\(19=9+10\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(19=1+2+3+5+8\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen) \(19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+6+10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(2)+D(3)+D(4)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen) \(19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+3^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+1^2+1^2+4^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;3;3)\,(1;1;1;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\) \(19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;1;1;1;2;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\) \(19=1^4+1^4+1^4+2^4\) \(19=4!-3!+2!-1!\) \(19=\sqrt{3*4*5*6+1}~~\) (product van vier opeenvolgende getallen plus \(1\) is een kwadraat) (OEIS A028387) \(19=1*5+3*3+5*1\) (palindromische uitdrukking) \(19=95/5=9+5+5\) (zelfde cijfers) \(19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)Verschillende uitdrukkingen zijn van de volgende vorm : \(19={\small\text{AB}}-{\small\text{A}}^2-{\small\text{B}}^2,~~\) bvb. \(19=32-3^2-2^2\). \(\qquad\;\,\)Er zijn nog twee andere mogelijkheden : \(19=53-5^2-3^2~~\) en \(~~19=72-7^2-2^2\) \(19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3-2^3~~\)(\(19\) is het kleinste getal dat gelijk is aan het verschil van de derdemachten van twee priemgetallen)\) \(19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^3-18^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{10^2-[3^4][9^2]}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2-5^3\) | 19.1 | |
\(19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad\;\,16\) oplossingen bekend \(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes \(19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{1^n+7^5+13^5+13^5+(-15)^5}~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to~~\)Noteer dat\(~~1+7+13+13-15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+2^5+(-13)^5+(-16)^5+17^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{19^5+(-20)^5+29^5+41^5+(-42)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\) | 19.2 | |
\(19^2=361~~\) en \(~~3*6+1=19\) \(19^2=4^2+7^2+10^2+14^2\) \(19^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+17^2+81^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+35^2+75^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+39^2+73^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^2+53^2+63^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17^2+51^2+63^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^2+57^2+57^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~21^2+33^2+73^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}27^2+33^2+71^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}27^2+37^2+69^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}37^2+39^2+63^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}45^2+45^2+53^2\) \(19^3=3^3+10^3+18^3~~\) (enige oplossing met drie positieve derdemachten, geen met vier) \(19^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+6^3+12^3+17^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+3^3+12^3+12^3+15^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+6^3+9^3+10^3+17^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~2^3+3^3+10^3+12^3+16^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+9^3+12^3+13^3+13^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+3^3+8^3+13^3+16^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~3^3+9^3+10^3+12^3+15^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^3+6^3+7^3+7^3+18^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^3+6^3+10^3+11^3+16^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad~~~10^3+10^3+11^3+11^3+13^3~~\) (tien oplossingen met vijf positieve derdemachten) \(19^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}130321\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(13+0+3+2+1)^4\) \(19^5+19^2+19^1+19^3+19^5+19^6+19^4+19^0=52135640~~\) (d.i. de rij van exponenten in het linkerlid) | 19.3 | |
\(19^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(361\) \(19^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{190^2-171^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3430^2-3429^2\) | 19.4 | |
| \(\underline{19}^3=6859~~\) en \(~~6+8+5+9=\mathbf{28}\) \(\mathbf{28}^3 = 21952~~\) en \(~~2+1+9+5+2=\underline{19}\) | 19.5 | |
| Elk getal dat eindigt op \(9\) en waarvan we het cijfer of de cijfers vóór de \(9\) voorstellen door \(A\) (dus een getal van de vorm \(A9\)) kan geschreven worden als \(A*9+A+9\). Het kleinste van deze getallen is \(19\) en hiervoor is \(A=1\) en dus geldt dat \(19=1*9+1+9\). Hetzelfde geldt voor getallen met meerdere cijfers, zoals \(1759=175*9+175+9\) | 19.6 | |
| Een repunit met \(19\) enen (\(1\,111\,111\,111\,111\,111\,111\)) is een priemgetal, de tweede in zijn soort. Zie ook bij | 19.7 | |
| Vertrekkend van \(19\) kan men priemgetallen maken door centraal een \(0\) in te voegen : \(109, 1009\) en \(10009\) zijn priemgetallen, maar daar houdt de regelmaat op (het eerstvolgende priemgetal volgens deze werkwijze telt \(8\) nullen : \(1000000009\). Deelreeks van (OEIS A205529) | 19.8 | |
| Deelbaarheid door \(19\): \(\quad\)(dat noemen we \(A\)) en de eenheden (dat noemen we \(E\,\)). \(9150+2*4\) → \(9158\) → \(915+2*8=931\) → \(93+2*1=95\) → \(9+2*5=19\) → dit is deelbaar door \(19\), dus het oorspronkelijke getal \(914983\) ook. | 19.9 | |
| Deelbaarheid door \(19\) : herhaalt men een reeks van \(9\) willekeurige cijfers dan krijgt men een getal van \(18\) cijfers dat deelbaar is door \(19\) : vb. \(135246887\_135246887/19=7118257217644573\) | 19.10 | |
| De breuk \(1/19=0,\overline{052631578947368421}\;\overline{052631578...}~~\) bevat \(18\) decimalen die zich steeds herhalen. Dergelijke reeksen decimalen hebben bijzondere eigenschappen als men ze vermenigvuldigt met een getal gelegen tussen \(2\) en de waarde van de noemer (hier \(19\)). Bvb. \(052631578947368421*2=\) \(105263157894736842\) : het volstaat de \(1\) die achteraan staat, helemaal vooraan te brengen en de volgorde der overige cijfers te bewaren. Dergelijke “rekentrucs” lukken steeds met getallenrijen die ontstaan uit een breuk \(1/n\) waarbij de decimalen zich na \((n-1)\) herhalen. De getallen \(7\) en \(17\) zijn de twee voorgaande getallen met dezelfde eigenschap. Zie ook bij en | 19.11 | |
| Het getal \(19181716151413121110987654321\) (de getallen van \(19\) tot en met \(1\) achter elkaar geschreven) is deelbaar door \(19\) | 19.12 | |
| Als men uit het getal \(4712546\) alle getallen van vier opeenvolgende cijfers haalt, dan zijn al die getallen deelbaar door \(19:4712=19*248~~;~~7125=19*375~~;~~1254=19*66\) en \(2546=19*134\). Het getal \(77714446555\) heeft dezelfde eigenschap. | 19.13 | |
| \(19\)\(^{19}\) is het kleinste getal van de vorm \(a\)\(^a\) dat alle cijfers van \(0\) tot \(9\) ten minste één keer bevat. Voor wie wil narekenen is dit gelijk aan \(1978419655660313589123979\) | 19.14 | |
| \(19*91=1729\), het getal van HARDY-RAMANUJAN (zie bij voor de bijzondere eigenschappen) | 19.15 | |
| Er zijn \(19\) opeenvolgende samengestelde getallen gelegen tussen de priemgetallen \(887\) en \(907\). Aldus hebben we hier een priemkloof van \(20\,.~~\) (OEIS A000101.pdf) Zie ook bij en | 19.16 | |
| Men kan ook priemgetallen maken door één of meerdere cijfers rechts toe te voegen aan \(19\) : \begin{align} 19\mathbf{7}\\ 197\mathbf{9}\\ 1979\mathbf{3}\\ 19793\mathbf{3}\\ 197933\mathbf{9}\\ 1979339\mathbf{3}\\ 19793393\mathbf{3}\\ 197933933\mathbf{9} \end{align} | 19.17 | |
| \(19/7=2,7143\) is een ruwe benadering voor het getal \(e\,(=2,71818...)\) | 19.18 | |
| Vermoeden van WARING : Ieder geheel getal kan geschreven worden als de som van ten hoogste \(19\) vierdemachten (zie ook en ). Zie voor het geval waar effectief \(19\) vierdemachten nodig zijn een voorbeeld bij . Ref.: (OEIS A002804) | 19.19 | |
| \(19\) is het grootste priemgetal dat palindroom is in Romeinse cijfers : \(\text{XIX}\). | 19.20 | |
| \(19\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(~~(2+3)*4-1~~=~~1*4!-(2+3)~~=~~1*(4^2+3)~~=~~12+3+4~~=~~(23-4)*1~~=~~4!-3!+2!-1!\) | 19.21 | |
| Er is één rechthoekige driehoek met gehele zijden en waarvan één zijde \(19\) is : \((19;180;181)\) | 19.22 | |
| Een klassiek Go speelbord meet \(19\) bij \(19\) eenheden. | 19.23 | |
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 19.24 | |
| \(19\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(2\) oplossingen) : \(51984/2736=81567/4293=19\) \(19\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(4\) oplossingen) : \(103968/5472=108243/5697=140562/7398=182457/9603=19\) | 19.25 | |
| \(19*(1+9)=190=D(19)\) → als men \(19\) vermenigvuldigd met de som van zijn cijfers dan vindt men het \(19\)de driehoeksgetal. | 19.26 | |
| De breuk \(19/95\) kan “vereenvoudigd” worden door in teller en noemer de \(9\) te schrappen. Inderdaad, \(\require{cancel}{\Large{{\frac{\,1\!\cancel{\color{red}{9}}}{\!\cancel{\color{red}{9}}\!5}}}}=19/95=1/5\;(=0,2)\). Het is ten stelligste af te raden deze “techniek van vereenvoudiging” te veralgemenen ! Zie ook bij | 19.27 | |
| Men moet \(19\) tot minimaal de \(835\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(19\) \(19\)'s verschijnen. Terloops : \(19\)\(^{835}\) heeft een lengte van \(1068\) cijfers. | 19.28 | |
| \(19+18+17+16+\cdots+3+2+1+0=190=19*10\) | 19.29 | |
| \(19\) als som van twee priemgetallen :
$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&17\\ \\ \end{matrix} \right. $$ \(19\) als som van drie priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven) :$$ 3~odd~primes \left[ \begin{matrix} &3&+&3&+&13\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}\\ &5&+&7&+&7 \end{matrix} \right. $$ | 19.30 | |
| Het eerste geval van precies \(19\) priemgetallen tussen veelvouden van \(100\) gebeurt bij \(1468867005116420800+n\), met \(n=1,3,7,9,21,31,37,39,43,49,51,63,67,69,73,79,81,87,93\). (OEIS A186311) | 19.31 | |
Er zijn \(4\) getallen van negentien cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(negentiende\) macht van hun cijfers : \(1517841543307505039=\) \(1\)\(^{19}\)\(\,+\,5\)\(^{19}\)\(\,+\,1\)\(^{19}\)\(\,+\,7\)\(^{19}\)\(\,+\,8\)\(^{19}\)\(\,+\,4\)\(^{19}\)\(\,+\,1\)\(^{19}\)\(\,+\,5\)\(^{19}\)\(\,+\,4\)\(^{19}\)\(\,+\,3\)\(^{19}\)\(\,+\,3\)\(^{19}\)\(\,+\,0\)\(^{19}\)\(\,+\,7\)\(^{19}\)\(\,+\,5\)\(^{19}\)\(\,+\,0\)\(^{19}\)\(\,+\,5\)\(^{19}\)\(\,+\,0\)\(^{19}\)\(\,+\,3\)\(^{19}\)\(\,+\,9\)\(^{19}\) De overige drie getallen zijn \(3289582984443187032,4498128791164624869,4929273885928088826\) | 19.32 | |
\(2\)\(^{19}\)\(\,-\,19~~\) is een priemgetal, de vijfde in zijn soort. (OEIS A048744) | 19.33 | |
\(19\)\(^{19}\)\(-2\) is een priemgetal, de derde in zijn soort (\(k^k-2\)). (OEIS A100408) | 19.34 | |
Elk getal van negen cijfers tweemaal herhaald (hetgeen een tautonymisch getal is) is deelbaar door \({\color{blue}{19}}\). Bvb. \(\overbrace{987654321}\overbrace{987654321}/{\color{blue}{19}}=51981806420402859\) Dit komt omdat het tautonymisch getal geschreven kan worden als \(987654321*1000000001\) en \(19\) is één van de priemfactoren van \(1000000001=7*11*13*{\color{blue}{19}}*52579\). | 19.35 | |
|
\(\begin{align}19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{3}{2}}\right)^3+\left({\frac{5}{2}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{1}{3}}\right)^3+\left({\frac{8}{3}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{33}{35}}\right)^3+\left({\frac{92}{35}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{9613}{10386}}\right)^3+\left({\frac{27323}{10386}}\right)^3\end{align}\) \(\begin{align}19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{3}{1}}\right)^3-\left({\frac{2}{1}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{36}{13}}\right)^3-\left({\frac{17}{13}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{109}{31}}\right)^3-\left({\frac{90}{31}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{613}{103}}\right)^3-\left({\frac{594}{103}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\end{align}\) \(\qquad~~~\begin{align}\left({\frac{895}{196}}\right)^3-\left({\frac{831}{196}}\right)^3\end{align}\) (Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) \((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581) Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324) | 19.36 | |
Som der reciproken van partitiegetallen van \(19\) levert nooit \(1\) op. Bijgevolg ook geen partities met unieke termen. | 19.37 | |
\(19\)\(^{5}\)\(+19\)\(^{2}\)\(+19\)\(^{1}\)\(+19\)\(^{3}\)\(+19\)\(^{5}\)\(+19\)\(^{6}\)\(+19\)\(^{4}\)\(+19\)\(^{0}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}52135640~~\) (OEIS A236067) | 19.38 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(19\) | \(19\) | \(2\) | \(20\) |
| \(1,19\) | |||
| Priemgetal | \(10011_2\) | \(13_{16}\) | |
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 20 november 2024 |