

schrijven met behulp van de cijfers

1, 2, 3

4

13 * 2 - 4 = 4! + 2 - 3 - 1 = 43 - 21 = 2 * (3 * 4 - 1) = 21 + 4 - 3

22.13

Er is één rechthoekige driehoek met gehele zijden en waarvan één zijde

22

is :

(22; 120; 122)

22.14

Vijf zeshoeken kunnen op

22

mogelijke wijzen worden samengevoegd. Dergelijke figuren heten pentahexes.
(Wikipedia)

22.15

EEN WEETJE

$22$ is het kleinste getal dat tegelijk een gecentreerd zevenhoeksgetal en vijfhoeksgetal is.
Het volgende getal met die eigenschap is $11572$ (OEIS A254654)

22.16

EEN TRUUKJE

Neem een getal van $3$ verschillende cijfers. Vorm hiermee nu alle mogelijke combinaties van getallen
van twee cijfers. Dat levert zes verschillende getallen op. Maak de som van die zes getallen en deel dit door
de som van de drie gekozen cijfers. Het resultaat is steeds $22$ .
Bvb. $478$ levert $47 + 48 + 74 + 78 + 84 + 87 = 418$ en $418 / (4 + 7 + 8) = 418 / 19 = 22$
Een woordje uitleg : met drie verschillende cijfers $A, B, C$ maken we de getallen $A B, A C, B A, B C, C A$ en $C B$
wat we ook als volgt kunnen schrijven = $10 A + B; 10 A + C; 10 B + A; 10 B + C; 10 C + A$ en $10 C + B$ .
Als we daar de som van maken dan komt er $10 A + 10 A + 10 B + 10 B + 10 C + 10 C + A + B + C + A + B + C$ of
$22 A + 22 B + 22 C$ , of nog $22 (A + B + C)$ . Deel dit door $(A + B + C)$ en er komt automatisch $22$ .
Zie ook bij

22.17

WETENSWAARD

In de derdemachten $2^{3} = 8; 22^{3} = 10648; 222^{3} = 10941048; 2222^{3} = 10970645048; 22222^{3} = 10973607685048$ en $222222^{3} = 10973903978085048$ komt geen enkele $2$ voor. Pas in $2222222^{3} = 1097393360768 \underset{―}{2} 085048$ komt een $2$ voor.

22.18

22

als resultaat met breuken waarin de cijfers van

1

tot

9

exact één keer voorkomen : (

1

oplossing) :

51678 / 2349 = 22

22

als resultaat met breuken waarin de cijfers van

0

tot

9

exact één keer voorkomen : (

1

oplossingen) :

154638 / 7029 = 206514 / 9387 = 214830 / 9765 = 22

22.19

22

is het kleinste getal dat op drie verschillende wijzen de som van twee priemgetallen is (bovendien zijn alle
getallen oneven) :

$2 p r i m e s [\begin{matrix} 3 & + & 19 \\ 5 & + & 17 \\ 11 & + & 11 \end{matrix}$

22

als som van drie (allemaal verschillende) priemgetallen :

$3 p r i m e s [\begin{matrix} 2 & + & 3 & + & 17 \\ 2 & + & 7 & + & 13 \end{matrix}$

22.20

Men moet

22

tot minimaal de

960

ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact

22

22

's verschijnen.
Terloops :

22

^{960}

heeft een lengte van

1289

cijfers.
Om aan het juiste aantal van

22

te komen moet je hier wel rekening houden met overlappingen. Zo hebben we

19

maal

22

(incl.

22 | 2

) en

3

maal

2 | 22

wat ons totaal op

22

brengt (dit fenomeen doet zich enkel voor met repdigits).
Zonder overlappingen moeten we de exponent laten oplopen tot

1503

. En

22

^{1503}

heeft dan een lengte van

2018

cijfers.
De grootste exponent die nog een oplossing zonder overlappingen geeft is

2813

. Hogerop wacht slechts de

\infty

.
En

22

^{2813}

heeft dan een lengte van

3777

cijfers.

Exponent

960 = (9 + 6 + 0) + (9^{3} + 6^{3} + 0^{3})

. In totaal zijn er zes zulke getallen. Zie (OEIS A065138) en

Lengte

3777

is ook speciaal want de som van de delers heeft (vier) verschillende priemfactoren nl.

2, 3, 5

7

. En dan,
hoor ik je zeggen, maar idem dito voor de drie opeenvolgende getallen

3778, 3779

3780

met dezelfde priemfactoren
en dat is een zeldzame gebeurtenis. (OEIS A303693)

22.21

22

is het kleinste “zelfbeschrijvende” getal. “

22

” kan men lezen als “twee keer (het cijfer)

2

”
en dat is precies het getal dat er staat.

22

is het enige zelfbeschrijvende getal kleiner dan

1000

in Romeinse cijfers :
Het chronogram “tWeeëntWIntIg” leest als

5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1 = 22

(de “W” leest als “VV” dus

2 * 5)

22.22

Alle getallen van $1$ tot $22$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze twee gelijkheden

van producten van machten. Hier alvast enkele voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels $[3 - 8]$ ,

$[4 - 7]$ en $[5 - 6]$ $\begin{aligned} 6^{19} * 12^{22} * 15^{21} & = 2^{13} * 4^{8} * 5^{11} * 9^{14} * 10^{7} * 16^{1} * 18^{17} * 20^{3} \\ 6^{22} * 15^{20} * 16^{8} * 18^{14} & = 2^{17} * 3^{11} * 4^{1} * 5^{13} * 9^{19} * 10^{7} * 12^{21} \\ 3^{16} * 8^{11} * 10^{6} * 14^{22} * 15^{13} & = 2^{9} * 4^{1} * 7^{17} * 18^{12} * 20^{19} * 21^{5} \end{aligned}$

22.23

$8$ $^{22}$ $= 73786976294838206464$ is de hoogst gekende macht van $8$ waarbij geen cijfer $1$ voorkomt

in de decimale expansie.

$8$ $^{22}$ $= 73786976294838206464$ is de hoogst gekende macht van $8$ waarbij geen cijfer $5$ voorkomt

in de decimale expansie.

$6$ $^{22}$ $= 131621703842267136$ is de hoogst gekende macht van $6$ waarbij geen cijfer $9$ voorkomt

in de decimale expansie.

22.24

$22$ is het kleinste getal zodanig dat de som der reciproken van partitiegetallen gelijk is aan $1$ op meer dan één wijze.

Voor $22$ kan dit al ineens op drie wijzen maar geen enkel heeft unieke termen.

$(1) 22 = 2 + 4 + 8 + 8$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

$(2) 22 = 2 + 5 + 5 + 10$ en $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$

$(3) 22 = 3 + 3 + 4 + 12$ en $1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$

(OEIS A125726)

22.25

Wanneer een cirkel met zes lijnen wordt doorsneden is het maximaal aantal stukken dat uitgesneden kan worden

gelijk aan $22$ . (A000124) (Wikipedia : Lazy caterer's sequence) (Cutting a circle using 6 lines)

22.26

$\begin{array}{r} 22 = {(\frac{17299}{9954})}^{3} + {(\frac{25469}{9954})}^{3} \end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^{3} + y^{3}) / z^{3} = n \to$ [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)

22.27

$2$ $^{22}$ $- 3$ is een priemgetal $(= 4194301)$ , de tiende in zijn soort $(2^{k} - 3)$ (OEIS A050414)

22.28

$22$ $^{5}$ $+ 22$ $^{1}$ $+ 22$ $^{1}$ $+ 22$ $^{7}$ $+ 22$ $^{5}$ $+ 22$ $^{5}$ $+ 22$ $^{7}$ $+ 22$ $^{1}$ $+ 22$ $^{2}$ $+ 22$ $^{6}$ $= 5117557126$ (OEIS A236067)

22.29

Som Der Cijfers ( $s d c$ ) van $k^{22}$ is gelijk aan het grondtal $k$ . De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$s d c (90^{22}) = 90 s d c (169^{22}) = 169 s d c (193^{22}) = 193$

$s d c (217^{22}) = 217 s d c (225^{22}) = 225 s d c (234^{22}) = 234$

$s d c (256^{22}) = 256$

22.30

Exponent

22

heeft geen groter grondtal dan

7

zodat de decimale expansie van deze macht geen cijfers bevat
uit het grondtal

\to 7^{22} = 3909821048582988049

(OEIS A113951)

22.31

22

is het aantal partities van

8

(OEIS A000041)
Pari/GP code : numbpart(8)

22.32

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$22 = 11 + 11$
$22 = 22$
$22 = (33 + 33) / 3$
$22 = (44 + 44) / 4$
$22 = (55 + 55) / 5$
$22 = (66 + 66) / 6$
$22 = (77 + 77) / 7$
$22 = (88 + 88) / 8$
$22 = (99 + 99) / 9$

22.33

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$22 = 1 - 23 + 4 - 56 + 7 + 89$
$22 = 9 - 87 + 65 + 4 + 32 - 1$

22.34

$22$	$2 * 11$	$4$	$36$
	$1, 2, 11, 22$
	$10110_{2}$	$26_{8}$	$16_{16}$

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR