$19=9+10$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$19=1+2+3+5+8$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$19\mathbf{=}3+6+10\mathbf{=}D(2)+D(3)+D(4)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$19\mathbf{=}{1}^2+3^2+3^2\mathbf{=}{1}^2+1^2+1^2+4^2\mathbf{=}((0;1;3;3)(1;1;1;4))➋\to \{\mathrm{\#}2\}$

$19\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+2^3+2^3\mathbf{=}(0;0;0;0;1;1;1;2;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$19=1^4+1^4+1^4+2^4$

$19=4!-3!+2!-1!$

$19\mathbf{=}\sqrt{3\ast 4\ast 5\ast 6+1}\mathbf{=}3+(3+1{)}^2$ (product van vier opeenvolgende getallen plus $1$ is een kwadraat)

$$(OEIS A028387)

$19=1\ast 5+3\ast 3+5\ast 1$ (palindromische uitdrukking)

$19=95/5=9+5+5$ (zelfde cijfers)

$19\mathbf{=}$Verschillende uitdrukkingen zijn van de volgende vorm : $19=\text{AB}-{\text{A}}^2-{\text{B}}^2,$ bvb. $19=32-3^2-2^2$.

$$Er zijn nog twee andere mogelijkheden : $19=53-5^2-3^2$ en $19=72-7^2-2^2$

$19\mathbf{=}{3}^3-2^3$($19$ is het kleinste getal dat gelijk is aan het verschil van de derdemachten van twee priemgetallen)\)

$19\mathbf{=}{3}^3-2^3\mathbf{=}{7}^3-{18}^2\mathbf{=}{10}^2-[3^4][9^2]\mathbf{=}{12}^2-5^3$

$19\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$16$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$19\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$1^n+7^5+{13}^5+{13}^5+(-15{)}^5(n=5)\mathbf{=}\to$Noteer dat$1+7+13+13-15\mathbf{=}19$

$(-1{)}^5+2^5+(-13{)}^5+(-16{)}^5+{17}^5\mathbf{=}$

${19}^5+(-20{)}^5+{29}^5+{41}^5+(-42{)}^5\mathbf{=}(z>200)$

${19}^2=4^2+7^2+{10}^2+{14}^2$

${19}^3\mathbf{=}{3}^2+{17}^2+{81}^2\mathbf{=}{3}^2+{35}^2+{75}^2\mathbf{=}{3}^2+{39}^2+{73}^2\mathbf{=}{9}^2+{53}^2+{63}^2\mathbf{=}{17}^2+{51}^2+{63}^2\mathbf{=}{19}^2+{57}^2+{57}^2\mathbf{=}$

${21}^2+{33}^2+{73}^2\mathbf{=}{27}^2+{33}^2+{71}^2\mathbf{=}{27}^2+{37}^2+{69}^2\mathbf{=}{37}^2+{39}^2+{63}^2\mathbf{=}{45}^2+{45}^2+{53}^2$

${19}^3=3^3+{10}^3+{18}^3$ (enige oplossing met drie positieve derdemachten, geen met vier)

${19}^3\mathbf{=}{1}^3+1^3+6^3+{12}^3+{17}^3\mathbf{=}{1}^3+3^3+{12}^3+{12}^3+{15}^3\mathbf{=}{1}^3+6^3+9^3+{10}^3+{17}^3\mathbf{=}$

$2^3+3^3+{10}^3+{12}^3+{16}^3\mathbf{=}{2}^3+9^3+{12}^3+{13}^3+{13}^3\mathbf{=}{3}^3+3^3+8^3+{13}^3+{16}^3\mathbf{=}$

$3^3+9^3+{10}^3+{12}^3+{15}^3\mathbf{=}{5}^3+6^3+7^3+7^3+{18}^3\mathbf{=}{6}^3+6^3+{10}^3+{11}^3+{16}^3\mathbf{=}$

${10}^3+{10}^3+{11}^3+{11}^3+{13}^3$ (tien oplossingen met vijf positieve derdemachten)

${19}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $361$

${19}^3\mathbf{=}{190}^2-{171}^2\mathbf{=}{3430}^2-{3429}^2$

Men kan ook priemgetallen maken door één of meerdere cijfers rechts toe te voegen aan $19$ : $$\begin{array}{r}19\mathbf{7}\\ 197\mathbf{9}\\ 1979\mathbf{3}\\ 19793\mathbf{3}\\ 197933\mathbf{9}\\ 1979339\mathbf{3}\\ 19793393\mathbf{3}\\ 197933933\mathbf{9}\end{array}$$

$Opgave$
Welk getal van $4$ cijfers voldoet aan de volgende eisen : het cijfer van de tientallen is het
dubbel van de eenheden; het cijfer van de honderdtallen is het dubbel van de tientallen en
de som van de cijfers van het getal is $19$.
$Oplossing$
$5842$. Voor de eenheden is enkel $1$ of $2$ mogelijk. Met de info over tientallen en
honderdtallen zijn de twee mogelijkheden $A421$ of $B842$ waarbij dan nog
$A+4+2+1=19$ of $B+8+4+2=19$ moet zijn. Enkel $B=19-8-4-2=5$ voldoet;
immers $A=19-4-2-1=12$ en dit is geen cijfer maar een getal.

$$2primes[\begin{array}{c}\\ & 2& +& 17\\ \end{array}$$

$$3oddprimes[\begin{array}{cccccc}& 3& +& 3& +& 13\\ & & \mathbf{3}& +& \mathbf{5}& +& \mathbf{11}\\ & 5& +& 7& +& 7\end{array}$$

Er zijn $4$ getallen van negentien cijfers die gelijk zijn aan de som van de $negentiende$ macht van hun cijfers :

$1517841543307505039=$

$1$${}^{19}$$+5$${}^{19}$$+1$${}^{19}$$+7$${}^{19}$$+8$${}^{19}$$+4$${}^{19}$$+1$${}^{19}$$+5$${}^{19}$$+4$${}^{19}$$+3$${}^{19}$$+3$${}^{19}$$+0$${}^{19}$$+7$${}^{19}$$+5$${}^{19}$$+0$${}^{19}$$+5$${}^{19}$$+0$${}^{19}$$+3$${}^{19}$$+9$${}^{19}$

De overige drie getallen zijn $3289582984443187032,4498128791164624869,4929273885928088826$

(OEIS A005188)

$2$${}^{19}$$-19$ is een priemgetal, de vijfde in zijn soort. (OEIS A048744)

$19$${}^{19}$$-2$ is een priemgetal, de derde in zijn soort ($k^k-2$). (OEIS A100408)

Elk getal van negen cijfers tweemaal herhaald (hetgeen een tautonymisch getal is) is deelbaar door $19$.

Bvb. $\overbrace{987654321}\overbrace{987654321}/19=51981806420402859$

Dit komt omdat het tautonymisch getal geschreven kan worden als $987654321\ast 1000000001$

en $19$ is één van de priemfactoren van $1000000001=7\ast 11\ast 13\ast 19\ast 52579$.

$\begin{array}{r}19\mathbf{=}{\left(\frac{3}{2}\right)}^3+{\left(\frac{5}{2}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(\frac{8}{3}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{33}{35}\right)}^3+{\left(\frac{92}{35}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{9613}{10386}\right)}^3+{\left(\frac{27323}{10386}\right)}^3\end{array}$

$\begin{array}{r}19\mathbf{=}{\left(\frac{3}{1}\right)}^3-{\left(\frac{2}{1}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{36}{13}\right)}^3-{\left(\frac{17}{13}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{109}{31}\right)}^3-{\left(\frac{90}{31}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{613}{103}\right)}^3-{\left(\frac{594}{103}\right)}^3\mathbf{=}\end{array}$

$\begin{array}{r}{\left(\frac{895}{196}\right)}^3-{\left(\frac{831}{196}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Som der reciproken van partitiegetallen van $19$ levert nooit $1$ op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

$19$${}^5$$+19$${}^2$$+19$${}^1$$+19$${}^3$$+19$${}^5$$+19$${}^6$$+19$${}^4$$+19$${}^0$$\mathbf{=}52135640$ (OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{19}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({80}^{19}\right)=80sdc\left({90}^{19}\right)=90sdc\left({155}^{19}\right)=155$

$sdc\left({157}^{19}\right)=157sdc\left({171}^{19}\right)=171sdc\left({173}^{19}\right)=173$

$sdc\left({181}^{19}\right)=181sdc\left({189}^{19}\right)=189sdc\left({207}^{19}\right)=207$

Expressies met tweemaal de cijfers uit het getal $19$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$19=1\ast 1+9+9=1\ast 9+1+9$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$19=(1+1)\ast (11-1)-1$
$19=22-2-2/2$
$19=3\ast (3+3)+3/3$
$19=4+4+44/4$
$19=5\ast 5-5-5/5$
$19=6+6+6+6/6$
$19=7+(77+7)/7$
$19=8+88/8$
$19=9+9+9/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$19=12+34-5+67-89$
$19=98-7+6-54-3-21$

Expressie van $n$ enkel gebruik makend van faculteiten, vierkantswortels en afrondingen. In Pari/GP code :

$19=$floor(sqrt(sqrt(prod(j=1,ceil(sqrt(sqrt(sqrt(prod(i=1,19/2,2*i+1)))))/2,2*j+1))))

$19=$$\lfloor$$\sqrt{\sqrt{\lceil \sqrt{\sqrt{\sqrt{19!!}}}\rceil !!}}$$\rfloor$

$19$ is een KEITH getal. Dit is een sequentie uitrol die lijkt op de Fibonacci iteratie. Evenwel begint een Keith reeks
met onze getalcijfers $1,9$ en elke volgende term is de som van de twee laatste getallen. Waarom twee ? Omdat dat
de cijferlengte is van ons begingetal $19$. We steken van wal met $1+9=10$. Hierna hebben we $9+10=19$
en hier komen we weer uit bij ons begingetal.
Zo is geïllustreerd dat $19$ een Keith-getal is. (OEIS A007629) (Wikipedia)

Alle getallen van $1$ tot $19$ komen voor in de magische zeshoek van orde $3$
met magische constante $38$. Noteer dat $38=2\ast 19$. Ik verwijs jullie graag door naar 38.10

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$