$18\mathbf{=}3+4+5+6\mathbf{=}5+6+7$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$18\mathbf{=}4+6+8\mathbf{=}8+10$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$18=7+11$ (som van opeenvolgende priemgetallen)

$18=2+3+5+8$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$18\mathbf{=}{3}^2+3^2\mathbf{=}{1}^2+1^2+4^2\mathbf{=}{1}^2+2^2+2^2+3^2\mathbf{=}((0;0;3;3)(0;1;1;4)(1;2;2;3))➋\to \{\mathrm{\#}3\}$

$18\mathbf{=}{1}^3+1^3+2^3+2^3\mathbf{=}(0;0;0;0;0;1;1;2;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$18=3\ast (1+2+3)$

$18=3^2\ast 2^1\ast 1^0$

$18=3^2+2^3+1^4$

$18\mathbf{=}3\ast 6\mathbf{=}2\ast (3+6)$

$18=9+9$ en het omgekeerde $81=9\ast 9$

$18=(\sqrt{2}+\sqrt{8}{)}^2$

$18=\sqrt{324}=3\ast (2+4)$ en ook $18=\sqrt{729}-\sqrt[3]{729}=27-9$

$18=5346/297$ (alle cijfers van $1$ tot $9$). Zo ook $27\ast 198=5346$. Zie ook 27.10

$18=(10-1)\ast (10-8)$

$18=2^1+3^1+2^2+3^2$

$18=4!-3!$

$18\mathbf{=}{3}^2+3^2\mathbf{=}{3}^3-3^2\mathbf{=}{3}^5-{15}^2\mathbf{=}{19}^2-7^3$

$18\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$27$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$18\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$0^n+7^5+{13}^5+{13}^5+(-15{)}^5(n>0)(n=5)\mathbf{=}(z>200)\to$Noteer dat$0+7+13+13-15\mathbf{=}18$

$$2oddprimes[\begin{array}{cccc}& 5& +& 13\\ & 7& +& 11\end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{cccccc}& \mathbf{2}& +& \mathbf{3}& +& \mathbf{13}\\ & \mathbf{2}& +& \mathbf{5}& +& \mathbf{11}\end{array}$$

${18}^2\mathbf{=}{6}^2+{12}^2+{12}^2\mathbf{=}{6}^2+{22}^2-{14}^2\mathbf{=}{7}^2+{30}^2-{25}^2$

${18}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $324$

${18}^3\mathbf{=}[3^8][9^4][{81}^2]-[3^6][9^3][{27}^2]\mathbf{=}{54}^2+{54}^2\mathbf{=}{99}^2-{63}^2\mathbf{=}{108}^2-{18}^3\mathbf{=}{171}^2-{153}^2\mathbf{=}{249}^2-{237}^2\mathbf{=}$

${489}^2-{483}^2\mathbf{=}{731}^2-{727}^2\mathbf{=}{1459}^2-{1457}^2\mathbf{=}{8424}^2-{414}^3$

${18}^3=\underset{―}{5832}$ en ${18}^4=\underset{―}{104976}$ bevatten samen alle cijfers van $0$ tot $9$. Zie ook bij 69.3

$18$ kan op verschillende wijzen als som van een aantal getallen worden voorgesteld. Merkwaardig is,
wanneer men de kwadraten neemt van elk van die termen :

$18\to 102\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+4^1+6^1+7^1& =2^1+3^1+5^1+8^1\\ 1^2+4^2+6^2+7^2& =2^2+3^2+5^2+8^2\end{array}$$$18\to 122\to$ $$\begin{array}{rl}{3}^1+7^1+8^1& =4^1+5^1+9^1\\ 3^2+7^2+8^2& =4^2+5^2+9^2\end{array}$$$18\to 134\to$ $$\begin{array}{rl}{2}^1+7^1+9^1& =3^1+5^1+{10}^1\\ 2^2+7^2+9^2& =3^2+5^2+{10}^2\end{array}$$ $18\to 146\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+8^1+9^1& =3^1+4^1+{11}^1\\ 1^2+8^2+9^2& =3^2+4^2+{11}^2\end{array}$$ $18\to 150\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+7^1+{10}^1& =2^1+5^1+{11}^1\\ 1^2+7^2+{10}^2& =2^2+5^2+{11}^2\end{array}$$

Tussen de cijfers van de getallen $18,11124$ en $111222$ bestaat volgend merkwaardig verband :
$$\begin{array}{rlrlrlrlr}1+8& & =& & 1+1+1+2+4& & =& & 1+1+1+2+2+2\\ 1\ast 8& & =& & 1\ast 1\ast 1\ast 2\ast 4& & =& & 1\ast 1\ast 1\ast 2\ast 2\ast 2\end{array}$$

$Opgave$
Een rechthoek heeft zowel voor de omtrek als voor de oppervlak dezelfde cijferwaarde
(uiteraard in andere eenheidsmaten). Bepaal de afmetingen van deze rechthoek.
$Oplossing$
Stel de lengte van de rechthoek op $A$ en de breedte op $B$. De omtrek is dan $2\ast (A+B)$ en
de oppervlakte $A\ast B$. De enige oplossing voor een rechthoek wordt gegeven door $A=6$ en $B=3$.
Dan geldt : $2\ast (6+3)=6\ast 3$.

Een ander geval is een vierkant met zijde $4$ : omtrek = $4\ast 4=16$ en oppervlakte = $4^2=16$

Als som met de vier operatoren $+-\ast /$
$18=(4+2)+(4-2)+(4\ast 2)+(4/2)$

Alle getallen van $1$ tot $18$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden

van producten van machten. Hier alvast enkele voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels $[2-7]$,

$[3-6]$ en $[4-5]$. $$\begin{array}{rl}{10}^{13}\ast {18}^{17}& \mathbf{=}{3}^{14}\ast 5^{11}\ast {16}^1\ast {15}^2\ast {12}^4\ast 9^7\ast 8^6\\ 8^{17}\ast {18}^{16}\ast 5^9& \mathbf{=}{10}^2\ast {15}^7\ast 4^{14}\ast 6^{11}\ast {12}^{13}\ast 3^1\\ 3^{17}\ast 4^{13}\ast 9^7\ast {16}^{11}& \mathbf{=}{2}^{10}\ast 6^{14}\ast 8^5\ast {12}^{15}\ast {18}^1\end{array}$$

$6$${}^{18}$$=101559956668416$ is de hoogst gekende macht van $6$ waarbij geen cijfer $7$ voorkomt

in de decimale expansie.

$8$${}^{18}$$=18014398509481984$ is de hoogst gekende macht van $8$ waarbij geen cijfer $7$ voorkomt

in de decimale expansie.

Som der reciproken van partitiegetallen van $18$ is $1$ op één wijze.

Dit is evenwel geen partitie met unieke termen.

$(1)18=3+3+6+6$ en $1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

(OEIS A125726)

$$\begin{array}{rl}18\ast 987654321& =17777777778\\ 27\ast 987654321& =26666666667\\ 36\ast 987654321& =35555555556\\ 45\ast 987654321& =44444444445\\ 54\ast 987654321& =53333333334\\ 63\ast 987654321& =62222222223\\ 72\ast 987654321& =71111111112\\ 81\ast 987654321& =80000000001\\ 90\ast 987654321& =88888888890\\ 99\ast 987654321& =97777777779\end{array}$$

Vermenigvuldigen met $90$ levert een product dat een beetje uit de toon valt.

Noteer dat de laatste vermenigvuldiging een palindroom oplevert.

$2$${}^{18}$$+3$ is een priemgetal $(=262147)$, de tiende in zijn soort $(2^k+3)$ (OEIS A057732)

$18$${}^4$$+18$${}^1$$+18$${}^9$$+18$${}^3$$+18$${}^7$$+18$${}^0$$+18$${}^8$$+18$${}^3$$+18$${}^8$$+18$${}^9$$+18$${}^2$$+18$${}^1$$\mathbf{=}419370838921\to$ en tevens een priemgetal$$
(OEIS A236067)

Vermenigvuldiging van $18$ met een pandigitaal getal is een binair uitziend decimaal getal (alleen cijfers $0$ en $1$)
$18\ast 6172839450=111111110100$

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{18}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({172}^{18}\right)=172sdc\left({181}^{18}\right)=181$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $18$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$18=1+1+8+8$

$18+19+20+21+22+23+\cdots +58+59+60+61+62+63=18$^^$63=1863$
(OEIS A186074)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$18=(1+1)\ast (11-1-1)$
$18=2^{(2+2)}+2$
$18=3\ast (3+3)$
$18=4\ast 4+(4+4)/4$
$18=5+(55+5+5)/5$
$18=6+6+6$
$18=7+77/7$
$18=8+(88-8)/8$
$18=9+9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$18=1^{234567}+8+9$
$18=98+7-65-43+21$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$