\(18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+5+6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+6+7\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+6+8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8+10\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(18=7+11\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(18=2+3+5+8\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

\(18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+1^2+4^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+2^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;3;3)\,(0;1;1;4)\,(1;2;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#3\}\)

\(18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;0;1;1;2;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)

\(18=3*(1+2+3)\)

\(18=3^2*2^1*1^0\)

\(18=3^2+2^3+1^4\)

\(18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*(3+6)\)

\(18=9+9\) en het omgekeerde \(81=9*9\)

\(18=\sqrt{324}=3*(2+4)\) en ook \(18=\sqrt{729}-\root{\raise3pt{\large3}}\of{729}=27-9\)

\(18=5346/297\) (alle cijfers van \(1\) tot \(9\)). Zo ook \(27*198=5346\). Zie ook

\(18=(10-1)*(10-8)\)

\(18=2^1+3^1+2^2+3^2\)

\(18=4!-3!\)

\(18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3-3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^5-15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^2-7^3\)

18.1

\(18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,27\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1)^3+(-2)^3+3^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{94^3+101^3+(-123)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{75^3+215^3+(-218)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1276)^3+(-1373)^3+1671^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-27595)^3+(-30179)^3+36468^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{31757^3+41166^3+(-46691)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{18037^3+46301^3+(-47196)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-141551)^3+(-411807)^3+417308^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-177081)^3+(-781237)^3+784258^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-146477)^3+(-950961)^3+952118^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-7056540)^3+(-29533949)^3+29667623^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{28299907^3+55442840^3+(-57799065)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-44004837)^3+(-53249585)^3+61815116^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-103828587)^3+(-125672570)^3+145874741^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-19498665)^3+(-355399661)^3+355419224^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{225213138^3+867905135^3+(-872930909)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-1296519317)^3+(-1676713089)^3+1903157780^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-331196182)^3+(-8829949773)^3+8830105087^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{22907985588^3+28456905041^3+(-32731157855)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{103290006935^3+120623147923^3+(-141896689524)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{59390966438^3+414133328689^3+(-414540083847)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-616734433039)^3+(-813397693767)^3+917651033830^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{669668943669^3+4277365022941^3+(-4282829541208)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2428627908171^3+4725792948568^3+(-4930591768225)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{7612254773819^3+30105383699250^3+(-30266746952681)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-11642624087012)^3+(-31258396328559)^3+31787771740385^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{15238828289194^3+74058741322613^3+(-74273190239067)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(18\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{0^n+7^5+13^5+13^5+(-15)^5}~~(n\gt0)~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\to~~\)Noteer dat\(~~0+7+13+13-15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18\)

18.2
\(18\) is het enige getal dat gelijk is aan het dubbele van de som van zijn cijfers : \(18=2*(1+8)\). Zie ook bij 18.3
\(18\) als de som van twee oneven priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven) :

$$ 2~odd~primes \left[ \begin{matrix} \\ &5&+&13\\ &7&+&11\\ \\ \end{matrix} \right. $$

\(18\) als de som van drie priemgetallen (en die bovendien verschillend zijn) :

$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} \\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{13}\\ &\mathbf{2}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}\\ \\ \end{matrix} \right. $$

18.4

\(18^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^2+12^2+12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^2+22^2-14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2+30^2-25^2\)

18.5

\(18^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(324\)

\(18^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^8][9^4][81^2]-[3^6][9^3][27^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}54^2+54^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99^2-63^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}108^2-18^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{171^2-153^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}249^2-237^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\;\,489^2-483^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}731^2-727^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1459^2-1457^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8424^2-414^3\)

18.6

\(18^3=\underline{5832}~~\) en \(~~18^4=\underline{104976}~~\) bevatten samen alle cijfers van \(0\) tot \(9\). Zie ook bij

18.7
Elementair maar mooi symmetrisch : \(2*9=18\) en \(9^2=81\) 18.8
\(18^3=5832~~\) en \(~~5+8+3+2=18~~\) (hetzelfde geldt voor de getallen )
\(\qquad\;\;\,\)Zie ook (OEIS A046459) 		18.9
De twee cijfers van \(18\) (en ook \(81\)) zijn derdemachten : \(1^3\) en \(2^3\)
De opeenvolgende machten van \(18\) hebben iets te maken met het getal \(18\) zelf
\(18^4=104976~~\) en \(~~104+976=1080=18*60\)
\(\underline{18}^4=104976~~\) en \(~~1+0+4+9+7+6=\mathbf{27}\to\mathbf{27}^4=531441~~\) en \(~~5+3+1+4+4+1=\underline{18}\)
\(18^5=\underline{18}89568\)
\(18^6=34012224~~\) en \(~~3+4+0+1+2+2+2+4=18\)
\(18^7=612220032~~\) en \(~~6+1+2+2+2+0+0+3+2=18\) 		18.10
\(18\) kan op verschillende wijzen als som van een aantal getallen worden voorgesteld. Merkwaardig is,
wanneer men de kwadraten neemt van elk van die termen :

\(18\to102\to\) \begin{align} 1^1+4^1+6^1+7^1&=2^1+3^1+5^1+8^1\\ 1^2+4^2+6^2+7^2&=2^2+3^2+5^2+8^2 \end{align}\(18\to122\to\) \begin{align} 3^1+7^1+8^1&=4^1+5^1+9^1\\ 3^2+7^2+8^2&=4^2+5^2+9^2 \end{align}\(18\to134\to\) \begin{align} 2^1+7^1+9^1&=3^1+5^1+10^1\\ 2^2+7^2+9^2&=3^2+5^2+10^2 \end{align} \(18\to146\to\) \begin{align} 1^1+8^1+9^1&=3^1+4^1+11^1\\ 1^2+8^2+9^2&=3^2+4^2+11^2 \end{align} \(18\to150\to\) \begin{align} 1^1+7^1+10^1&=2^1+5^1+11^1\\ 1^2+7^2+10^2&=2^2+5^2+11^2 \end{align} 		18.11
Tussen de cijfers van de getallen \(18,11124\) en \(111222\) bestaat volgend merkwaardig verband :
\begin{align} 1+8&&=&&1+1+1+2+4&&=&&1+1+1+2+2+2\\ 1\,*\,8&&=&&1\,*\,1\,*\,1\,*\,2\,*\,4&&=&&1\,*\,1\,*\,1\,*\,2\,*\,2\,*\,2 \end{align} 		18.12
Er zijn twee rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde \(18\) is : \((18;24;30),(18;80;82)\)
Zie ook bij 		18.13
Met combinaties (sommen) van delers van \(18\) kan men alle getallen maken die kleiner zijn dan \(18\).
De delers zijn \(1,2,3,6,9\) en \(18\). Zo heeft men
\begin{align} 4&=1+3\\ 5&=2+3\\ 7&=6+1\\ 8&=6+2\\ 10&=9+1\\ 11&=9+2\\ 12&=9+3~~\text{(maar ook 1 + 2 + 3 + 6 en 1 + 2 + 9)}\\ 13&=9+3+1\\ 14&=9+3+2\\ 15&=9+6~~\text{(of 9 + 1 + 2 + 3)}\\ 16&=9+6+1\\ 17&=9+6+2\\ &\text{en men kan zelfs nog verder gaan :}\\ 19&=18+1~~\text{(maar ook 9 + 6 + 3 + 1)}\\ 20&=18+2\\ &enz.\\ \end{align} In principe kan men tot \(39\) gaan, d.i. de som van alle delers van \(18\). 		18.14
Er zijn \(12\) verschillende pentomino's (zie bij en ), maar enkel als men bepaalde (niet-symmetrische) pentomino's niet mag omkeren. Als dat wèl mag of kan, zijn er \(18\) verschillende pentomino's. (Wikipedia) 18.15
Neem een getal van drie cijfers, maar niet met dezelfde drie cijfers. Maak hiermee zowel het grootste als
het kleinste getal en trek van elkaar af. Maak de som van de cijfers van dit verschil : deze som is steeds
gelijk aan \(18\).
Bvb. \(704\) : we vinden \(740-047=693~~\) en \(~~6+9+3=18\) 		18.16
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Een rechthoek heeft zowel voor de omtrek als voor de oppervlak dezelfde cijferwaarde
(uiteraard in andere eenheidsmaten). Bepaal de afmetingen van deze rechthoek.
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Stel de lengte van de rechthoek op \(A\) en de breedte op \(B\). De omtrek is dan \(2*(A+B)\) en
de oppervlakte \(A*B\). De enige oplossing voor een rechthoek wordt gegeven door \(A=6\) en \(B=3\).
Dan geldt : \(2*(6+3)=6*3\).

      
      
      

Een ander geval is een vierkant met zijde \(4\) : omtrek = \(4*4=16\) en oppervlakte = \(4^2=16\)

18.17
\(18\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) :
\(28674/1593=18\)
\(18\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(6\) oplossingen) :
\(103842/5769=104328/5796=104976/5832=143208/7956=149526/8307=172854/9603=18\) 		18.18
\(18\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) :
\(~~32-14~~=~~12+3*\sqrt4~~=~~1+34/2~~=~~4!-3-2-1~~=~~\) Vindt jij er meer ? 		18.19
Men moet \(18\) tot minimaal de \(786\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(18\) \(18\)'s verschijnen.
Terloops : \(18\)\(^{786}\) heeft een lengte van \(987\) cijfers.
Zowel \(~~Fibonacci(786)=8218\ldots0648~~\) als \(~~Fibonacci(987)=8342\ldots9858~~\) starten en eindigen met het cijfer \(8\).
(OEIS A105508) 		18.20

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(18=(4+2)+(4-2)+(4*2)+(4/2)\)

18.21
\(18\) is het kleinste verschil tussen een priemgetal en zijn emirp (dit wil zeggen tussen het priemgetal en
het omgekeerde van dat priemgetal dat op zijn beurt een priemgetal is)
bvb. het omgekeerde van priemgetal \(13\) is \(31\) en \((31-13)=18\). Een ander voorbeeld is \(97-79=18\). 		18.22
Het eerste geval van precies \(18\) priemgetallen tussen veelvouden van \(100\) gebeurt bij \(122853771370900+n\),
met \(n=1,3,7,19,21,27,31,33,37,49,51,61,69,73,87,91,97,99\). (OEIS A186311). 		18.23

Alle getallen van \(1\) tot \(18\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden

van producten van machten. Hier alvast enkele voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels \([2-7]\),

\([3-6]\) en \([4-5]\). \begin{align} 10^{13}*18^{17}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^{14}*5^{11}*16^1*15^2*12^4*9^7*8^6\\ 8^{17}*18^{16}*5^9&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2*15^7*4^{14}*6^{11}*12^{13}*3^1\\ 3^{17}*4^{13}*9^7*16^{11}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{10}*6^{14}*8^5*12^{15}*18^1 \end{align}

18.24

\(6\)\(^{18}\)\(~=~101559956668416\) is de hoogst gekende macht van \(6\) waarbij geen cijfer \(7\) voorkomt

in de decimale expansie.

\(8\)\(^{18}\)\(~=~18014398509481984\) is de hoogst gekende macht van \(8\) waarbij geen cijfer \(7\) voorkomt

in de decimale expansie.

18.25

Som der reciproken van partitiegetallen van \(18\) is \(1\) op één wijze.

Dit is evenwel geen partitie met unieke termen.

\((1)~~18=3+3+6+6~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{6}}\)

(OEIS A125726)

18.26
\(18\) is gelijk aan de som van zijn cijfers plus de som van de cijfers van zijn kwadraat : \(\underline{1+8}+\underline{3+2+4}\) 18.27

\begin{align} {\color{blue}{18}}*987654321&={\color{blue}{1}}777777777{\color{blue}{8}}\\ {\color{blue}{27}}*987654321&={\color{blue}{2}}666666666{\color{blue}{7}}\\ {\color{blue}{36}}*987654321&={\color{blue}{3}}555555555{\color{blue}{6}}\\ {\color{blue}{45}}*987654321&={\color{blue}{4}}444444444{\color{blue}{5}}\\ {\color{blue}{54}}*987654321&={\color{blue}{5}}333333333{\color{blue}{4}}\\ {\color{blue}{63}}*987654321&={\color{blue}{6}}222222222{\color{blue}{3}}\\ {\color{blue}{72}}*987654321&={\color{blue}{7}}111111111{\color{blue}{2}}\\ {\color{blue}{81}}*987654321&={\color{blue}{8}}000000000{\color{blue}{1}}\\ {\color{blue}{90}}*987654321&=888888888{\color{blue}{90}}\\ {\color{blue}{99}}*987654321&={\color{blue}{9}}777777777{\color{blue}{9}}\\ \end{align}


Vermenigvuldigen met \(90\) levert een product dat een beetje uit de toon valt.

Noteer dat de laatste vermenigvuldiging een palindroom oplevert.

18.28

\(2\)\(^{18}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=262147)\), de tiende in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732)

18.29

\(18\)\(^{4}\)\(+18\)\(^{1}\)\(+18\)\(^{9}\)\(+18\)\(^{3}\)\(+18\)\(^{7}\)\(+18\)\(^{0}\)\(+18\)\(^{8}\)\(+18\)\(^{3}\)\(+18\)\(^{8}\)\(+18\)\(^{9}\)\(+18\)\(^{2}\)\(+18\)\(^{1}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}419370838921\to\) en tevens een priemgetal\(~~\)
(OEIS A236067)

18.30

Vermenigvuldiging van \(18\) met een pandigitaal getal is een binair uitziend decimaal getal (alleen cijfers \(0\) en \(1\))
\(\qquad18*6172839450=111111110100\)

18.31
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(18\)\(2*3^2\)\(6\)\(39\)
\(1,2,3,6,9,18\)
\(10010_2\)\(22_8\)\(12_{16}\)
   

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 16 november 2024