\(22=4+5+6+7\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(22=10+12\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(22=4^1+3^2+2^3+1^4\)

\(22=((0;2;3;3)\,(1;1; 2; 4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)

\(22\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3~~\) ( \(8\) derdemachten nodig - zie bij ) \(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\;\,\qquad\)\((0;1;1;1;1;1;1;2;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)

\(22=(1+2+3)^2-1^2-2^2-3^2\)

\(22\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}47^2-3^7\)

22.1

\(22\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad\;\,\)In dit geval is \(m=2~~(+4)\).

\(22\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{1^3+(-11)^3+(-14)^3+16^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-14)^3+(-41)^3+(-41)^3+52^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{25^3+25^3+49^3+(-53)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-5)^3+(-50)^3+(-56)^3+67^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-20)^3+(-56)^3+(-59)^3+73^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{1^3+28^3+85^3+(-86)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{1^3+49^3+97^3+(-101)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{16^3+(-71)^3+(-98)^3+109^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{37^3+(-92)^3+(-143)^3+154^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{28^3+(-104)^3+(-155)^3+169^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-17)^3+46^3+175^3+(-176)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{106^3+(-119)^3+(-179)^3+184^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{142^3+(-167)^3+(-179)^3+196^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-101)^3+172^3+220^3+(-245)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{109^3+(-119)^3+(-254)^3+256^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-41)^3+(-98)^3+(-257)^3+262^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-71)^3+(-215)^3+(-257)^3+301^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{241^3+(-266)^3+(-299)^3+316^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{208^3+226^3+247^3+(-329)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{31^3+70^3+352^3+(-353)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-86)^3+(-167)^3+(-395)^3+406^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{1^3+(-287)^3+(-401)^3+445^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{73^3+226^3+448^3+(-467)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-98)^3+205^3+601^3+(-608)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-98)^3+127^3+607^3+(-608)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-179)^3+(-467)^3+(-497)^3+613^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-23)^3+(-230)^3+(-602)^3+613^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-44)^3+226^3+613^3+(-623)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{91^3+424^3+556^3+(-629)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-119)^3+(-164)^3+(-635)^3+640^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-257)^3+(-449)^3+(-602)^3+688^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-263)^3+(-299)^3+(-668)^3+700^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-266)^3+(-365)^3+(-668)^3+715^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{280^3+(-335)^3+(-683)^3+694^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-62)^3+517^3+616^3+(-719)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{145^3+(-437)^3+(-707)^3+757^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{139^3+(-545)^3+(-713)^3+805^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{64^3+(-413)^3+(-800)^3+835^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{16^3+(-308)^3+(-827)^3+841^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-65)^3+(-161)^3+(-860)^3+862^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{418^3+(-503)^3+(-875)^3+898^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-413)^3+526^3+883^3+(-914)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{382^3+(-485)^3+(-908)^3+931^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-134)^3+553^3+877^3+(-944)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-41)^3+(-281)^3+(-959)^3+967^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{409^3+757^3+760^3+(-980)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{19^3+(-530)^3+(-941)^3+994^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{421^3+(-476)^3+(-998)^3+1009^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-497)^3+(-521)^3+(-932)^3+1024^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-92)^3+673^3+940^3+(-1043)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-281)^3+700^3+967^3+(-1070)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{175^3+(-758)^3+(-929)^3+1072^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-476)^3+(-782)^3+(-869)^3+1075^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(22\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{4^5+(-28)^5+79^5+118^5+(-121)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

22.2

\(22^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}484\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}242+242\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}121+121+121+121\) (zowel de getallen als het kwadraat zijn palindromen)

\(22^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2+12^2+18^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^2+18^2-6^2\)

22.3
\(22/7\) is een alom gekende benadering van \(\Large{\pi}\) (op \(2\) decimalen juist) : \(22/7=3,1428\) terwijl \({\Large{\pi}}=3,1415\) 22.4
\(22\) is – net zoals alle getallen van de vorm \(\small{\text{AA}}\) – de som van twee getallen die elkaars omgekeerde zijn :
\(20+02\) en triviaal \(11+11\) 		22.5
De som van de cijfers van \(22\) is gelijk aan het product van de cijfers. Enkel de getallen die met \(1,2,3\)
kunnen samengesteld worden (dus \(123;132;213;231;312\) en \(321\)) hebben dezelfde eigenschap voor getallen \(\lt1000\). 		22.6
\(22=\root{\raise3pt{\large4}}\of{234256}\quad=2+3+4+2+5+6\) 22.7

\(22^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(484\)

\(22^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}143^2-99^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}168^2-26^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{253^2-231^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1333^2-1329^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2663^2-2661^2\)

22.8
\(22^4=234256=(2+3+4+2+5+6)^4\)
\(22^6=113379904=(11+3-3+7+9-9+0+4)^6\)
\(22^7=2494357888=(24-9+4-3+5-7+8-8+8)^7\)
22.9
\(22!=1124000727777607680000\) heeft precies \(22\) cijfers. Enkel bij \(23\) en \(24\) is dit nog het geval (het triviale
\(1!=1\) uitgesloten) 		22.10
Volgende patronen zijn merkwaardig :

\(22\to142\to\) \begin{align} 2^1+5^1+7^1+8^1&=3^1+4^1+6^1+9^1\\ 2^2+5^2+7^2+8^2&=3^2+4^2+6^2+9^2 \end{align} \(22\to150\to\) \begin{align} 1^1+6^1+7^1+8^1&=3^1+4^1+5^1+10^1\\ 1^2+6^2+7^2+8^2&=3^2+4^2+5^2+10^2 \end{align} \(22\to156\to\) \begin{align} 1^1+5^1+7^1+9^1&=2^1+4^1+6^1+10^1\\ 1^2+5^2+7^2+9^2&=2^2+4^2+6^2+10^2 \end{align} \(22\to222\to\) \begin{align} 1^1+10^1+11^1&=2^1+7^1+13^1\\ 1^2+10^2+11^2&=2^2+7^2+13^2 \end{align}En nog merkwaardiger is :

\(22\to186\to1738\to\) \begin{align} 4^1+7^1+11^1&=1^1+2^1+9^1+10^1\\ &en\\ 4^2+7^2+11^2&=1^2+2^2+9^2+10^2\\ &maar\;ook&\\ 4^3+7^3+11^3&=1^3+2^3+9^3+10^3\\ \end{align} 		22.11
\(22\) is het op één na kleinste SMITH-getal (na het getal \(4\)) : \(22=2*11\) en \(2+2=2+1+1\) (OEIS A006753) 22.12
\(22\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) :
\(\quad13*2-4~~=~~4!+2-3-1~~=~~43-21~~=~~2*(3*4-1)~~=~~21+4-3\) 		22.13
Er is één rechthoekige driehoek met gehele zijden en waarvan één zijde \(22\) is : \((22;120;122)\) 22.14
Vijf zeshoeken kunnen op \(22\) mogelijke wijzen worden samengevoegd. Dergelijke figuren heten pentahexes.
(Wikipedia) 		22.15
  EEN WEETJE  

\(22\) is het kleinste getal dat tegelijk een gecentreerd zevenhoeksgetal en vijfhoeksgetal is.
Het volgende getal met die eigenschap is \(11572\quad\) (OEIS A254654)

22.16
  EEN TRUUKJE  

Neem een getal van \(3\) verschillende cijfers. Vorm hiermee nu alle mogelijke combinaties van getallen
van twee cijfers. Dat levert zes verschillende getallen op. Maak de som van die zes getallen en deel dit door
de som van de drie gekozen cijfers. Het resultaat is steeds \(22\).
Bvb. \(478\) levert \(47+48+74+78+84+87=418\) en \(418/(4+7+8)=418/19=22\)
Een woordje uitleg : met drie verschillende cijfers \(A,B,C\) maken we de getallen \(AB,AC,BA,BC,CA\) en \(CB\)
wat we ook als volgt kunnen schrijven = \(10A+B;10A+C;10B+A;10B+C;10C+A\) en \(10C+B\).
Als we daar de som van maken dan komt er \(10A+10A+10B+10B+10C+10C+A+B+C+A+B+C\) of
\(22A+22B+22C\), of nog \(22(A+B+C)\). Deel dit door \((A+B+C)\) en er komt automatisch \(22\).
Zie ook bij

22.17
  WETENSWAARD  

In de derdemachten \(2^3=8;22^3=10648;222^3=10941048;2222^3=10970645048;22222^3=10973607685048\) en \(222222^3=10973903978085048\) komt geen enkele \(2\) voor. Pas in \(2222222^3=1097393360768\underline{2}085048\) komt een \(2\) voor.

22.18
\(22\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) :
\(51678/2349=22\)
\(22\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossingen) :
\(154638/7029=206514/9387=214830/9765=22\) 		22.19
\(22\) is het kleinste getal dat op drie verschillende wijzen de som van twee priemgetallen is (bovendien zijn alle
getallen oneven) :

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} &3&+&19\\ &5&+&17\\ &11&+&11 \end{matrix} \right. $$

\(22\) als som van drie (allemaal verschillende) priemgetallen :

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{17}\\ \\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{7}&+&\mathbf{13} \end{matrix} \right. $$

22.20
Men moet \(22\) tot minimaal de \(960\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(22\) \(22\)'s verschijnen.
Terloops : \(22\)\(^{960}\) heeft een lengte van \(1289\) cijfers.
Om aan het juiste aantal van \(22\) te komen moet je hier wel rekening houden met overlappingen. Zo hebben we \(19\) maal \(22\) (incl. \(22|2\)) en \(3\) maal \(2|22\) wat ons totaal op \(22\) brengt (dit fenomeen doet zich enkel voor met repdigits).
Zonder overlappingen moeten we de exponent laten oplopen tot \(1503\). En \(22\)\(^{1503}\) heeft dan een lengte van \(2018\) cijfers.
De grootste exponent die nog een oplossing zonder overlappingen geeft is \(2813\). Hogerop wacht slechts de \(\large{\infty}\).
En \(22\)\(^{2813}\) heeft dan een lengte van \(3777\) cijfers.
Exponent \(960=(9+6+0)+(9^3+6^3+0^3)\). In totaal zijn er zes zulke getallen. Zie (OEIS A065138) en
Lengte \(3777\) is ook speciaal want de som van de delers heeft (vier) verschillende priemfactoren nl. \(2,3,5\) en \(7\). En dan,
hoor ik je zeggen, maar idem dito voor de drie opeenvolgende getallen \(3778,3779\) en \(3780\) met dezelfde priemfactoren
en dat is een zeldzame gebeurtenis. (OEIS A303693) 		22.21
\(22\) is het kleinste “zelfbeschrijvende” getal. “\(22\)” kan men lezen als “twee keer (het cijfer) \(2\)”
en dat is precies het getal dat er staat.
\(22\) is het enige zelfbeschrijvende getal kleiner dan \(1000\) in Romeinse cijfers :
Het chronogram “tWeeëntWIntIg” leest als \(5+5+5+5+1+1=22\) (de “W” leest als “VV” dus \(2*5)\) 		22.22

Alle getallen van \(1\) tot \(22\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze twee gelijkheden

van producten van machten. Hier alvast enkele voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels \([3-8]\),

\([4-7]\) en \([5-6]\) \begin{align} 6^{19}*12^{22}*15^{21}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{13}*4^8*5^{11}*9^{14}*10^7*16^1*18^{17}*20^3\\ 6^{22}*15^{20}*16^8*18^{14}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{17}*3^{11}*4^1*5^{13}*9^{19}*10^7*12^{21}\\ 3^{16}*8^{11}*10^{6}*14^{22}*15^{13}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{9}*4^{1}*7^{17}*18^{12}*20^{19}*21^{5}\\ \end{align}

22.23

\(8\)\(^{22}\)\(~=~73786976294838206464\) is de hoogst gekende macht van \(8\) waarbij geen cijfer \(1\) voorkomt

in de decimale expansie.

\(8\)\(^{22}\)\(~=~73786976294838206464\) is de hoogst gekende macht van \(8\) waarbij geen cijfer \(5\) voorkomt

in de decimale expansie.

\(6\)\(^{22}\)\(~=~131621703842267136\) is de hoogst gekende macht van \(6\) waarbij geen cijfer \(9\) voorkomt

in de decimale expansie.

22.24

\(22\) is het kleinste getal zodanig dat de som der reciproken van partitiegetallen gelijk is aan \(1\) op meer dan één wijze.

Voor \(22\) kan dit al ineens op drie wijzen maar geen enkel heeft unieke termen.

\((1)~~22=2+4+8+8~~~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{8}}\)

\((2)~~22=2+5+5+10~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{10}}\)

\((3)~~22=3+3+4+12~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{12}}\)

(OEIS A125726)

22.25

Wanneer een cirkel met zes lijnen wordt doorsneden is het maximaal aantal stukken dat uitgesneden kan worden

gelijk aan \(22\). (A000124) (Wikipedia : Lazy caterer's sequence) (Cutting a circle using 6 lines)

22.26

\(\begin{align}22\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{17299}{9954}}\right)^3+\left({\frac{25469}{9954}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

22.27

\(2\)\(^{22}\)\(\,-\,3\) is een priemgetal \((=4194301)\), de tiende in zijn soort \((2^k-3)~~\) (OEIS A050414)

22.28

\(22\)\(^{5}\)\(+22\)\(^{1}\)\(+22\)\(^{1}\)\(+22\)\(^{7}\)\(+22\)\(^{5}\)\(+22\)\(^{5}\)\(+22\)\(^{7}\)\(+22\)\(^{1}\)\(+22\)\(^{2}\)\(+22\)\(^{6}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5117557126~~\)(OEIS A236067)

22.29
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(22\)\(2*11\)\(4\)\(36\)
\(1,2,11,22\)
\(10110_2\)\(26_8\)\(16_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 22 november 2024